VIII. MOMENTOS DE INERCIA

Transcripción

1 VIII. MOMENTOS DE INECIA ecordemos que el momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. El momento de inercia, en cambio es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por el cuadrado de su distancia a un eje. Como la distancia está elevada al cuadrado, los momentos de inercia también se llaman momentos de segundo orden o, simplemente, segundos momentos. Por esa misma razón, los momentos de inercia son escalares siempre positivos. Ha momentos de inercia del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, de áreas de líneas. A diferencia de los estáticos, que son cantidades meramente matemáticas, los momentos de inercia de las masas miden la oposición de los cuerpos a girar alrededor de un eje, su conocimiento resulta imprescindible para estudiar el movimiento de los cuerpos. Así como el momento estático de la masa de un cuerpo respecto al eje de la equis se puede obtener mediante la epresión B m = m en donde es la distancia del centro de masa al eje de las equis, el momento de inercia de la masa de un cuerpo respecto al mismo eje se puede epresar como I = k 2 m en donde k es cierta distancia el eje de la equis, que recibe el nombre de radio de giro. Tal distancia corresponde al lugar en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para que conservara su momento de inercia.

2 Consideremos el menhir de la figura una partícula cualquiera de masa diferencial dm, cuas distancias a los ejes cartesianos son r, r r z, Los momentos de inercia de esa partícula serán di = r 2 dm di = r 2 dm di z = r z 2 dm r z r z dm z r, por tanto, los momentos de inercia de la masa del menhir serán: I = r 2 dm I = r 2 dm I z = r z 2 dm Como se puede apreciar, empleando el teorema de Pitágoras, r 2 = 2 + z 2, Sustituendo este resultado en la epresión del momento de inercia, tendremos I = ( 2 + z 2 ) dm = 2 dm + z 2 dm Estas dos últimas epresiones corresponden a lo que podríamos llamar momentos de inercia con respecto a los planos z z, respectivamente: I z = 2 dm I = z 2 dm Las epresiones que acabamos de escribir serán mu útiles en el cálculo de los momentos de inercia de los cuerpos. 178

3 Momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos Para nuestro curso básico resulta necesario conocer los momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos de forma común, como el cilindro, la esfera, el cono el prisma rectangular. Momento de inercia de la masa de un cilindro de pared delgada El cálculo del momento de inercia de la masa m de un cilindro de radio de pared delgada (es decir, de un cilindro cuos radios interior eterior son prácticamente iguales) con respecto a su eje de figura resulta mu sencillo, pues cualquiera de sus partes se encuentra a un radio de distancia de dicho eje. Por tanto, su momento de inercia será I = m 2 h Momento de inercia de la masa de un cilindro macizo Para calcular el momento de inercia de la masa de un cilindro macizo homogéneo de masa m, radio altura h, respecto a su eje de figura, comenzaremos determinando su masa en función de su volumen: m = ρv La cantidad que hemos designado con es la masa específica (o masa por unidad de volumen), también llamada densidad. Por tanto dr m = ρπ 2 h r Ahora vamos a descomponer el cuerpo en infinidad de cilindros de pared delgada concéntricos. Cada uno de ellos tendrá un radio r un espesor dr, h 179

4 como se muestra en la figura. El volumen de dicho elemento diferencial será dv = 2πrhdr que corresponde lo largo (h), lo ancho (2 ) el espesor (dr) del elemento. O sea que su masa es dm = ρ dv dm = 2ρπrhdr por tanto, su momento de inercia será di = r 2 dm di = 2ρπr 3 hdr el de todo el cilindro I = 2ρπh r 3 dr I = ρπr 4 h dr 2 = (ρπ 2 h) 2 /2 Como lo contenido en el paréntesis es la masa del cilindro, podemos escribir I = 1 2 m2 Ejemplo. Calcule el momento de inercia de un cilindro hueco, cuos radios eterior e interior son 2 1, respectivamente. Utilice el resultado obtenido arriba para evitar cualquier tipo de procedimiento de integración. 1 2 h Al momento de inercia de un cilindro macizo de radio 2 le restaremos el momento de otro de radio 1. m = m 2 m 1 = ρv 2 ρv 1 m = ρπ 2 2 h ρπ 1 2 h = ρπh( ) 18

5 I = I 2 I 1 = 1 2 m m I = 1 2 ρπ 2 4 h 1 2 ρπ 1 4 h = 1 2 ρπh( ) Como el producto de dos binomios conjugados es la diferencia de los cuadrados I = 1 2 ρπh( )( ) I = 1 2 m( ) Una fácil comprobación del resultado anterior sería tomar el caso de que 1 2 fueran iguales. Entonces el momento de inercia tendría un valor de m 2, que es precisamente el que corresponde al de un cilindro de pared delgada. Momento de inercia de la masa de una esfera Para abordar el cálculo del momento de inercia de una esfera, comenzaremos escribiendo su masa en función del volumen. m = ρv = 4 3 ρπ3 A continuación descompondrémos la esfera en infinidad de cilindros infinitamente delgados, como se muestra en la figura. dm = ρdv = ρπ 2 dz El momento de inercia de un elemento diferencial es z dz z di z = dm = 1 2 ρπ4 dz Puesto que debemos integrar con respecto a z, se requiere que este en función de ella. 181

6 Como puede observarse,, se relacionan mediante el teorema de Pitágoras de la siguiente manera 2 + z 2 = 2 2 = 2 z 2 por lo tanto di z = 1 2 ρπ(2 z 2 ) 2 dz el momento de inercia de toda la masa de la esfera respecto al eje z será I z = 1 2 ρπ (2 z 2 ) 2 dz = ρπ ( 2 z 2 ) 2 dz Desarrollando el binomio I z = ρπ [ 4 dz 22 z 2 dz + z 4 dz] I z = ρπ [ ] = 8 15 ρπ5 = 2 5 (4 3 ρπ3 ) 2 I z = 2 5 m2 Momento de inercia de la masa del prisma rectangular Para la obtención del momento de inercia de la masa de un prisma rectangular con respeto a un eje centroidal b recurriremos a los momentos con respecto a los planos cartesianos con el fin de simplificar el proceso. La masa del prisma, en función de su volumen a es m = ρv = ρabc Como elemento diferencial tomaremos una placa rectangular de espesor infinitamente pequeño, cua masa es dm = ρdv = ρabd z c d 182

7 El momento de inercia de tal elemento respecto al plano z es di z = 2 dm = ρab 2 d el de todo el cuerpo, respecto al mismo plano. I z = ρab c 2 c 2 c/2 2 d = 2ρab 2 d I z = 1 12 ρabc3 El momento de la masa respecto al plano se obtiene de modo semejante, fácilmente se puede deducir que es I = 1 12 ρa3 bc Como I = I + I z I = 1 12 ρa3 bc ρabc3 = 1 12 ρabc(a2 + c 2 ) I = 1 12 m(a2 + c 2 ) Dadas las simetrías del prisma, los momentos de inercia de su masa, respecto a los otros planos, se pueden obtener los momentos respecto a los otros ejes simplemente cambiando las variables. Así I = 1 12 m(a2 + b 2 ) I z = 1 12 m(b2 + c 2 ) Momento de inercia de la masa de otros cuerpos Hemos visto cómo se calculan los momentos de inercia de varios cuerpos que son, a nuestro juicio, los más significativos. Los de otros cuerpos, como el del cono, pueden calcularse de modo semejante al de la esfera, o con los razonamientos que seguimos en el del prisma. 183

8 Ejemplo. Sabiendo que el momento de inercia de un cono de masa m de altura h cua base tiene un radio 2, respecto al eje de las zetas es 3 1 m, determine el momento de inercia de su masa respec-to a un diámetro de su base. Como la suma de los momentos respecto a dos planos que se intersecan en un eje es igual al momento de inercia respecto a dicho eje, es decir I = I + I z I = ρπ 2 h h h h 2 [h2 z 2 dz 2h z 3 dz + z 4 dz] También I = ρπ 2 h 2 [1 3 h5 1 2 h h5 ] I = ρπ 2 h 2 ( 1 3 h5 ) = 1 1 (1 3 ρπ2 h) h 2 Como I z = I z, entonces de donde I = 1 1 mh2 I z = I z + I z I = 2I z I z = 3 2 m2 falta calcular el momento de inercia con respecto al plano : h z dz z pero m = ρv = 1 3 ρπ2 h dm = ρdv = ρπ 2 dz z = h h 184

9 de donde = (h z) h El momento de inercia del elemento diferencial es di = z 2 dm = ρπ 2 h 2 (h z)2 z 2 dz di = ρπ 2 h 2 [h2 z 2 2hz 3 z 4 ]dz del cono completo Sumando los dos momentos de inercia I = 1 1 mh m2 I = 1 1 m(h ) Teorema de los ejes paralelos o de Steiner Consideremos un menhir de masa m, cuo centro de masa se encuentra en G(, ), Elegiremos dos sistemas de referencia. El O, arbitrario, el ugv, centroidal paralelo al anterior, como se muestra en la figura. El momento de inercia de la masa del menhir respecto al eje de las equis es I = 2 dm pero, como se puede deducir de la construcción, = Y + v, por tanto 185 O v dm G(, ) I = (v + ) 2 dm = v 2 dm + 2 vdm + 2 dm La primera integral es el momento de inercia de la masa del menhir respecto al eje de las úes; la segunda, es el momento estático de la masa respecto al mismo eje, que por ser centroidal, es nulo; la tercera es la masa v u

10 misma, que resulta multiplicada por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes horizontales. Por tanto, podemos escribir I = I v + m 2 I = I + m 2 QED Escribimos I en vez de I v por tratarse de un momento de inercia respecto a un eje centroidal. El teorema se aplica a todos los momentos de inercia, no sólo a los de masa, se puede enunciar de la siguiente manera: El momento de inercia respecto a un eje cualquiera es igual al momento respecto a un eje centroidal paralelo al primero más el producto de la masa multiplicada por las distancia entre los ejes al cuadrado. Ejemplo. Calcule el momento de inercia de la masa m de un cono de altura h cua base tiene un radio, respecto a un eje centroidal paralelo a cualquiera de los diámetros de su base. h/4 z G h I = I + m 2 I = I m 2 I = 1 1 m(h ) m ( h 4 ) 2 I = 1 1 mh m mh2 I = 3 8 mh m2 I = 3 8 m(h ) Ejemplo. Determine el momento de inercia de una barra delgada de longitud l masa m respecto a un eje perpendicular a su eje de figura que pase por uno de sus etremos, respecto a otro, centroidal, paralelo al anterior. l/2 u l/2 m 186

11 La masa de la varilla es m = ρv = ρal en donde A es el área, infinitamente pequeña, de la sección transversal. La masa del elemento diferencial es dm = ρad su momento de inercia con respecto al eje de las equis di = 2 dm = ρa 2 d De toda la varilla d dm l I = ρa 2 d = 1 3 ρal3 = 1 3 (ρal)l2 I = 1 3 ml2 Empleando el teorema de los ejes paralelos I = I + m 2 I = I m 2 I = 1 3 ml2 m ( l 2 ) 2 = ml 2 ( ) I = 1 12 ml2 Momentos de inercia de cuerpos compuestos El momento de inercia de la masa de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los momentos de inercia de cada una de sus partes. Ilustraremos el procedimiento mediante un ejemplo. 187

12 Ejemplo. La figura representa un cuerpo de 8 kg de masa compuesto por un semicilindro un prisma de sección cuadrada. Calcule su momento de inercia con respecto al eje O O. 1 cm O O 4 cm 16 cm 4 cm Se trata de un cuerpo compuesto por un semicilindro un prisma de sección cuadrada. Comenzaremos calculando la masa de cada parte 8 = m 1 + m 2 = ρv 1 + ρv = ρ ( 1 2 π12 ) 4 + ρ(4)4(16) = ρ(2π + 256) por tanto m 1 = m 2 = ρ = El momento de inercia de la masa del cuerpo es igual a la suma de los momentos de sus partes El momento de inercia del semicilindro respecto a su eje de figura es I = 1 2 m 1 2 = 1 2 m 1(1 2 ) = 5m 1 Y respecto a un eje centroidal paralelo al anterior u 4/3π G I = I md 2 La distancia entre los ejes es d = 4 3π = 4 3π = I = 5m m 1 I = (5.684)31.99 =

13 Calculamos ahora el momento de inercia respecto al eje O O I O = I + m 1 D 2 I O = ( ) 2 I O = 2511 El momento de inercia del prisma, respecto a un eje centroidal es 8 O I = 1 12 m 2(a 2 + c 2 ) = 1 12 m 2( ) v O = 1 12 m 2(8) respecto al eje O O I O = I + m 2 2 I O = 1 12 m 2(8) + m 2 (8 2 ) = ( ) I O = por tanto, de todo el cuerpo es I O = 267 kg cm 2 Serie de ejercicios de Estática MOMENTOS DE INECIA 1. Diga en qué casos el centro de masa de un cuerpo su centro de gravedad coinciden. 2. Una placa de fierro de espesor uniforme tiene forma de trapecio las dimensiones que se muestran en la figura. Determine las coordenadas de su centro de masa. (Sol. G(5, 36.7) [cm] 3 cm 3 cm O 9 cm 189

14 3. Las barras homogéneas OA BC tienen 8 kg de masa cada una están unidas en A, formando un solo cuerpo. En dónde se halla su centro de masa? (Sol. o =.375 m ) 4. El radio del tramo circular de la varilla de la figura tiene 5 in de radio. Calcule las coordenadas del centro de masa de la varilla. (Sol. G(19.45, 29.2) [cm ) 5. A un disco homogéneo de 4 mm de radio se le caló medio disco de 38 mm de radio, como se muestra en la figura. Diga en dónde se encuentra su centro de masa. (Sol. o = mm ) 6. El árbol de una máquina tiene 8 cm de largo su base tiene un diámetro de 5 cm. Su mitad izquierda es de plomo, la otra de cobre. Sabiendo que las masas específicas de esos materiales son kg/dm 3, determine la posición del centro de masa del árbol. (Sol. En el eje de la figura, a 37.6 cm del etremo izquierdo) 7. Un semicilindro reposa sobre una superficie horizontal, como se muestra en la figura. Una mitad es de acero, la otra, de aluminio. Si los pesos específicos del acero del aluminio son kg/m 3, respectivamente, qué valor tiene el ángulo ϴ? (Sol. 26. ) 19 O 38 θ.5 m 5 B A C 4 cm 4 cm cm

15 8. Eplique cuáles son las características físicas de los cuerpos que se pueden medir mediante los momentos de inercia. 9. Determine, por integración, el momento de inercia de la masa de un cilindro hueco de altura l, cuos radios interior eterior son, respectivamente, 1 2. (Sol. (1/2) m [ ]) 2 1 l 1. El rotor homogéneo de la figura está compuesto por un eje cilíndrico un disco, cuos radios respectivos son 4 3 cm. Su masa es de 8 kg. Calcule el momento de inercia de su masa, respecto a su eje de figura. (Sol. 282 kg cm 2 ) 4 cm 5 cm 4 cm 11. La figura representa un cuerpo formado por una esfera de.3 m de radio un eje de.8 m de largo, cua base tiene un diámetro de.1 m. Sabiendo que su material tiene una masa específica de 721 kg/m 3, diga cuál es el momento de inercia de su masa respecto a a) su eje de figura ( ); b) un eje perpendicular al anterior, que pase por el etremo libre de la barra ( ). (Sol. a)i = 29.5 kg m 2 ; b)i = 126 kg m 2 ).1 m.8 m.3 m 191

16 12. Las barras homogéneas OA BC tienen 8 kg de masa cada una están unidas en A, formando un solo cuerpo. Determine el momento de inercia de su masa respecto a un eje perpendicular al plano que las contiene que pase por O. (Sol kg m 2 ) O.5 m B A C.25 m.25 m 13. La masa del impulsor de una bomba centrífuga es de 12.5 kg. El radio de giro de su masa respecto al eje de rotación es de 15 cm. Determine el momento de inercia de la masa del impulsor respecto a: a) dicho eje de rotación; b) un eje, paralelo al anterior, que pase por el punto P. (Sol. I = 281 kg cm 2 ; I P = 781 kg cm 2 ) 4 cm P 14. El cono truncado de la figura es de un material cua masa específica es 41 slug/ft 3. Calcule el momento de inercia de su masa respecto a su eje de simetría ( ) respecto a uno diametral que pase por su base ( ). (Sol. I = 328 slug ft 2 ; I = 465 slug ft 2 ) Calcule el momento de inercia de la masa del volante de acero de la figura, respecto a su eje de rotación. La masa específica del acero es 7.83 kg/dm 3. Cuál es su radio de giro centroidal? Los raos son cilíndricos. (Sol. I = 881 kg m 2 ; k = 68.4 cm) 1 cm 1cm 2 cm 1cm 4 cm cm 1cm 16cm 192 3cm