Ejemplos Desarrollados

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Mecánica Mecánica de Medios Continuos Eugenio Rivera Mancilla Ejemplos Desarrollados 1. Una placa rectangular homogénea, de masa m, cuyas aristas son a y como se muestra en la figura 1. Determine el tensor de inercia respecto del punto O. Solución Figura 1: Esquema del prolema El tensor de inercia posee nueve componentes que se pueden calcular mediante las expresiones: Momentos de Inercia I ii = (x j + x k )dm i, j, k ciclicos Productos de Inercia I ij = (x i x j )dm = I ji i j Cálculo de los Momentos de Inercia. Figura : ariación en el eje Y Recordemos en esta parte que si suponemos una placa homogénea de densidad constante, entonces m = ρ, además si añadimos en el volumen = xyz que la coordenada z de la placa es despreciale, la masa de la placa será m = ρa = ρ = m a. a) Para calcular I xx = (y + z )dm = y dm, notemos que el diferencial de masa (al fijar x y variar y) es: m dm = ρd = ρdy }{{} = a dy = m a dy densidad placa y m Luego I xx = dy = I xx = m a a a a y dy = m a a y dy = ma 1

2 ) Análogamente I yy = (x + z )dm es I yy = x x m dm = dx = I yy = m x dx = m x dx = m 1 c) El cálculo del momento de inercia I zz = (x + y )dm, es un poco más complicado, ya que, la integral (en éste caso) pasa a ser una integral dole. El diferencial de masa es dm = ρd = ρda = dm = ρdxdy. Entonces I zz = (x + y )dm = ρ A(x + y )dxdy = m (x + y )dxdy a A Esta última integral se desarrolla de la siguiente forma: I zz = m a (x + y )dxdy = 4m a a a a (x + y )dxdy = m 1 (a + ). Cálculo de los Productos de Inercia. En este ejemplo se puede deducir de la simetría que todos los productos de inercia son cero. De esta forma I xy = I yz = I xz = Finalmente el tensor de inercia es: [I] = m 1 a a + Ejercicio: Una placa rectangular homogénea, de masa m, cuyas aristas son a y como se muestra en la figura 1. Determine el tensor de inercia respecto del punto Q.. Muestre que el Tensor de inercia de una placa triangular contenida en el plano XY respecto al punto O, como se muestra, esta dado por [I] = m a 3 a a a 3 + Solución Figura 3: Esquema del prolema Como la placa homogénea de densidad constante, entonces m = ρ, además si añadimos en el volumen = xyz que la coordenada z de la placa es despreciale, la masa de la placa será m = ρ a = ρ = m. a Cálculo de los Momentos de Inercia.

3 a) Respecto al eje OX, I xx = (y + z )dm = y dm, donde dm = ρd = ρda. La integral a resolver es una integral dole: I xx = ρ y dm = m ax y dydx = ma A a 6. ) En forma análoga calculamos I yy = (x + z )dm: I yy = ρ x dm = m ax x dydx = m A a. c) Ahora calculemos I zz = (x + y )dm. I zz = (x + y )dm = m ax (x + y )dydx = m ( a + 3 ) A a 6 Cálculo de los Productos de Inercia. a) I xy = I yx = xy dm = m xy da = m ax xy dydx = m a A a 4 a ) I yz = I zy = yz dm = m yz dydz =, ya que dz =. a A c) I xz = I zx = xz dm = m xz dxdz =, ya que dz =. a A 3. Considere tres puntos A, B, C de coordenadas (a,, ), (,, ) y (,, c) referidos a los ejes ortogonales X Y Z. El volumen del tetraedro T de vertices O, A, B y C es homogéneo y de densidad ρ. a) Determine los elementos de la matriz de inercia. ) En la hipótesis a = = c. determine los momentos principales y los ejes principales de inercia. Solución Figura 4: Esquema del prolema Para calcular las componentes del Tensor de Inercia del tetraedro, se dee traajar con nociones de cálculo en varias variales, como lo es, encontrar los limites de integración de una integral multiple - en este caso una integral triple - el tema de los limites de integración pasa por calcular la ecuación de una recta y la ecuación de un plano. Para practicar un poco más calculemos primero el volumen del tetraedro - ejemplo de integración que dee ser ase para el cálculo de los momentos y productos de inercia - así que manos a la ora. El volumen se otiene calculando la integral triple = d = dxdydz

4 Limites de integración: Figura 5: ariación para limites de integración ariación en X: Si escogemos la variación tradicional tendremos: < x < a. ariación en Y: Si escogemos la variación de curvas ( en este caso lineal) tendremos: < y < a x +. ariación en Z: Si escogemos la variación superficial (en este caso entre planos): La ecuación de un plano se otiene mediante la expresión N ( p p ) =, donde N es un vector normal (perpendicular) al plano, p es un punto conocido del plano y p un punto genérico (x, y, z) contenido en el plano. Para otener el vector normal consideremos los vectores pertenecientes al plano que son definidos por los puntos P (a,, ), P 1 (,, ) y P (,, c) de la siguiente forma: u 1 = P 1 P = ( a,, ) y u = P P = ( a,, c). Si realizamos el producto cruz entre ellos tendremos N = u 1 u = (c, ac, a). Con esto la ecuación del plano es N v = (c, ac, a) [(x, y, z) (a,, )] = x a + y + z c = 1 Despejando z tendremos z = c ( 1 x a y ), esto nos indica que la variación en Z es : < z < c ( 1 x a y ). Finalmente = a c (1 x a y ) dzdydx = ac 6 En éste prolema las integrales de los momentos y productos de inercia son integrales triples donde dm = ρd = ρdzdydx. Cálculo de los Momentos de Inercia. a) I xx = (y + z )dm = ρ (y + z )d = ρ a c (1 x a y ) (y + z )dzdydx Desarrollando la integral se otiene I xx = ρac 6 ( + c ) ) En forma análoga a I yy = (x + z )dm = ρ (x + z c (1 x a y ) )d = ρ (x + z )dzdydx I yy = ρac 6 (a + c )

5 c) En forma análoga I zz = (x + y )dm = ρ I zz = ρac 6 (a + ) Cálculo de los Productos de Inercia. a) I xy = I yx = xy dm = ρ I xy = I yx = ρac 1 a ) I yz = I zy = yz dm = ρ I yz = I zy = ρac 1 c c) I xz = I zx = xy dm = ρ I xz = I zx = ρac 1 ac Finalmente el tensor de inercia es: [I] = ρac 6 (x + y )d = ρ xy d = ρ yz d = ρ xz d = ρ a a a a + c a ca a a + c c ca c a + c(1 x a y ) (x + y )dzdydx c (1 x a y ) xy dzdydx c (1 x a y ) yz dzdydx c (1 x a y ) xz dzdydx La segunda parte de este ejercicio: Con la hipótesis a = = c. determine los momentos principales y los ejes principales de inercia. El tensor de inercia queda [I] = ρa3 6 a a a a a a a a a Cálculo del determinante ρa 5 1 det 4 λ λ λ = det Usando operaciones elementales columna: 4 λ 1 1 det 1 4 λ 1 C C 1 C = det λ C 3 (4 λ)c1+c 3 4 λ 5 λ (4 λ) 1 = det λ 5 + λ 1 De esto último tenemos la condición = ρa λ λ λ 4 λ 5 λ λ λ = det (λ 5) (λ ) = = 5 λ (4 λ) λ 5 + λ = Los valores propios son λ 1 = 5, λ = 5, λ 3 =

6 Así los momentos principales de inercia son I 1 = ρa5 1 λ 1 = ρa5 4, I = ρa5 1 λ = ρa5 4, I 3 = ρa5 1 λ 3 = ρa5 6 [I ] = ρa5 1 Cálculo de las direcciones principales de inercia. 5 5 Se dee encontrar las soluciones no triviales del sistema: (4 λ i )n 1 n n 3 = n 1 + (4 λ i )n n 3 = n 1 n + (4 λ i )n 3 = Es importante aquí recordar la condición adicional de los cosenos directores para el sistema, que es: n 1 + n + n 3 = 1 Para λ 1 = λ = 5 el sistema se reduce a n 1 n n 3 = Como tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, es mejor estudiar el sistema para el valor propio siguiente. Para λ 3 = el sistema a estudiar es n 1 n n 3 = (1) n 1 + n n 3 = () n 1 n + n 3 = (3) De la ecuación (1) despejando n 1 se otiene n 1 = n + n 3, reemplazando este resultado en () y (3), se tendrá la condición n = n 3. Entonces de concluye que n 1 = n = n 3, usando la condición n 1 + n + n 3 = 1. n 1 + n 1 + n 1 = 1 3n 1 = 1 n 1 = ± 1 3 n 1 = n = n 3 = ± 1 3 Una dirección principal queda definida por ( ˆn = ± 1, ± 1, ± 1 ) Las otras dos direcciones principales, pueden ser cualquier par de vectores perpendiculares entre sí y a la vez perpendiculares a ˆn, como por ejemplo: ( 1, 1, ) y ( 1, 1, )

7 4. Dado el tensor [I] = a) Los valores principales. ) Calcule las direcciones principales.. Determine: c) Otenga la matriz de transformación y verifique que I = a ip a jp I ij, esto es I = AIA T. d) Si I representa el tensor de inercia de un sistema en un eje de coordenadas Ox 1 x x 3. Determine el momento de inercia respecto de eje definido por el vector v = 1î + 4ĵ ˆk. 5. Usando notación indicial verifique las identidades siguientes Donde = A ( B C) = B( A C) C( A B) ( F (r)) = ( F (r)) F (r)