(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) INTEGACIÓN MÚLTIPLE Este estudio se concretará a los casos de dos tres variables, dado que las aplicaciones, en su maoría, se sujetan a ese número de argumentos. LA INTEGAL DOBLE Definición. Sea una región del plano " x " tal que toda recta paralela a uno de los ejes coordenados que pasa por un punto interior de la región, corta a su frontera en dos puntos, siendo esta frontera una curva suave en pedazos. A esta región se le llama egión egular se clasifica en dos tipos: Tipo I ( ) ( ) ( ) {, ; ;, } 1 = x a x b g x g x x g ( x ) g1( x ) a b x Tipo II ( ) ( ) ( ) {, ; ;, } 1 = x h x h c d x

2 d h1 ( ) h ( ) c Sea una función z f( x, ) = continua, valuada positivamente limitada en su dominio por una cierta región regular. z z = (, ) f x x x Se pretende calcular el volumen del sólido limitado arriba por la superficie de ecuación z = f( x, ) abajo por la egión. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

3 3 Se divide la egión en un número finito de subregiones no superpuestas, con lo que quedará definida una partición. La división de en rejillas se puede hacer de dos formas: Δ Δ i Al área de la i-ésima subregión se le denota con primer caso i i ΔxΔ en el segundo. Δ Ai en el Ahora se escogen, en cada subregión, puntos arbitrarios. Así, para cada i-ésima subregión se tiene el punto ( i, i) conduce a z f( x, ) x ( x, ) ( xi, i) i i Δ x i x el cual i = i i que es la altura del elemento cilíndrico cua área de la base es Δ Ai o ΔxiΔ i, dependiendo del caso. Este elemento cilíndrico tiene como base a la subregión está limitado arriba por la superficie. Como se observa en ambos casos en las figuras siguientes, si se obtiene el volumen Δ Vi del i-ésimo cilindro, se tienen las expresiones correspondientes a cada modo de partición. x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

4 z z 4 x Δ V = f( x, ) Δ A (, ) i i i i Δ V = f x ΔxΔ i i i i i Ahora con estas expresiones es posible construir las sumas de iemann: n n f( xi, i) Δ Ai (, ) i= 1 ij, = 1 f x ΔxΔ i j i j A partir del límite de estas sumas de iemann se define la integral doble como: Definición. Sea una partición de una egión egular, formada a base de subregiones no superpuestas, de formas irregulares o con celdas rectangulares. Entonces se dice que z = f x, es doblemente integrable con la función escalar ( ) respecto a x con respecto a en la región si existe un número real I tal que para las particiones consideradas se tiene que: n n (, ) ε (, ) f x Δ A I < f x ΔxΔ I < ε i i i i j i j i= 1 i, j= 1 ε > tan pequeño como se desee. En estos casos, donde 0 al número I así determinado denotado por Δ A i x Δ i Δ x i ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

5 I = f( x, ) da I = (, ) se le llama la integral doble de z f( x, ) f x dx d = con respecto a x con respecto a en la región considerada. Esta definición es equivalente a presentar a la doble integral como el límite de la suma de iemann cuando la norma de la partición tiende a cero o cuando el número de subregiones de la partición tiende a infinito. Esto es, (, ) lim (, ) f x da= f x Δ A n N Δ 0 i = 1 i i i n (, ) lim (, ) f x dxd = f x ΔxΔ N Δ 0 ij, = 1 i j i j siempre que en cada caso el límite exista. Se dice entonces z = f x, es integrable en. que ( ) Teorema (propiedades). Si (, ) (, ) f x g x son funciones escalares integrables en una región regular k es una constante en, entonces se cumple que: i) kf x, da= k f x, da ( ) ( ) ( ) = ( ) + + ( ) ii) f x, da f x, da f x, da 1 n ( ) + ( ) = ( ) + ( ) iii) f x, g x, da f x, da g x, da ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( x, ) da g( x, ) da iv) f x, 0 x, f x, da 0 v) f x, g x, x, 5 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

6 ) Si (, ) absoluto m en si el área de es ( ) vi f x tiene un máximo absoluto M un mínimo escribir que: ( ) (, ) ( ) ma f x da MA ( ) vii) da = A A, es posible TEOEMA DEL VALO MEDIO PAA LAS INTEGALES DOBLES Sea f( x, ) una función escalar continua en una región regular sea A ( ) el área de dicha región. Entonces existe un punto ( xc, C) en tal que: f( x, ) da= f( xc, C) A( ) en donde f( xc, C) es conocido como el valor medio de f( x, ) en. 6 Prueba. o bien (, ) (, ) (, ) f x f x f x m m M M (, ) ; ( x, ) (, ) m f x M mda f x da MdA (, ) m da f x da M da ( ) (, ) ( ) ma f x da MA m (, ) f x da ( ) A M ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

7 Entonces existe al menos un punto( x, ) tal que: f( x, ) da f( xc, C) = A ( ) f( x, ) da= f( xc, C) A( ) La integral doble de una función escalar (, ) C C f x, definida continua en una región regular, que representa el volumen limitado arriba por z = f( x, ) abajo por, también es equivalente al volumen que se obtiene al efectuar el A por el valor medio de producto del área de la región ( ) f( x, ) en que es f( x, ). C C Ejemplo. Determinar el valor medio de f( x, ) para la siguiente integral doble: ( 1 x ) en donde ( ) da {, 1 ; 0; 0;, } = x = x x x Decir en qué puntos de la región se presenta el valor medio graficar los volúmenes equivalentes. 7 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

8 8 CÁLCULO DE LA INTEGAL DOBLE Ejemplo. Se desea calcular el volumen del sólido limitado arriba por la superficie z = abajo por la región triangular x la recta de comprendida entre los ejes " " " " ecuación 3x+ = 6. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

9 z z = 9 A( ) 3 x V = ( ) A 3 0 = ( ) A d x+ = 6 dx V = dx d x 3 = d = d = 4 6u 0 = 3 6 De la misma forma se pudo haber trabajado con secciones paralelas al plano z. A este tipo de integrales se les conoce como reiteradas de segundo orden. Teorema. La integral doble de una función continua f( x, ) en una región regular del tipo I, limitada por 0 ( ) ( ) x = a ; x = b ; = g x ; = g x 1 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

10 10 es igual a la integral reiterada de segundo orden de esta función en dicha región, es decir: (, b g( x) f x ) da f( x ) ( ), d = dx a g x De la misma forma, si la región de integración es del tipo II, limitada por 1 ( ) ( ) = c ; = d ; x = h ; x = h 1 entonces la integral reiterada de segundo orden es: (, d h f x ) da = (, ) c ( ) ( ) h 1 f x dx d La integral doble también se puede expresar en otros sistemas coordenados. Como se recordará, la diferencial de área en un sistema coordenado curvilíneo ortogonal uv está dada por: x, da = J dudv uv, Y en este caso la integral doble quedaría definida como: v φ( v) x, f ( u, v) J dudv v φ ( v) 1 1 uv, Para el sistema polar, la integral doble sería: θ φ( θ) f( r, ) rdrd θ θ θ φ ( θ) 1 1 Ejemplo. Dada la región sobre la que se va a integrar, expresar la integral reiterada en uno otro orden con respecto a las variables " x" " ". Graficar las regiones. i) : triángulo con vértices en A( 1,0; ) B( 3,0; ) C ( 3,3) ( ) { } ii) = x, x 4 ; x, ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

11 11 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

12 Ejemplo. Calcular las integrales reiteradas: i) iii) 3 1 ddx 1 ( x+ ) ; 3 9 x 1+ x + x ii) d dx π a 0 asenθ r dr dθ 1 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

13 13 Ejemplo. Evaluar ( x+ ) gráficas de da en la región limitada por las 1 3 x = = x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

14 Ejemplo. Calcular el volumen de una región sólida limitada arriba por la semiesfera z = 16 x abajo por la región circular dada por x + = 4 14 Ejemplo. Calcular el área de la región que se encuentra fuera de la gráfica de r = a dentro de la gráfica de r = asenθ. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

15 15 Ejemplo. Calcular el área de la región limitada por las curvas: x 3 + = = x Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por los cilindros x + = 4 x + z = 4. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

16 16 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie z 3 cos( x ) = + + arriba de la región en el plano x limitada por las circunferencias: x + = 4 x + = 9 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

17 17 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido, en el primer octante, z x = + en limitado arriba por la superficie de ecuación el plano x por la región que se localiza entre las curvas: x x x x = 1 ; = 16 ; = 1 ; = 6 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

18 18 APLICACIONES DE LA INTEGAL DOBLE EN LA MECÁNICA En diversos problemas de física existen distribuciones planas de masa que están asociadas con numerosos fenómenos físicos tales como temperaturas, cargas eléctricas otros. Para resolver estos problemas, en ocasiones se hace necesario calcular conceptos como la masa en una placa plana, los momentos estáticos los momentos de inercia. DENSIDAD Y MASA Sea un elemento diferencial de área " da " de una placa plana de materia, cua densidad superficial de masa está ρ = ρ x,. Entonces la diferencial de masa es dada por ( ) igual a: (, ) dm = ρ x da Si se aplica la integral doble, se tendrá que: M = (, ) ρ x da donde " " es la región limitada por las dimensiones de la placa plana. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

19 PIMEOS MOMENTOS O MOMENTOS ESTÁTICOS 19 Definición. El primer momento o momento estático del elemento diferencial de masa " dm " con respecto al eje " x " es el producto de la masa por la mínima distancia a dicho eje. Entonces este momento estático es igual a: x (, ) M ρ x da =,, de manera semejante, con respecto al eje " " M x ρ x, da CENTO DE MASA = ( ) Definición. El centro de masa de la placa plana de referencia, cua área se denota con A ( ), se define como el único punto en donde la masa total de la placa podría estar concentrada, de tal forma que el momento estático con respecto a cualquier eje que pase por dicho punto, es igual a cero. ( x, ) Centro de Masa Si la masa de la placa su momento estático con respecto al eje " " están dados respectivamente por: M = ρ x, da M = xρ x, da ( ) ( ) x entonces la abscisa del centro de masa se obtiene a partir de: x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

20 x M = = M x (, ) ρ x da (, ) ρ x da Y, de manera análoga, la ordenada del centro de masa se obtiene a partir de: M x = = M (, ) ρ x da (, ) ρ x da Si la densidad de la placa es constante, se dice que ésta es homogénea, a que su masa está uniformemente distribuida. Entonces la densidad sale de la integral las expresiones anteriores quedan de la siguiente forma: xda = M = = ( ) x x da x A M da da = M = = ( ) x da A M da al centro de masa de dicha región cuando la distribución de su masa es uniforme en este caso, equivale al centro geométrico de la región. Definición. Se llama centroide de una región " " SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INECIA Definición. El momento de inercia o segundo momento de una placa plana con respecto al eje " x ", entendido como su capacidad para resistir aceleración angular con respecto a 0 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

21 1 este eje, se define como el producto de la masa por el cuadrado de la mínima distancia a dicho eje. Esto es: (, ) Ix ρ x da = de manera similar, con respecto al eje " ", (, ) I x ρ x da = Definición. El momento polar de inercia o segundo momento polar se define como el producto de la masa de la distribución plana de materia por el cuadrado de su distancia al origen. Esto es: esulta evidente que: o ( ) ρ (, ) I = x + x da Io = Ix + I Ejemplo. Una lámina plana tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de π = senx = cos x entre x = 0 x = 4 ρ x, =. Ubicar su centro de masa si la densidad es ( ) ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

22 Ejemplo. Se tiene una placa plana cua forma es la dada por la región. Si su densidad es ( ) ρ x, = x+ 3, determinar su masa así como el valor de su densidad promedio decir dónde se presenta éste. 3x + 15 = ( x, ) x; ; 0; x, 5 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

23 3 Ejemplo. Una lámina tiene la forma de un cuarto de círculo en el primer cuadrante con ecuación x + 4 su densidad en cualquier punto es igual a la distancia de éste al x. Obtener los momentos estáticos de la lámina con eje " " respecto a los ejes " x" " ", así como las coordenadas de su centro de masa. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

24 4 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

25 5 Ejemplo. Calcular los momentos de inercia con respecto al origen los ejes coordenados de la lámina homogénea de densidad ρ ( x, ) = 1 cua forma es la de la región limitada por la curva x = 3 la recta x+ = 6. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

26 TEOEMA DE GEEN EN EL PLANO 6 Este teorema establece la relación existente entre la integral doble la integral de línea. Teorema. Sea una región regular cua frontera es la curva C sean las funciones escalares M( x, ) (, ) " " N x que son continuas diferenciables en. Entonces se cumple que: C ( x ) Mdx + Nd = N M da Prueba. La demostración se hará a través de probar por separado que: = C = C Mdx M da Nd N da Para probar la primera parte se comenzará con una región mu sencilla después se generalizará a todo tipo de región regular. Así, considérese una región rectangular dada por: ( ) {, ; ;, } = x a x b c d x d c Para esta región se tiene que: a C 3 C4 C 1 b d M da = a c b M ddx C x x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

27 b a b a b (, ) = Mx d c dx (, ) (, ) = M xd Mxc dx a b a (, ) b a (, ) (, ) a b (, ) = M xcdx = M xcdx+, por otro lado, para calcular (, ) C Mxd dx Mxd dx M x dxse tiene que: para : (, b ) = (, ) 1 C 1 a para C : M( x, ) dx = 0 C para : (, a ) = (, ) 3 C 3 b para C : 4 M( x, ) dx = 0 C M x dx M x c dx C M x dx M x d dx C 4 7 por lo que (, ) b a = (, ) + (, ) C a b M x dx M x c dx M x d dx Por lo tanto C Mdx = M da Si ahora se considera una región definida por: ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) {, ; ;, } 1 = x a x b x x x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

28 C 4 En este caso, también resulta fácil probar que: C Mdx = ϕ C 3 C 1 = ( x) M da Ahora bien, si la región en general es como la de la siguiente figura. a 1( x) = ϕ b C x x Se divide en subregiones a base de líneas verticales para cada una de las subregiones se procede como a se hizo en el primer caso, a que cada una de ellas es una región regular. Después se juntan los resultados de todas las subregiones, se suman se llega a demostrar el teorema para toda la región, es decir, se prueba que: ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

29 c Mdx = M da Y si se procede de manera semejante, se demuestra que: c Nd = así queda demostrado el teorema. N da x 9 INTEPETACIONES VECTOIALES DEL TEOEMA DE GEEN Si se considera un campo vectorial F, continuamente diferenciable, definido en una región regular, entonces: i) De acuerdo con la interpretación vectorial de la integral de línea, la tesis del teorema de Green se expresa como C ( ) = ( x ) F T ds N M da donde el campo de fuerza está dado por (, ) (, ) F= Mx i+ N x j T es el vector tangente unitario a la curva C. CASO ESPECIAL DEL TEOEMA DE STOKES ii) Ahora considérese a (, ) (, ) F = M x i+ N x j+ Ok como el campo vectorial que denota la dirección razón de x, del cambio del flujo de un fluido en un cierto punto ( ) plano. Entonces, la integral ( ) C F T ds se interpreta como la integral de la componente del flujo en la dirección tangente a la traectoria C se le conoce como: ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

30 La circulación de F alrededor de C 30 Si se obtiene el rotacional de F se tendrá: i j k ( ) rot F = = 0i + 0 j+ ( Nx M) k x z M N 0, como el vector tangente unitario a C es dx d T = i+ j+ 0 k ds ds entonces, tomando en cuenta el teorema de Green, se tiene que: ( F T ) ds = M dx + N d C C ( ) ( x ) = N M da= k rotf da= k F da Si la región es pequeña, entonces el rotacional se aproxima a una constante se puede escribir: C( F T ) ds = rot F da = rot F A( ) que representa al rotacional como la circulación por unidad de área en el punto (, ) x. Como a se vio antes, si ( ) ( ) rot F = 0 x,, entonces el flujo del fluido F se conoce como irrotacional. Esta interpretación es un caso especial del teorema de Stokes, el cual se tratará más adelante. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

31 TEOEMA DE LA DIVEGENCIA EN EL PLANO 31 iii) Sea el campo vectorial F dado por: (, ) (, ) F= N x i Mx j+ Ok el cual denota también la dirección razón del cambio del flujo de un cierto fluido. La integral C ( ) F N ds representa a la componente del flujo en la dirección normal a C se le conoce como: El flujo a través de C es la razón en la cual el fluido circula a través de C, desde el interior de. Si se obtiene la divergencia de F, se llega a: div F =,, ( N( x, ), M( x, ),0) = Nx M x z además, el vector normal unitario a C es: i j k dx d d dx N= T k = 0 = i j+ 0k ds ds ds ds Entonces, de acuerdo con el teorema de Green, se tiene que: ( ) C C F N ds = Mdx+ Nd ( x ) = N M da = div F da = F da Y siendo una región pequeña, se puede escribir ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

32 C( F N) ds = div F da = div F A( ) 3 que representa a la divergencia de F como la razón de x,. Cuando cambio del flujo del fluido desde el punto ( ) div F = 0, se dice entonces que el fluido es incompresible. Aquí se tiene una versión en el plano del teorema de la divergencia. Ejemplo. Utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas ( ) ( 5 ) F = + x i+ x j al mover una partícula una vez alrededor de la elipse de ecuación reloj. x + = 1 en la dirección de las manecillas del 9 4 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

33 Ejemplo. Evaluar la integral de línea C ( 3 ) x x dx x x x d si C es la traectoria, con su sentido de recorrido, mostrada en la figura. 33 C 0 x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

34 ÁEA DE UNA EGIÓN A TAVÉS DE LA INTEGAL CUVILÍNEA 34 Como a se vio, el área de una región regular C equivale a: ( ) A = da Si Nx M = 1, entonces, por el teorema de Green, se puede escribir: C Para que 1 de tal forma que: ( ) Mdx + Nd = da = A Nx M =, se suponen a M N como: 1 1 M( x, ) = N( x, ) = x M N x 1 = 1 = N M = 1 Entonces se puede definir una expresión para calcular el área de una región regular en términos de una integral de línea, como: 1 A = dx+ xd ( ) C Ejemplo. Verificar que el área de un círculo de radio igual a equivale a 4π. x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

35 35 Ejemplo. Utilizar la integral de línea para calcular el área de la región limitada por las gráficas de: = x+ 1 = 4 x ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

36 36 Ejemplo. Sea el campo vectorial x F = i j x + x + i) Probar que el rotacional de F es cero. ( ) ii) Probar que F T ds 0 tomando como traectoria al C círculo unitario como sentido el de las manecillas del reloj. iii) Explicar por qué los resultados de los incisos ( i) ( ii ) no contradicen la expresión la expresión vectorial del teorema de Green que expresa: C( ) F T ds = k rotfda ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

37 INTEGALES DE SUPEFICIE 37 Si la ecuación vectorial de una superficie suave " S " en el espacio está dada por: (, ) (, ) (, ) (, ) r = r u v = x u v i+ u v j+ z u v k con xz,,, funciones escalares de u v, continuas diferenciables, entonces el área de la superficie alabeada queda como: en donde ( ) A S r r r r = u v u v du dv r x z = + + u u u u r x z = + + v v v v r r x x z z = + + u v u v u v u v Si la superficie está representada de la forma ( ) ( ) {,,, ;, } S = x z z = f x x entonces el área de la superficie alabeada queda como: ( ) A S z z = 1+ + x dx d ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

38 INTEGAL DE UNA FUNCIÓN SOBE UNA SUPEFICIE Para el caso de la integral de una función f( x,, z ) sobre una superficie " S " denotada como f( x,, z) ds tiene que: S 38 se S (,, ) f x s ds = r r r r = f( x( uv, ), ( uv, ), z( uv, )) dudv u v u v si la superficie está dada por (, ) (, ) z= f x x entonces la integral de una función sobre esta superficie está dada por: S (,, ) f x z ds = z z = f ( x,, z( x, ) ) 1+ + x dx d Ejemplo. Comprobar que la superficie de la esfera de radio " a " es igual a 4π a. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

39 39 Ejemplo. Calcular el área de la porción del cilindro + z = 4 en el primer octante, limitada por los planos: x = 3 x+ 3 = 1 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

40 40 Ejemplo. Evaluar la integral ( x+ + 3z) ds en donde S es el plano x z 3 coordenados en el primer octante. S + + =, limitado por los planos ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

41 41 Ejemplo. Se tiene una lámina que forma una superficie cónica de ecuación: x z + = 0 ; 0 z Determinar su masa si su densidad está dada por: ( x, ) x ρ = + ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

42 4 LA INTEGAL TIPLE - Sea f = f( x,, z ) continua diferenciable en una región. - Se divide, región volumétrica, con planos paralelos a los planos coordenados se obtienen subregiones (paralelepípedos) Δ i. - Cada Δ i tiene su volumen Δ Vi un punto ( ε, η, μ ). i i i i i i ΔVi. - Se forma ahora la suma de iemann f( ε, η, μ ) - Finalmente se obtiene el límite de esta suma se llega a: n Δ 0 i = 1 o N ( εi ηi μi) Δ i = ( ) lim f,, V f x,, z dv ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

43 Teorema (propiedades). Sean f( x,, z) g( x,, z ) funciones escalares integrables en una región regular de 3 sea k una constante real; entonces: ( ) + ( ) i) k f x,, z g x,, z dv (,, ) (,, ) = k f xz dv+ g xz dv ( ) ( ) ( ) ii) f xz,, 0 x, f xz,, dv 0 iii) Si se dividen un número finito de subregiones no superpuestas 1,,..., n, entonces se cumple que: (,, ) (,, ) f xzdv = f xzdv+ 1 (,, ) (,, ) + f x z dv + + iv) Si f( x,, z) g( x,, z) entonces: n f x z dv para todo (,, ) f ( x,, z) dv (,, ) g x z dv 43 xz en, v) Si f( x,, z ) tiene un máximo absoluto " M " un mínimo absoluto " " V, se puede escribir que: m en si el volumen de es ( ) ( ) (,, ) ( ) mv f x z dv MV ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

44 TEOEMA DEL VALO MEDIO PAA INTEGALES TIPLES Sea f( x,, z ) una función escalar, continua en una región regular sea V( ) el volumen de la región. Entonces existe un punto ( xc, C, z C) en tal que: f( x,, z) dv = f( xc, C, zc) V( ) en donde f( xc, C, z C) es conocido como el valor medio de f( x,, z ) en. 44 CÁLCULO DE LA INTEGAL TIPLE z ϕ ( x), x x La integral reiterada de tercer orden de una función (,, ) x 1 g1( x ) f x z de tres variables, definida en una región regular ' 3, como la de la figura, sería: g ϕ ( x ) ( ) x 1, ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

45 ( ) ( ) (, ) x g x ϕ x (, ) x g x ϕ x (,, ) f x z dz d dx 45 Ejemplo. Evaluar la integral reiterada I 1 1 x 1 = 1 0 x xz dz d dx Si se integra con respecto a z, manteniendo constantes a x, se obtiene: x z I = x ddx 1 0 x 1 1 x 1 x = x d dx x x x = x d dx Ahora se integra con respecto a se mantiene a x como constante: 1 x x x x I = dx ( ) 3 ( ) ( ) 1 1 x 1 x x 1 x x 1 x I = dx x x x x x x x = dx = x x x dx x 3 6 = x + x = ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

46 46 Ejemplo. Cambiar el orden de integración en: 6 6 x 6 x xz dz d dx para obtener las otras cinco formas de la integral. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

47 LA INTEGAL TIPLE EN OTOS SISTEMAS 47 La integral triple también se puede expresar en otros sistemas coordenados. Como se recordará, la diferencial de volumen en un sistema curvilíneo ortogonal uvw está dada por: xz,, dv = J du dv dw uvw,, En este caso, la integral triple quedaría definida como: w v( w) u( v, w) xz,, (,, ) w v ( w) fuvw J u ( v, w) dudvdw uvw,, Para el sistema cilíndrico circular, la integral triple se definiría como: z θ ( z) ρ ( θ, z) (,, ) f ρθ z ρdρdθ dz z1 θ1( z) ρ1( θ, z) Para el sistema esférico, la integral triple se definiría como θ ϕ( θ) r( ϕ, θ) f( r,, ) r sen dr d d θ ϕ ( θ) ϕ θ ϕ ϕ θ r ( ϕ, θ) APLICACIONES DE LAS INTEGALES TIPLES EN LA MECÁNICA La masa de un sólido con la forma de una región tridimensional está dada por: M = ρ (,, ) xz dv Sus momentos con respecto a los planos x, xz, z se definen como: x (,, ) M z ρ x z dv xz = (,, ) M ρ x z dv z = (,, ) M x ρ x z dv = ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

48 ( ) el centro de masa está dado por xz,, donde Mz M M xz x = ; = ; z = M M M Los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados se obtienen a partir de: x 48 x ( ) ρ (,, ) I = + z x z dv ( ) ρ (,, ) I = x + z x z dv z ( ) ρ (,, ) I = x + x z dv Ejemplo. Determinar el volumen del sólido en el primer octante que está limitado por el plano + z = 4, el cilindro de ecuación = x los planos x z. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

49 49 Ejemplo. Calcular el volumen de la región limitada por las gráficas de: 3 ; 4 ; 0 ; 6 z = x z = x = z+ = ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

50 Ejemplo. Calcular el volumen de la cuña limitada por el plano vertical x+ = 3, el paraboloide x 9 z plano z = = el Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado exteriormente por el cono (fuera del cono) interior a la esfera de ecuación z = x + e x + + z = a ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

51 51 Ejemplo. En el cuerpo de forma semiesférica de ecuación x z a z + + ; 0 la densidad varía proporcionalmente a la distancia desde el punto al centro de la semiesfera. Obtener el centro de masa de este cuerpo. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

52 5 Ejemplo. Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto cuo radio de la basa es " a " su altura " h ". Localizar el centro de masa si la densidad en un punto es directamente proporcional a la distancia de una de las bases a un punto " P ". Calcular también el momento de inercia con respecto al eje de simetría de este sólido. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

53 53 Ejemplo. Un sólido tiene la forma de la región que está dentro del cilindro r = a la esfera r + z = 4a sobre el plano x. Calcular la masa el momento de inercia I z si la densidad en un punto P está dada por constante. ρ = kz con " k " ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

54 54 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de: = + ; + = 4 ; = 0 z x x z ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

55 Ejemplo. Calcular el volumen el centroide de la región x + + z = 36 abajo por el z = x + ; z 0. limitada arriba por la esfera cono 55 Ejemplo. Obtener el momento de inercia con respecto al eje " " xz,, = 1, situado en el z, del sólido de densidad ρ ( ) primer octante limitado por los cilindros: x = ; x = 4 ; x = 1 ; x = los planos z = 0 z = 3. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

56 56 TEOEMA DE STOKES Sea " S " una superficie tal que su proección sobre los planos x, xz, z son regiones limitadas por curvas simples cerradas. Sea también F F( X, Y, Z) = un campo vectorial C es S. continuo diferenciable dos veces. Y supóngase que " " una curva simple cerrada que limita a la superficie " " Entonces: S ( ) F nds = F dr C ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

57 donde " n " es un vector unitario normal a la superficie " S " " ds " es el diferencial de área de la superficie " S ". n C 57 S N Si F = Mi+ Nj+ Ok n= cosα i+ cos β j+ cosγ k entonces: C Mdx + Nd + Odz S T { z cosα z x cos β x cosγ} = O N + M O + N M ds Este teorema permite interpretar mejor al rotacional. Por ejemplo, sea " C " un círculo dentro de la corriente de un fluido sea " T " el vector tangente unitario, como se observa en la figura: C N T F Campo : F ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

58 El valor de F T ds depende de los valores de F T C. Cuanto más cercanas sean las direcciones de F T, maor será su producto escalar. Esto significa que cuanto más mantenga F su dirección paralela a la de T, más tiende a girar el fluido sobre" C ". Como consecuencia, la integral C. F T ds se denomina circulación a lo largo de " " C Además, la ecuación expresa que cuando " " largo de " " C S ( ) F T ds = F n ds S es pequeña, la circulación a lo C viene dada por: (circulación a lo largo de " " C ( ) ) F n (área de " " 58 S ) Luego la circulación por unidad de superficie será aproximadamente: circulación n= = área ( F) ritmo de circulación Obsérvese que, cuanto se más se asemejen las direcciones de F n, maor será el ritmo de circulación. A continuación se enuncian algunas de las identidades que se pueden demostrar con el teorema de Stokes: Si F es un campo vectorial diferenciable " " S es una superficie regular, entonces: ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

59 ( ) = ( ) i) F n ds 0,integral sobre superficie cerrada S ( ) ii) dr F = n F ds C iii) φ dr = n φ ds C S S iv) φ ψ dr = ϕ ψ n ds C S Ejemplo. Una de las lees de Maxwell para campos eléctricos estáticos campos magnéticos estables, enuncia que el rotacional del campo eléctrico E es igual a cero, es decir, que: E = Asimismo, otra de las lees establece que el rotacional de un campo magnético estable es igual a la densidad de corriente eléctrica, esto es, 0 H= J Si se aplica el teorema de Stokes a ambas expresiones, se obtiene: C S ( ) 0 E dr = E nds = ( ) H dr = H nds = J nds = I C S S La primera expresión establece que el trabajo necesario para mover una carga de prueba sobre una traectoria cerrada es cero. La segunda expresión se conoce como Le de Ampere establece que la integral de línea del campo magnético " H " alrededor de cualquier traectoria cerrada es exactamente igual a la corriente eléctrica encerrada por esa traectoria. 59 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

60 Ejemplo. Sea " C " el triángulo formado por las trazas del plano de ecuación x+ + z = 6 con los planos coordenados, con el sentido contrario a las manecillas del reloj. Si F i z j xk = + +, evaluar la integral manera directa mediante el teorema de Stokes. C F dr 60 de ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

61 61 ( ) Ejemplo. Evaluar F " " nds donde: S ( ) 3 ( 3 ) F = x + + i+ x j xz+ z k S es la superficie de la semiesfera + + = 9 ; 0 x z z (Considerar el sentido contrario al de las manecillas del reloj) ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

62 6 Ejemplo. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F zi x j k = + + donde " " z = 4 x " " S es la superficie del paraboloide C es la base de " S " sobre el plano x, recorrida en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

63 63 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

64 TEOEMA DE GAUSS (DE LA DIVEGENCIA) 64 Este teorema establece, en términos generales, lo siguiente: la divergencia total dentro de una superficie cerrada es igual al flujo neto que atraviesa esta superficie Teorema. Si la función vectorial (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) Fxz f xz i f xz j f xzk 1 3 tiene primeras derivadas parciales continuas en una región 3 " " del espacio, limitada por una superficie regular " S ", entonces la integral de volumen de la divergencia de F dentro de " S " es igual a la integral de superficie externa de F sobre " S ", es decir, S ( ) F N ds = div F dv, en forma cartesiana 1 3 ( 1cosα + cos β + 3cosγ) = + + S f f f f f f ds dv x z donde N= cosα i+ cos β j+ cosγ k Algunas identidades que se deducen a partir del teorema de la divergencia se enuncian a continuación: Teorema. Si ψ ψ ( xz,, ) = es una función escalar continuamente diferenciable F es una función vectorial también continuamente diferenciable en una región " " limitada por una superficie cerrada " S ", entonces: ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

65 i) ψ dv = ψnds S ( ) = ( ) ii) F dv N F ds iii) Si F siempre es normal a " " S S ( ), F dv = 0 iv) Si F = G, entonces F NdS = 0 ( ) v) ψ F N ds = F ψ ds+ ψ F dv S S vi) a ψ b φ + dv = a ψ N ds + b φ N ds S S donde ψ φ son funciones escalares con segundas derivadas parciales continuas. ( ) ( ) vii) ψ φ + ψ φ dv = ψ φ N ds Esta identidad se conoce como primera identidad de Green ( ψ φ φ ψ) ( ψ φ φ ψ ) viii) dv = N ds Esta identidad se conoce como segunda identidad de Green S S 65 Las principales aplicaciones del teorema de la divergencia se encuentran en el electromagnetismo. A continuación se darán algunos ejemplos: Ejemplo. Dos de las lees de Maxwell para campos eléctricos estáticos campos magnéticos estables, son: D= ρ B = 0 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

66 66 La primera establece que la divergencia de la densidad de campo eléctrico D es igual a la densidad volumétrica de carga la segunda dice que la densidad de campo magnético (inducción magnética) es un campo solenoidal. Si a estas expresiones se les aplica el teorema de la divergencia, se tiene: ( ) DdV= ρ dv= DNdS V V S Pero ρ dv = Q (carga eléctrica) v D NdS = Φ (flujo eléctrico que atraviesa " " S Φ= Q S ) Aquí aparece la le conocida como Le de Gauss que establece lo siguiente: el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica encerrada por dicha superficie Asimismo ( ) ( 0) B dv = dv = B NdS V V S pero B NdS = Ψ = 0 (flujo magnético) S Esta le establece que: el flujo magnético que atraviesa una superficie cerrada es igual a cero, es decir, que no existen polos magnéticos aislados. En otras palabras, jamás se podrá aislar el polo norte de un imán; si dicho imán se rompe, entonces los pedazos resultantes serán imanes otra vez. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

67 67 Ejemplo. De lo dicho en el ejemplo anterior, en un sistema de coordenadas esféricas, la densidad volumétrica de carga está dada por dentro de la esfera r Solución. 3 r = 0 ρ ρ a = a? Q en coordenadas esféricas Luego, =. Cuánta carga se encuentra ρ dv V dv r sen dr d d 3 Q= π π a r r sen dr d d = ρ a 7 π π a ρ ϕ ϕ θ a senϕ r dr dϕ dθ ϕ ϕ θ =. a 9 π π 0 3 ( sen ) r d d 0 ϕ ϕ θ π π 0 ρ π π ρ = a ρ = asenϕ dϕ dθ = a senϕ dϕ dθ a 3 ρ 0a π π = cosϕ dθ ρ 0a π 4ρ0a π 8π 3 = d 0 0 0a 9 θ = θ = ρ 9 9 ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

68 , de otra forma, el flujo eléctrico que atraviesa la esfera es: Φ= 8π ρ 0a Ejemplo. Verificar el teorema de Gauss o de la divergencia para el campo vectorial: ( ) ( ) F = x i z j+ zk en la región limitada por los tres planos coordenados el plano x+ + z = 6. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

69 69 ( ) Ejemplo. Evaluar la integral F N ds donde: S xz ( cos ) ( cos ) tan ( ) F = x+ z i e xz j+ ang x k " S " es la semiesfera x z z + + = 1 ; 0. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

70 Ejemplo. Sea " " la región limitada por el cilindro z = 4 x, el plano + z = 5 los planos coordenados x xz. Y sea " S " la superficie de " ". Si: 3 ( ) ( cos ) x + F = x + senz i+ x + z j+ e k F N ds. ( ) Determinar el valor de S 70 Ejemplo. Utilizar el teorema de la Divergencia o de Gauss ( ) para calcular la integral de superficie S F N ds, es decir, para calcular el flujo saliente de 3 F 3 z i 9x z j 4x k = + a través de " " ± 1, ± 1, ± 1. superficie del cubo con vértices ( ) S que es la ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ

71 71 Ejemplo. Utilizar el teorema de la Divergencia o de Gauss ( ) para calcular la integral de superficie para calcular el flujo saliente de de " S " que es la superficie de la esfera F N ds S 3 3 3, es decir, F = x i+ j+ z k a través x + + z = 1. ING. PABLO GACÍA Y COLOMÉ