INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Transcripción

1 INTEGALES DE FUNCIONES DE VAIAS VAIABLES [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z.

2 Integrales dobles sobre rectángulos La integral de iemann para una función f de dos variables se define de manera similar a la integral de una función de una variable: Consideremos el rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados: {(,y):a b c y d} Formemos una partición P de la región mediante rectas paralelas a los ejes. Esto divide a en subrectángulos k. b a c d Si k es el área del rectángulo k y escogemos en k un punto ( k, y k ), podemos formar la suma de iemann n k f ( k, yk ) k

3 Haciendo cada vez más fina la partición P llegamos a definir la integral de f sobre la región : f (, y) da Definición: Si el siguiente límite lim P n k f ( k, y eiste, decimos que la función f es integrable en, su valor se denota lim P n f ( k, y k ) k k k ) k f (, y)da y se llama integral doble de f sobre. y Como k i j es el área de un rectángulo, otra notación para la integral doble es f(,y) da f(,y)ddy b a c d 3

4 Así como f()d, con f (), representa el área de la región bajo b a la curva y f() entre a y b, de manera semejante, si, la integral representa el volumen del sólido bajo la f(,y) da superficie z f(, y) y arriba del rectángulo. f(,y) Observaciones: ()No toda función z f(, y) de dos variables es integrable sobre un rectángulo. Si f es acotada en el rectángulo y continua en con ecepción, quizás, en un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en. ()Si f es continua en, entonces f es integrable en. (3)La integral doble hereda la mayoría de las propiedades de la integral simple, a saber, k f (, y) da k f (, y) da, k 4

5 [f (, y) ± g(, y)] da f (, y) da ± f (, y) da f (, y) da + f (, y) da g(, y) da donde y son subrectángulos de que se sobreponen sólo en un segmento de recta. (5) Si f(,y), (,y), entonces f(,y) da (6) Si f(,y) g(,y), (,y), entonces (7) Si m f(, y) M, (,y), entonces donde A es el área de. ma f(,y) da g(,y) da f(,y) da MA 5

6 (8) Las propiedades anteriores son válidas también para integrales sobre conjuntos más generales que los rectángulos. Evaluación de integrales dobles Integrales iteradas Teorema de Fubini: Si f es integrable en el rectángulo, entonces Ejemplo: π sen(y) f(,y) da ddy a b π d f(, y)dy d c sen(y) dy d c π b f(, y)d dy a sen(y)dy cos( y) π π sen(y) dyd ( cos(y)) d d π 6

7 Ejercicio: Calcule las integrales iteradas a) c) ln(3) ln() e y e + y ddy dyd b) d) ln() + y e y ddy ddy Ejercicio: Calcule la integral de f(, y) sobre el rectángulo si: a) b) f(,y) sen(+ 4y), [, π] [, π] f(,y) y +, 4 [, 3] [, ] Ejercicio: Calcule el volumen del sólido que está bajo el plano z + 5y + y encima del rectángulo [-, ] [, 4]. 7

8 Área de una región en el plano y f () y f () g (y) g (y) El área de la región viene dada, respectivamente, por: Área A b f () a f () dyd Área A ddy c d g g (y) (y) Ejercicio: Dibuje la región cuya área está dada por (a) ddy (b) y 4 4 dyd 8

9 Integrales dobles sobre regiones generales Las integrales dobles sobre regiones no rectangulares pueden ser complicadas. Para nuestro objetivo bastará considerar regiones llamadas verticalmente simples, horizontalmente simples o uniones finitas de tales conjuntos. 9

10 Teorema de Fubini: Sea f función continua en una región plana. () Si está definida por a b, f() y f() con funciones continuas en [a, b], entonces: f (, y) da a f f y f dyd () Si está definida por c y d, g(y) g(y) con funciones continuas en [c, d], entonces: b f () () g y g f (, y) da a f b f () () dyd Ejercicio: Calcule (a) si S es la región acotada por limitada por y e y +. ( + y) da (b) (+ S y e y D y)da y D es la región

11 Ejercicio: Calcule las siguientes integrales invirtiendo el orden de integración: (a) y cos ddy Ejercicio: Calcule (b) y sen y dyd (a) El volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3 + 6y + 4z -. (b) El volumen del sólido acotado por el cilindro + z 9 y los planos, y, + y en el primer octante. (c) El volumen en el primer octante entre los planos z, z + y + e interior al cilindro + y 6.

12 Cambio de variable para integrales dobles Para integrales simples sabemos que: b f() d a d c f(g(u))g'(u) du, donde g(u), d g (u)du, a g(c), b g(d). Para integrales dobles se tiene el siguiente teorema: f(, y)ddy S f ( g(u,v), h(u,v) ) (,y) dudv (u,v) donde f es continua en, g y h tienen derivadas parciales (,y) continuas en S y es no nulo en S. (u,v)

13 Ejemplo: Calcule El cambio de variables g(u, v), y h(u, v)) (,y) introduce el factor llamado Jacobiano de, y (u,v) respecto de u, v, y cuya definición es (, y) (u,v) 4(+ y)e u y u y v y y y u v u v v dyd donde es el triángulo formado por y, y e y -. (,y) Si u + y, v y, entonces (u v), y + (u v) y. (u,v) Además, y u-v v u - y u+ v u - v v y u+ v v-u u 3

14 Es decir, mediante el cambio de variables, la región del plano XY se transforma en la región S del plano UV limitada por las rectas v u, v o y u. Y la integral se calcula así: 4(+ y)e O bien, 4(+ y)e y y dyd dyd S S 4u e 4u e v v ( ( ) dvdu ) dudv u v+ u e u e v dvdu ( e v dvdu ( e Ejercicio: Sea la región acotada por las rectas y, + y 4, + y, y - 4. Calcule y da ) ) 4

15 Integrales dobles en coordenadas polares El Jacobiano para el cambio de variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares es: (, y) (r, θ) r y r θ y θ cosθ senθ Por lo tanto, si es la región de los puntos rsenθ r cosθ tales que g( θ) r g( θ), α θ β, con β α π, g, g continuas en [ α, β] y f continua en, entonces f (, y) ddy β α g g ( θ) ( θ) f (r cosθ, r (, y) (r cosθ, rsenθ) r senθ) r dr dθ 5

16 Ejercicio: Calcule usando coordenadas polares las integrales (a) a a y yddy (b) 3 9 ( + y ) 3 dyd Ejercicio: Calcule utilizando coordenadas polares las integrales (a) (b) S e + y 4- da y da si es la región encerrada por + y 4. si S es el sector del primer cuadrante de la círculo + y entre y e y. Ejercicio: Calcule el volumen del sólido acotado por el plano z y el paraboloide z y. Observe la conveniencia de cambiar a coordenadas polares. 6

17 Aplicaciones de las integrales dobles () Masa Centro de masa Supongamos que una lámina ocupa una región D del plano XY y su densidad (variable) en unidades de masa por unidad de área en un punto (, y) en D está dada por ρ(, y), donde ρ es una función continua sobre D. La masa total m de la lámina es: m ρ D (, y) da Las coordenadas (, y) del centro de masa de la lámina son: m D ρ(, y) da, y m D yρ(, y) da Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D del primer cuadrante acotada por y y la recta y y que tiene función densidad ρ(, y) y. 7

18 Las integrales M D yρ(, y) da y M corresponden al momento (de toda la lámina) alrededor del eje X y al momento alrededor del eje Y respectivamente. Es decir, m M y e y m M y D ρ(, y) da Ejercicio: La densidad en cualquier punto de una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Determine el centro de la lámina. Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D {(, y) / tiene función densidad ρ(, y) y. π, y sen} y que 8

19 () Momento de inercia Si una lámina tiene función de densidad ρ(, y) y ocupa una región D del plano XY, las integrales I D y ρ(, y) da e I y D ρ(, y) da corresponden a los momentos de inercia ( momento) de la lámina alrededor del eje X y del eje Y respectivamente. El momento de inercia alrededor del origen, también llamado momento polar de inercia es: I o D ( + y ) ρ(, y) da Ejercicio: Determine el momento de inercia alrededor del eje X de la lámina correspondiente a la región parabólica y 4 si la densidad en el punto (, y) es proporcional a la distancia de (, y) al eje X. 9

20 () Área de una superficie Consideremos la superficie S dada por z f(, y) definida sobre una región cerrada y acotada D del plano XY. Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en D, el área de la superficie S es: A(S) + (f (, y)) + Ejercicios: Calcule el área de D (f y (, y)) (a) La porción del plano z y que está situada encima del círculo + y en el primer cuadrante. (b) La parte de la superficie z + y que está encima de la región triangular T del plano XY con vértices (,), (,) y (,). (c) La parte del paraboloide z y cilindros + y y + y 4. da que está entre los