Junio de 2007 Opción A

Transcripción

1 Ejercicio º Junio de 7 Opción [ 5 puntos] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es que el producto de sus cuadrados es máimo. Llamo, a los dos números que ha que calcular Los datos del problema son: P.. que ha que maimiar Se deriva se iguala a para buscar el máimo comprobándolo con el signo de la derivada ª P. P [ - ].. 5 P 6 P Los números son 5 e 5 5 P > es un mínimo relativo P > es un mínimo relativo P 5 < 5 es un máimo relativo Ejercicio º Sean f : R R g : R R las funciones definidas mediante f g a [ 5 puntos] Esboa las gráficas de f de g calculando sus puntos de corte. b [ 5 puntos] Calcula el área de cada uno de los recintos limitados entre las gráficas de f g a Para dibujar f : Cortes eje :. -:, -, Corte eje :, Etremos: f f 6 6 f 6 > mínimo en, f - -6 < máimo en -, Para dibujar g es una recta con dos puntos es suficiente g Punto, g : - Punto -, Puntos de corte de las funciones: ± Eámenes Selectividad 7 Junio opción Página

2 Eámenes Selectividad 7 Junio opción Página b En el apartado anterior están calculados los puntos de corte de ambas funciones luego observando la gráfica Área [ ] [ ] d d [ ] [ ] 8 u.a. Nota: Se observa que la gráfica es simétrica respecto de la recta - luego Área. [ ] d Ejercicio º Considera la matri a [ punto] Determina la matri B b [ 75 puntos] Determina los valores de l para los que la matri B tiene inversa. c [ 75 puntos] Calcula B - para a B b B tiene inversa detb Resolviendo la ecuación - Por tanto B tiene inversa - c B - con B - B.djB t B detb B t djb t B -. Ejercicio º Considera los planos de ecuaciones. a [ punto] Determina la recta que pasa por el punto,, no corta a ninguno de los planos dados. b [ 5 puntos] Determina los puntos que equidistan de,, B,, pertenecen a la recta intersección de los planos dados. Si una recta no está contenida en un plano: Dirección de la recta Dirección normal del plano

3 a Sea π sea π sea r la recta pedida Como la recta r no corta al plano π dirección de r d r vector normal de π d r n π,-, Como la recta r no corta al plano π dirección de r d r vector normal de π d r n π,,- i j k Por tanto d r n π n π,,,, Como la recta pedida r pasa por el punto,, su ecuación paramétrica es: r t t R t b Lo vo a hacer de dos formas ª forma: Sea s que tiene de ecuación paramétrica: α α α α α α Los puntos que equidistan de los puntos B son los que pertenecen a su plano mediatri que es el que pasa por el punto medio de B tiene como vector normal el vector B B,, -,,, -, - vector normal D Punto medio de B,,,, 9 el plano pasa por,, - -. D D plano mediatri Los puntos pedidos son de la forma P, α, α cumplen la ecuación del plano. -.α 6.α 9 α El punto pedido es: P,,,, ª forma: en lugar de calcular el plano mediatri se impone que dp, dp, B P, α, α,,, dp, P, - α, - α P, α, α, B,, dp, B BP -, α, α α α α α Se resuelve la ecuación α α α -α α - 6α 9 α α α 8 9 α α elevando al cuadrado Eámenes Selectividad 7 Junio opción Página

4 Junio de 7 Opción B Ejercicio º [ 5 puntos] Sea f : R R la función definida por f a b. Determina a b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta. Los puntos de infleión verifican f f f a b f 6 a f f f - que es el posible punto de infleión f Por tanto - es punto de infleión La recta tangente en - es f - 8 a a 6 f b - b 9 f ' f La función es f 6 9 Ejercicio º [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f Ln, halla la primitiva de f cua gráfica pasa por el origen de coordenadas. Ln denota la función logaritmo neperiano. Una primitiva de f es F f d f d Ln d que es una integral por partes udv u. v vdu u Ln du d dv d v d K d.ln - d.ln. d.ln I. I d es una integral racional ha que dividir - - I d artag F Ln d.ln I.Ln artag K Como nos dicen que la primitiva F pasa por, F F.Ln..artag K K K La primitiva pedida es F.Ln artag Eámenes Selectividad 7 Junio opción B Página

5 Eámenes Selectividad 7 Junio opción B Página 5 Ejercicio º a [ punto] Calcula la matri inversa de b [ 5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema resuélvelo usando la matri - hallada en el apartado anterior. a -.dj t donde t ; dj t dj t -. b El sistema en forma matricial es.x B, con, X B Como eiste -, multiplicando por la iquierda.x B por - tenemos: -.X -. B I.X -. B X -. B X -.B... 6 Es decir la solución es,,,-,

6 Ejercicio º Considera los puntos,,- B,,5. a [ 5 puntos] Calcula los valores de sabiendo que el triángulo BC de vértices, B C,, tiene un ángulo recto en C. b [ 5 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos,,5,, es paralelo a la recta definida por las ecuaciones. B a,,-, B,,5 C,, El triángulo es rectángulo en C C CB C CB C,,- -,, -, -, - CB,,5 -,, -, -, C CB 8 ± 5 C b Llamo al plano pedido π que nos dicen pasa por P,,5 Q,, es paralelo a la recta r Q r π P π r dirección de r d r es una dirección del plano P, Q r el plano contiene la dirección PQ pasa por el punto P d r, -,,, i j k -,, PQ,, -,,5,, - π π Eámenes Selectividad 7 Junio opción B Página 6