VII. MOMENTOS ESTÁTICOS

Transcripción

1 VII. MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. Ha momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, de áreas de líneas. Se llaman momentos por su semejana con los momentos de las fueras, que se obtienen mediante el producto de una fuera por la distancia de su línea de acción a un cierto eje tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los momento estáticos no producen ninguna tendencia al giro, por eso son estáticos. Se llaman también momentos de primer orden. Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna referencia física, nos servirán para obtener lugares reales, como el centro de gravedad el centro de masa de un cuerpo, así como los centroides de volumen, de área de línea. Peso de un cuerpo La fuera con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la hemos venido considerando como una fuera concentrada, realmente no lo es, el peso de un costal de mananas, por ejemplo, es la suma de los pesos de cada manana. Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera ( 1 ). Su peso es la suma de los pesos de cada una de sus partículas. Todos esos pesos constituen un sistema de fueras paralelas. Para determinar su resultante emplearemos las dos ecuaciones siguientes: R = F ( 1 ) Este tema podría estudiarse sin dificultad en un curso de Cálculo.

2 M O R = M O F de donde R = F que, para este caso particular, se convierten en P = dp P = dp A Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje de las es, que se suele simboliar así: B P = dp Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es B P = dp Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente trabajar con los momentos estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a ejes, sino respecto a planos; o sea B P = dp; B P = dp; B P = dp Como las coordenadas, pueden ser positivas, negativas o nulas, los momentos estáticos también pueden resultar positivos, negativos o nulos. Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano de simetría son nulos, puesto que el momento de un lado del plano es igual al del otro, pero de sentido contrario. Dicho de otra manera, el centro de gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si eiste. 156

3 Centro de gravedad Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el peso del cuerpo se obtienen tres coordenadas de un punto contenido siempre es decir, independientemente de la colocación del cuerpo en la línea de acción del peso. P B = ; B = ; B P P P P P = Ese punto se llama centro de gravedad: G(,, ). El centro de gravedad, es pues, la posición del peso de un cuerpo. Centro de masa Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos pensar en los momentos estáticos de la masa de un cuerpo: B m = dm ; B m = dm; B m = dm Y el punto cuas coordenadas sean P B P P m,b m, B m será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que, como el peso es igual al producto de la masa por la aceleración de la gravedad, es decir, P = mg, también dp = g dm. Y si el valor de la gravedad es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa el centro de gravedad coinciden. Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes la raón de la masa al volumen es igual, la posición de los centros de gravedad de masa dependen sólo del volumen. El punto cuas coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre 157

4 el volumen, ( dv/v, dv/v, dv/v) es el centroide del volumen coincide con los dos centros mencionados. Centroides de algunos volúmenes Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en particular los de volumen, son la suma de los productos de cada parte por su distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma entre el volumen de todo el cuerpo, obtenemos la distancia del plano al centroide. Ilustraremos esto con el siguiente ejemplo. Ejemplo. El cuerpo que se muestra en la figura es homogéneo. Determine las coordenadas de su centro de gravedad. 20 cm 12 cm 2 cm 30 cm 2 cm Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo por sus limitadas dimensiones tanto el centro de masa como el centro de gravedad el centroide del volumen son el mismo punto, nos limitaremos a obtener este último. Observamos, en primer lugar, que ha un plano paralelo al que es de simetría, pues corta en dos partes iguales al cuerpo, cua ecuación es = 15. Por tanto, la abscisa del centro de gravedad es 15 cm. Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de cm, otro de 2 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admite tres planos de simetría, sabemos que sus respectivos centroides de volumen están en (15, 6, 1) (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los momentos estáticos respecto a los planos, sumarlos,, al dividirlos entre el peso total, hallar la posición del centroide. Pero para facilitar el trabajo haremos la siguiente tabla. 158

5 Parte Vi i i ivi ivi Como = B V /V = B V /V, entonces = 540/180 = 3, =1260/180=7. Por tanto, las coordenadas buscadas son Centroide del cono G(15, 3, 7)[cm] Colocaremos un cono cua base tiene un radio R cua altura es h con el vértice en el origen de un sistema de referencia con su eje de figura coincidiendo con el eje de las cotas, como se muestra en la figura. Descompondremos el cono en volúmenes de cuos centroides conocamos la posición, de modo que podamos calcular sus momentos estáticos con respeto al plano, sumándolos, obtener el del cono. En realidad se trata de elegir un elemento diferencial del volumen que nos permita realiar esa suma. Un elemento diferencial idóneo es R un cilindro cua base sea paralela al plano horiontal cuo espesor sea infinitamente pequeño. El volumen de h este elemento es dv = r2 d. Y el volumen del cono será V= r 2 d= r 2 d. Es fácil establecer una relación entre r para poder integrar: por semejana de triángulos, r/ = R/h, o sea, r=(r/h). El volumen r d es, por tanto, V=( R 2 /h 2 ) 2 d. Los límites de la integral son 0 h, por lo cual resulta V = R 2 /3. 159

6 B V Su momento estático se calcula fácilmente, pues es db = dv. Con las mismas sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llegamos a B V = ( R 2 /h 2 ) 3 d. Y, puesto que lo límites son nuevamente 0 h, V = R 2 h 2 /4. Dividiendo este momento estático entre el volumen, encontramos la cota del centroide: = 3h 4 o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altura, desde la base. Centroide de un hemisferio Para hallar la posición del centroide de un hemisferio de radio R, se puede seguir un procedimiento mu similar al que utiliamos para la determinación de la ubicación del centroide del cono. El elemento diferencial que elegiremos es nuevamente un cilindro de radio r, paralelo al plano, a una distancia de dicho plano: dv = r 2 d. R Para poder integrar con respecto a la variable, podemos recurrir al teorema de Pitágoras para establecer la rela- ción R 2 = r ; de donde r 2 = R 2 2. r d El lector podrá por su cuenta realiar R las integrales correspondientes para llegar a encontrar que R r V = 2πR3 3 B V = πr

7 al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición buscada: = 3R 8 Centroides de algunas áreas Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides de superficies a las más usuales, que son el triángulo el sector circular. Centroide del triángulo Para hallar el lugar que ocupa el centroide del triángulo, o baricentro, como lo llamaban los antiguos, podemos recurrir a vario procedimientos, el más conocido es traar las medianas del triángulo determinar su punto de concurrencia. En realidad bastaría con di- bujar dos medianas, es decir dos líneas que pasen por el centro de dos lados cualesquiera por sus vértices opuestos: en la intersección se halla el centroide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución de problemas usuales de ingeniería. En el capítulo correspondiente a resultantes de fueras paralelas, dedicamos un apartado a las fueras distribuidas, hallamos que la línea de acción de la resultante de un sistema de cargas representado mediante un triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partir de la base. De modo que no necesitamos ninguna otra demostración para saber que el centroide de un triángulo tiene esa posición: basta conocer dos de las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho punto. h G h/3 161

8 Centroide de un sector circular Estudiaremos un sector circular de radio R comprendido en un ángulo 2 elegiremos un eje de las equis sobre su eje de simetría, de modo que su centroide se encuentre en él, es decir = 0. Como elemento diferencial tomaremos un sector circular de radio R, inclinado un ángulo comprendido en un ángulo d, como se muestra en la figura. R β dθ θ G ds da Asimilaremos tal sector a un triángulo cua altura sea R cua base ds. Por tanto da = 1 R ds 2 Como tenemos que integrar con respecto a, tengamos en cuenta que, como todo ángulo se mide dividiendo el arco entre el radio, d =ds/r, o sea que ds = R d. Podemos escribir da = 1 2 R2 dθ e integrando desde hasta o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arriba del eje de las equis es igual a la de abajo A = ( 1 2 ) R2 dθ = 2 ( 1 2 ) R2 dθ = R 2 dθ A = βr 2 Calcularemos ahora el momento estático: db A = da = ( 2 3 R cos θ) 1 2 R2 dθ 162

9 db A = 1 β 3 R3 cos θ dθ β Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área bajo el eje B A = 2 β 3 R3 cos θ dθ 0 A = 2 3 R3 sen β = 2 3 R3 sen θ 0 β A = 2 R 3 sen β = 2R3 sen β 3 A 3βR 2 = 2R sen β 3β Dos sectores circulares de especial interés son el semicírculo el cuadrante de círculo. Para el primero, β es igual a π/2 su seno es 1; por tanto R R = 2R(1) 3(π 2) = 4R 3π G Si al semicírculo se le quita el cuadrante inferior, la distancia del centroide del que queda al eje de las es no cambia. Por tanto, las coordenadas del centroide de un cuadrante son: 4R 3π = = 4R 3π 4R 3π G 4R 3π 163

10 Ejemplo. Determine las coordenadas del centroide del área compuesta que se muestra en la figura. 18 cm 6 cm 12 cm Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 186 cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, un cuadrante de círculo de 6 cm de radio Parte Ai i i iai iai = B A A = 684 = 5.12; = B A G(5.12,6.42)[cm] A = = 6.42 Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto a los ejes cartesianos, se puede etrapolar sin ninguna dificultad a los planos cartesianos. De forma que 164

11 Ejemplo. Diga cuáles son las tres coordenadas del área compuesta que se representa en la figura Para determinar esas coordenadas, utiliaremos los momentos estáticos del área, descompuesto en partes, respecto a los planos cartesianos Parte Ai i i i iai iai iai = 4 = 12 4R 3π = 6.91 = B A A =

12 = B A A = = B A A = G(4.67,3.84,1.503 ) Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también determinar los centros de gravedad de masa de cuerpos no homogéneos, como el que se presenta en el siguiente ejemplo. 30 mm 30 mm Ejemplo. La figura representa la sección transversal de una barra de 50 cm de largo, fabricada con aluminio (1) acero (2) cuos pesos específicos son g/cm 2, respectivamente. Determine la posición del centro de gravedad de la barra. 30 mm (2 ) 20 mm (1 ) 60 mm Como el plano paralelo al que pasa a 25 cm del origen es plano de simetría, = 250 mm. Además, el plano también es de simetría; o sea que =0. Para hallar las otras dos coordenadas, emplearemos los momentos estáticos de área, dándoles cierto peso. Descompondremos en tres partes: un área semielíptica de aluminio, una rectangular negativa de aluminio, más otra rectangular de acero. 50 cm 166

13 Aunque podríamos recurrir a las tablas de los tetos para conocer la posición del centroide de un área semielíptica, la buscaremos mediante integración. da = 2d da = 1 De la ecuación de la elipse = d = = da d 60 A = d = angsen Y el momento estático será 60 B A = db A = da d = 1 3 ( ) = =

14 Entonces Parte Ai ρi ρiai i iρiai = i ρ i A i ρ i A i = = 23.7 Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son G(0, 23.7, 250)[mm] Teorema de Pappus-Guldinus Una aplicación interesante práctica de los momentos estáticos se presenta con el teorema de Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era, que formalió Guldin en el s. XVI. Como este último latinió ambos nombres, el teorema sigue conociéndose como de Pappus-Guldinus ( 2 ). ( 2 ) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero, que no se estudiará aquí, desmuestra que el área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatri por la distancia que recorre su centroide. 168

15 Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpo de sección transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área de la base por la longitud del cuerpo, el teorema de Pappus-Guldinus demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer girar una superficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto del área generatri multiplicada por la longitud que recorre su centroide. Tomemos una superficie cualquiera de tamaño A, cuo centroide es el punto G, como se muestra en la figura. Escogeremos un área diferencial separada una distancia del eje de las equis. Al girar dicha superficie alrededor del eje equis, el área diferencial da generará un volumen igual a dicha área multiplicada por la longitud que recorre: dv = l da, pero tal longitud en 2. El volumen del cuerpo engendrado lo podemos obtener integrando: G da V = dv = 2π da = 2π da en donde la última integral es el momento estático del área generatri con respecto al eje de las equis. Por tanto V = 2π A Pero 2π es la longitud que recorre el centroide del área al girar una revolución. Por tanto, V = la QED 169

16 El teorema se puede enunciar como sigue: el volumen de un sólido de revolución es igual al producto del área generatri por la distancia que recorre su centroide. R Ejemplo. Encuentre la fórmula del volumen del cono, empleando el teorema de Pappus- Guldinus. Sean h su altura R el ancho de su base. R/3 G h l = 2π ( R 3 ); A = 1 2 Rh; V = la; V = 2π (R 3 ) 1 2 Rh V = 1 3 πr2 h Ejemplo. La figura representa la sección transversal de un anillo de 4 in de diámetro interior. Calcule su volumen Descompondremos el área generatri en un rectángulo un semicírculo. Elegiremos un eje de las equis que nos permita simplificar las operaciones. 170

17 Parte Ai i iai = = El radio de la traectoria del centroide es igual al radio eterior menor v = 2π( )3.571 v = 65.2 in 3 π/2 4/3 π 2/ Ejemplo. Se desea calcular el volumen de concreto que se necesita para la construcción de la cortina de la presa cuas planta sección transversal se muestran en las figuras. Cuál es ese volumen? C A A Corte A A Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C. 171

18 Parte Ai i iai m O = = El radio de la traectoria del centroide es r = = la longitud que recorre es la seta parte de la circunferencia l = π (2πr) = = V = la = (2552) V = m 3 172

19 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm Momentos estáticos Serie de ejercicios de Estática MOMENTOS ESTÁTICOS 1. Determine, por integración, las coordenadas del centroide del tímpano mostrado. Sol. (3a/4, 3b/10) Encuentre la posición de los centroides de las superficies que se muestran en las siguientes figuras. = k 2 a b 2. Sol. (17, 3.88) cm 3. Sol. (6.83, 4.95) in 8 9 cm 4 10 cm 14 cm 10 cm Sol. (1.295, 1.295) cm 5. Sol. (2.66, 2.71) ft 4 1 cm 1 cm cm 1 cm

20 10 mm 10 mm 10 mm 10 mm Momentos estáticos 6. Sol. ( 4.93, 2.30) cm 7. Sol. (0, 3.37) cm 6 cm 6 cm 4 cm 12 cm 8 cm 10 cm 8. Sol. (12, 0.734) in 9. Sol. (1.081, 2.62) ft Sol. (5.54, 0, 4.46) in 11. Sol. (0.495, 0, 0.495) in 5 mm 5 mm 10 mm 10 mm 20 mm

21 12. La figura representa una placa delgada de espesor uniforme de 0.5 in. El peso específico del material (1) es de 6 lb/in 3 el del material (2), 8 lb/in 3. Determine el peso de la placa las coordenadas de su centro de gravedad. Sol. P = 66 lb, (3.18, 1.5) in 3 (1) (2) La figura representa la sección transversal de una barra. La masa específica del material (1) es de 520 g/cm 3 la del material (2), de 780 g/cm 3. Diga cuáles son las coordenadas del centro de masa. Sol. (13.06, 0) cm 20 cm (1) (2) 14. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la superficie mostrada alrededor del eje de las es. Sol in En la figura se muestra el área generatri de un sólido de revolución. Determine el volumen del sólido, si el área rota en torno al eje de las equis. Sol cm 3 10 cm 30 cm

22 16. La figura muestra la sección diametral de un toro. Calcule su volumen. Sol cm 3 10 mm 30 mm 30 mm 10 mm 17. Un cilindro de 4 in de radio 12 de altura se tornea hasta conseguir la piea mostrada. Determine su volumen. Sol. 377 in Las figuras representan la planta la sección transversal de la cortina de una presa. Determine el volumen de concreto que se requiere para su construcción. Sol ft