IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999.

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1 IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = e x, calcula Calculamos primero la integral indefinida e x 0 x x e +e + [ ex / (e x +e x +) ] dx Nos dan el cambio t = e x, luego dt = e x dx, y sustituyendo nos queda dt /(t +t + ), que es una integral racional. Descomponemos en factores simples el denominador /( t +t + ) = A/(t+) + B/(t+) = [ A(t+) + B(t+) ] / [(t+)(t+)]. Igualando numeradores tenemos = A(t+) + B(t+) Para t = -, tenemos = A., de donde A = Para t = -, tenemos = - B, de donde B = - Luego dt /(t +t + ) = [ A/(t+) + B/(t+) ] dt = = [ /(t+) + (-) / (t+) ] dt =.ln t+ -.ln t+ = ln (t+)/(t+) = Quitando el cambio = ln (e x +)/( e x +). Por tanto x x e e + dx= ln = 0 x x x e +e + e + [ ( ln { (e +)/( e +) } ) - ( ln { (e 0 +)/( e 0 +) } ) ] 0 Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. ax+bx si 0 x< [ 5 puntos] Se sabe que la función f : [0,5] R dada por f(x)= c+ x- si x 5 es derivable en el intervalo (0,5) y verifica f(0) = f(5). Cuánto valen a, b y c? ax+bx si 0 x< f(x)= c+ x- si x 5 Es derivable en (0,5), luego es continua en (0,5). En concreto existe f (), es continua en x =, y además f(0) = f(5) x+bx si 0<x< f '(x)= si x<5 x- 0 =f(0) = f(5) = c + 5-, es decir 0 = c +, de donde c = - f(x) es continua en x = tenemos f() = lim x + f(x) = lim x - f(x) De lim x - f(x) = lim x ( c + x ) = c + = - + = - De lim x + f(x) = lim x ( ax + bx ) = a + 4b Igualando tenemos - = a + 4b Como existe f (), tenemos que f ( - ) = f ( + ) f ( - ) = lim x f (x) = lim x (a + bx) = a + 4b f ( + ) = lim x + f (x) = lim x ( / x ) = ½. Igualando tenemos ½ =a + 4b. Tenemos - = a + 4b ½ =a + 4b Resolviendo este sistema obtenemos a = -/ y b = ½. Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Halla el punto Q simétrico del punto P = (,0,) respecto de la recta r que pasa por el punto x+y=0 A=(0,,) y es paralela a la recta s de ecuaciones s z=0 [ 5 puntos] Halla la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB. [ punto] Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (,, ) dx

2 IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna La recta r que es paralela a la recta s tiene como vector director el de la recta s Tomando y = λ, la recta s en vectorial es (x,y,z) = (-λ, λ, 0) por tanto un vector director es v = (-,,0) La recta r pasa por el punto A(0,,) y tiene como vector director v = (-,,0), luego su ecuación en vectorial es r (x,y,z) = (-λ, +λ, ) Para hallar el simétrico del punto P(,0,) respecto de la recta r, calculamos el plano Π que pasa por P y es perpendicular a r (n su vector normal n será el director de r v), determinamos el punto de corte de dicho plano Π con la recta r (el punto M), y M será punto medio del segmento PQ, siendo Q el punto simétrico buscado El plano Π tiene como punto P(,0,) y vector normal n = v = (-,,0), su ecuación es Π -(x-) +(y-0) +0(z-) = -x +y +4 = 0 El punto M intersección de r con Π -(-λ) + (+λ) + 4 = 0, de donde λ = -7/5, y M( -(-7/5), +(-7/5), ) = M(4/5, 8/5, ) M es el punto medio de P(,0,) y del simétrico Q buscado (4/5, 8/5, ) = [ (+x)/, (0+y)/, (+z)/ ], de donde x = 8/5, y = 6/5 y z =, por tanto el simétrico es Q(8/5, 6/5, ). Ejercicio 4 de la opción A del modelo 5 de Considera las matrices A= 0 B= [ 5 puntos] Determina si A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa. [ punto] Resuelve la ecuación matricial BA A = AB X. Existe A - si y solo si A 0 Como B = 0, por tener una fila de ceros, no existe B A = 0 = 0 - = - = - 0, por tanto existe A t t t A = Adj(A ) ; A= 0 A, A = 0, Adj(A )= t A = Adj(A )= - - A BA A = AB X, de donde X = A +AB BA A = 0, A.B=, B.A= X= =

3 IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción B Ejercicio de la opción B del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Dos partículas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo t las posiciones de las partículas son, respectivamente A( ½(t ), /( t)) y B = ( t, 0). Determina el instante t o en el que las partículas están más próximas entre sí y a qué distancia se hallan una de otra en ese instante. Nos piden hacer mínima la distancia d(a,b) = AB AB = ( t /t ½, - / + /.t ) = ( /(-t+), /(t-) ) 9 d(a,b)= (-t+) + (t-) 4 4 Calculamos su primera derivada y la igualamos a cero y nos dará el mínimo 8/4(-t+)(-)+/4(t-) d '= 9/4(-t+) +/4(+-) Igualando d = 0, obtenemos (t ).( 9/ + ¾) = 0, de donde t =, que es el instante en el que están más próximas entre si. Si sustituimos en d(a,b), la distancia es cero, pues los dos sumandos que hay dentro de la raíz son cero. Ejercicio de la opción B del modelo 5 de 999. sen(x) [ punto] Calcula la integral dx (cos(x)) Realizando el cambio de variable cos(x) = t [ punto] Calcula la misma integral que en el apartado anterior pero haciendo el cambio de variable tg(x) = u (c) [0 5 puntos] Se obtiene el mismo resultado en ambos casos? Justifica la respuesta.. [ sen(x) / (cos(x)) ] dx con el cambio cos(x) = t; -sen(x) dx = dt [ sen(x) / (cos(x)) ] dx = ( -dt / t ) = - t dt = - t / (-) = / t = (quitando cambio) = = / (cos(x)) + K [ sen(x) / (cos(x)) ] dx con el cambio tan(x) = u; [ / cos (x) ]dx = du [ sen(x) / (cos(x)) ] dx = [ {sen(x)/cos(x)}.{dx/cos (x)} ] = u.du = u / = (quitando cambio) = = (tan (x))/ + M (c) El resultado que se obtiene es el mismo pues hay que tener en cuenta que dos primitivas se diferencian en una constante, es decir / [cos (x) ] = ½ tan (x) + K = [sen (x) / cos (x) ] + K = sen (x) + Kcos (x) - sen (x) = Kcos (x) cos (x) = Kcos (x) De donde K = ½ ( también sale cos(x) = 0) Ejercicio de la opción B del modelo 5 de 999. Considera la circunferencia de ecuación x + y = [ 5 puntos] Represéntala indicando su centro y su radio [ puntos] Halla el área de la figura limitada por las tres rectas siguientes: (i) la recta tangente a la circunferencia en el punto A = (,) (ii) la recta normal a la circunferencia en el punto A. (iii) el eje de abcisas

4 IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Su centro es el punto (0,0) y su radio es La recta tangente en el punto A(,) es y = y (,). (x ) Hallamos la derivada implícita y calculamos el valor y (,). x + y = Derivando en forma implícita x + y.y = 0, de donde y = -x / y = -x / y. Por tanto y (,) = - /, y la recta tangente en A(,) es y = -/( x ). Operando se obtiene y = -/x + / La pendiente m de una recta y la de su normal m, verifican que m.m = -, por tanto la ecuación de la recta normal en el punto A(,) es y = /( x )., y operando se obtiene y = /x Para hallar el área pedida nos fijamos en la figura y lo que nos piden es el área del triángulo formado por la recta normal, la recta tangente y el eje de abcisas, pero Área = /base.altura = ½ (corte de la tangente con abcisas, que es / {hacer y = 0, en la tangente}).(la ordenada del punto A que es ), luego Area = ½.(/). = / u.a. Este resultado también se puede obtener integrando, es decir / ( ) ( ) Area= /x dx+ -/x+/ dx=/ u.a. 0 [ 5 puntos] El determinante Ejercicio 4 de la opción B del modelo 5 de 999. a 5 4 a 8 a 5 vale cero para a =. Comprueba esta afirmación sin desarrollarlo e indicando las propiedades de los determinantes que apliques. [ punto] Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Justifica la respuesta. Tomando a =. vemos que la tercera columna es suma de la primera y la segunda, y por tanto al depender linealmente el determinante vale cero 5 4 =

5 IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna a = 4 a =a a =a 0 a- = 8 a 5 4 a 5 0 a -4 5 = a[(a-)(5-(a+))] = a(a-)(9-a) Por tanto este determinante vale cero si y solo si a = 0, a = y a = a[5(a-) (a -4)] = a[5(a-) (a-)(a+)] = 5

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