Parametrización de superficies Integrales de superficie. h"p://

Transcripción

1 Parametrización de superficies Integrales de superficie h"p://

2 Parametrización de una superficie en R 3 ea un dominio del espacio R 2, donde los puntos están definidos como (u,v). Definimos en este espacio la funcion vectorial r(u, v) =f x (u, v) u x + f y (u, v) u y + f z (u, v) u z (1) donde f x (u,v), f y (u,v) y f z (u,v) son funciones escalares, Esta función define un punto del espacio para cada punto (u,v) del espacio de partida R 2. uponiendo que las funciones f i (u,v) son continuas al variar infinitesimalmente u y v, la variación de la función también lo es- al ir variando el punto (u,v) en el intervalo la funcion describe una superficie en R 3. e dice que la equacion (1) es entonces la parametrizacion de la superficie resultante. 2

3 Ejemplos El plano La ecuación del plano αx + βy + z = γ puede parametrizarse como: x = u y = v z = γ αu βu donde u, v R 3

4 El cilindro La ecuación del un cilindro con eje paralelo al eje z z x 2 + y 2 = a 2 a puede parametrizarse como r(u, v) =acos(u) u x + asin(u) u y + v u z donde u<2π, v R x = a cos(u) y = a cos(u) z = v coordenadas cilíndricas ρ a φ u z x y z El cono La ecuación del un cono con eje paralelo al eje z x 2 + y 2 = α 2 z 2 puede parametrizarse como x y r(t) =u cos(v) u x + u sin(v) u y + α 1 u u z donde v<2π, u R x = u cos(v) y = u sin(v) z = α 1 u 4

5 La esfera La ecuación de la esfera de radio a x 2 + y 2 + z 2 = a 2 puede parametrizarse usando los ángulos como parámetros. θ, φ z θ r(θ, φ) =a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y + a cos(θ) u z donde θ < π, φ < 2π x φ y x = a sin(θ) cos(φ) y = a sin(θ) sin(φ) z = a cos(θ) coordenadas polares r a θ φ 5

6 Paraboloide de revolución e tiene el paraboloide dado por la ecuacion z =5 x 2 y 2 puede parametrizarse usando las coordenadas cartesianas x e y como parámetros. r(u, v) =u u x + v u y + (5 u 2 v 2 ) u z donde u R, v R o tambien usando un ángulo φ x = u y = v z =5 u 2 v 2 y la coordenada, t=z r(φ,t)= 5 t cos(φ) u x + 5 t sin(φ) u y + t u z donde 5 t, φ < 2π i se quiere describir una parte de la superficie: por ejemplo la parte definida por imponen condiciones al dominio de definición de los parámetros z> se r(u, v) =u u x + v u y + (5 u 2 v 2 ) u z u [ 5, 5], v [ 5 u 2, 5 u 2 ] donde o bien r(φ,t)= 5 t cos(φ) u x + 5 t sin(φ) u y + t u z donde 5 t, φ < 2π 6

7 Construcción del plano tangente a una superficie en un punto z ea una superficie definida paramétricamente como r(u, v) =f x (u, v) u x + f y (u, v) u y + f z (u, v) u z (u,v ) T 1 T 2 En un entorno de un punto de la superficie, dado por (u, v ), la superficie se puede considerar localmente un plano. x (u,v + dv) (u + du, v ) No tienen necesariamente que ser ortogonales y Variando el parametro u: u = u + du obtenemos un nuevo punto de la superficie. El desplazamiento relativo al punto (u, v ) es: T 1 =[ f x u x + f y u y + f z u z]du Repitiendo el proceso, variando ahora el parametro v: v = v + dv T 2 =[ f x v u x + f y v u y + f z v u z]dv Los dos vectores - T 1, T 2 - son linealmemnte independientes. Los dos vectores - T 1, T 2 - forman una base del subespacio de vectores definidos en el plano tangente: cualquier vector del plano tangente se puede escribir como una combinacion lineal se estos vectores. 7

8 A partir de los vectores tangentes T 1 =[ f x u x + f y u y + f z u z]du T 2 =[ f x v u x + f y v u y + f z v u z]dv podemos construir el vector d s normal al plano tangente: u x u y = u z u y u z = u x u z u x = u y d s = T 1 T 2 =[ f x u x + f y u y + f z u z] [ f x v u x + f y v u y + f z v u z]dudv = [( f y f z v f z f y v ) u x +( f z f x v f x f z v ) u y +( f x f y v f y f x v ) u z]dudv y de aquí el vector unitario normal al plano tangente n(u, v) : donde n(u, v) = 1 N [( f y N 2 =[ f y f z v f z f z v f z f y v ) u x +( f z f y v ]2 +[ f z f x v f x f x v f x f z v ) u y +( f x f z v ]2 +[ f x f y v f y Hay una arbitrariedad en la determinación del sentido del vector unitario n(u, v) ; d s = T 1 T 1 o d s = T 2 T 1?? f y v f y f x v ]2 f x v ) u z] Esta ambigüedad refleja el hecho de que la normal a una superficie no tiene bien definido el sentido. 8

9 El vector d s z La información sobre el elemento de superficie correspondiente a du y dv está dado por 1.- Por el área de la superficie infinitesimal. x T 1 d T 2 y ds = d s = T 1 T 2 = [( f y f z v f z f y v ) u x +( f z +( f x que es proporcional al producto du dv f x v f x f y v f y f z v ) u y f x v ) u z]dudv 2.- Por la orientacion de la superficie, que viene dada por el vector normal a la misma n Eso sugiere utilizar el vector d s para representar localmente la superficie. El sentido de d s no está bien definido. i la superfice es cerrada, se adopta el convenio que el vector d s está orientado hacia afuera. i la superfice no es cerrada, hay que tomar arbitrariamente un criterio para el signo. 9

10 Z a Ejemplo: Cálculo del vector d s la superficie puede parametrizarse como en una superficie cilíndrica X n Y r(u, v) =acos(u) u x + asin(u) u y + v u z donde u<2π, v R f x (u, v) =a cos(u) u f x = a sin(u), v f x = f y (u, v) =a sin(u) u f y = a cos(u), v f y = f z (u, v) =v u f z =, v f z =1 d s(u, v) = [( f y f z v f z f y v ) u x +( f z f x v f x f z v ) u y +( f x f y v f y f x v ) u z]du dv =[a cos(u) u x + a sin(u) u y ] du dv [x u x + y u y ]dudv la normal tiene la direccion de la proyeccion de r en el plano XY adu n = cos(u) u x + sin(u) u y dv La norma de este vector, ds = d s = a du dv es el area de rectángulo infinitesimal definido por du y dv u du 1

11 Problema propuesto: Cálculo del vector d s en una superficie esferica de radio a Usando la parametrización r(θ, φ) =a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y + a cos(θ) u z donde θ < π, φ < 2π, construir el vector unitario normal a la superficie en el punto θ, φ f x (θ, φ) =a sin(θ) cos(φ) f y (θ, φ) =a sin(θ) sin(φ) f z (θ, φ) =a cos(θ) θ f x = a cos(θ) cos(φ), φ f x = a sin(θ) sin(φ) θ f y = a cos(θ) sin(φ), φ f y = a sin(θ) cos(φ) θ f z = a sin(θ), φ f z = d s = [( f y θ f z φ f z θ f y φ ) u x +( f z θ f x φ f x θ f z φ ) u y +( f x θ f y φ f y θ f x φ ) u z]dθdφ =[a 2 sin 2 (θ) cos(φ) u x + a 2 sin 2 (θ) sin(φ) u y + +a 2 [cos(θ) sin(θ) cos 2 (φ) + cos(θ) sin(θ) sin 2 (φ)] u z ]dθ dφ = a 2 sin(θ)[sin(θ) cos(φ) u x + sin(θ) sin(φ) u y + cos(θ) u z ]dθ dφ a sin(θ) rdθ dφ El modulo d s = (d s x ) 2 +(d s y ) 2 +(d s z ) 2 = a 2 sin(θ) dθ dφ 11

12 El resultado se puede entender de forma gráfica Z Hemos visto que para generar la superficie infinitesimal variamos ambos parámetros. Variamos primero θ a sin(θ) d s variamos ahora φ la longitud del arco es adθ θ r adθ dθ la longitud del arco es a sin(θ)dφ de esta forma generamos un cuadrado de lados infinitesimales, cuyo area es ds = a 2 sin(θ)dθdφ y su direccion normal a la superficie- coincide con la dirección de r φ dφ 12

13 Elementos de superficie y volumen en coordenadas polares esféricas En estas coordenadas la posición de un punto en el espacio, r se da mediante la Z distancia r al origen y los dos ángulos θ, φ que hemos u6lizado como parámetros. La geometría sugiere definir en cada punto del espacio un conjunto de dr vectores ortogonales. Estos vectores u r, u θ, u φ, se ob6enen u r dejando dos coordenadas fijas y variando la tercera r u θ u φ dφ Un desplazamiento infinitesimal en el espacio se construye variando infintesimalmente las tres coordenadas d r = dr u r + rdθ u θ + sin(θ)dφ u φ φ θ dθ dr rsinϑdφ dr De esta forma definimos las superficies elementales ds r = r 2 sin(θ)dθdφ ds φ = rdrdθ rdϑ ds θ = r sin(θ)drdφ El volumen infinitesimal así generado es dv = r 2 sin(θ)drdθdφ Trabajando en estas coordenadas, los vectores del espacio se expresan en la base u r, u θ, u φ, 13

14 Integrales de superficie Una superficie permite definir la integral de un campo sobre ella. Así: ds g( r) representa la operación ya definida: 1.- Dividir la curva en pequeños elementos s k definidos en el punto r k. 2.- En cada elemento de la partición calcular el valor de la función g( r) en un punto interior del elemento z r k s k 3.- El valor de la integral es la suma de las contribuciones de todas las particiones ds g( r) =lim sk g( r k ) s k Una vez que se tiene parametrizada la superficie con los parametros u y v, la función la superficie se convierte en una función de los parametros ds g( r) = ds(u, v) g(u, v) k s x y g( r) sobre y la integral se reduce a una integral doble, donde los parametros u y v varian de forma que se recorra toda la superficie. 14

15 Integrales de superficice. Tipos e pueden definir diversos tipos de integrales de superficie i el campo a integrar es escalar f( r)ds f( r)d s i el campo a integrar es vectorial F ( r)ds F ( r)d s F ( r) d s Flujo del campo a través de la superficie 15

16 Ejemplos: Integrales de la forma f( r)ds 1. Una aplicación de estas integrales permite calcular el area de una superficie. En este caso la función a integrar es sencillamente 1-a uperficie de la esfera. Hemos visto que en una esfera ds = a 2 sin(θ)dθdφ 2π π = ds = a 2 dφ dθ sin(θ) =2πa 2 [ cos(θ)] π =4πa 2 esf 16

17 ds 2-a Calcular la integral, donde r (,,z ) es el punto (P) arbitrario del eje polar. esf r r La superficie es una esfera de radio a obre la esfera r = a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y + a cos(θ) u z P (,,z ) y ds = a 2 sin(θ)dθdφ r r r r r = a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y +[acos(θ) z ] u z r r = a 2 + z 2 2az cos(θ) esf ds r r = 2π dφ π a 2 sin(θ)dθ a2 + z 2 2az cos(θ) Haciendo el cambio t cos(θ) =2πa dt a2 + z 2 2az t dt = sin(θ)dθ =2πa 2 1 az a 2 + z 2 2az t 1 1 =2π a z [(a + z ) a z ] la integral ha de ser positiva 4πa, a > z 4π a2 z, a < z 17

18 Problemas propuestos P (,,z ) r r 2-b Calcular la integral, ds r r donde r (,,z ) es el punto (P) arbitrario del eje polar. La superficie es un disco de radio a, centrado en el origen y que yace en el plano XY a r Y X 2-c Calcular las integrales, x2 + y 2 ds xyds La superficie es un disco de radio a, centrado en el origen y que yace en el plano XY 18

19 Ejemplos: Integrales de la forma. I = r r F ( r)ds Calcular la integral, donde es un punto (P) arbitrario esf r r del eje polar. 3 ds r (,,z ) P (,,z ) obre la esfera r = a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y + a cos(θ) u z r r = a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y +[acos(θ) z ] u z r r r r = a 2 + z 2 2az cos(θ) El elemento de superficie ds = a 2 sin(θ)dθdφ r La integral es un vector, I (I x,i y,i z ), cuyas componentes se pueden escribir como 2π π I x = a 3 sin(θ) 2 dθ cos(φ)dφ [a 2 + z 2 2az = cos(θ)] 3 2 2π I y = a 3 sin(φ)dφ π sin(θ) 2 dθ [a 2 + z 2 2az = cos(θ)] 3 2 2π I z = a 2 dφ π =2πa 2 sin(θ)[a cos(θ) z ] dθ [a 2 + z 2 2az cos(θ)] 3 2 π sin(θ)[a cos(θ) z ] dθ [a 2 + z 2 2az cos(θ)] 3 2 =, z <a 4π a2 z 2, z >a 19

20 esf ( r r )ds, z <a r r 3 = 4π a2 u z, z >a z 2 Calculo de la integral π =2πa 2 sin(θ)[a cos(θ) z ] dθ [a 2 + z 2 2az cos(θ)] 3 2 = 2πa2 [a 2 + z 2 ] 3 2 π dθ sin(θ)[a cos(θ) z ] [1 2az cos(θ)] 3 a 2 +z 2 2 =, z <a 4π a2 z 2, z >a 2

21 Ejemplos: Integrales de la forma r d s La unica componente no nula f( r)d s Calcular la integral del campo escalar f( r) =αz el origen El vector normal d s θ sobre la esfera de radio a y centro d s = a 2 sin(θ)[sin(θ) cos(φ) u x + sin(θ) sin(φ) u y + cos(θ) u z ]dθ dφ obre la esfera z = a cos(θ) f(r = a, θ, φ) =αa cos(θ) f( r)d s = αa 3 [I x u x + I y u y + I z u z ] donde I x = sin 2 (θ) cos(θ) cos(φ)dθ dφ = I y = I z = sin 2 (θ) cos(θ) sin(φ)dθ dφ = cos 2 (θ) sin(θ)dθ dφ = 2π dφ = 2π cos3 (θ) 3 2π 2π π dφ cos(φ) dφ sin(φ) π = 4π 3 π π dθ sin(θ) cos 2 (θ) dθ sin 2 (θ) cos(θ) dθ sin 2 (θ) cos(θ) f( r)d s = 4πa3 3 α u z 21

22 Problema propuesto Z X Y Calcular la integral del campo escalar f( r) =αz f( r)d s sobre la superficie de un cubo de lado a y centro el origen 22

23 Ejemplos: Flujo de un campo vectorial F ( r)d s F ( r) = r r 3 Calcular el flujo del campo vectorial sobre la esfera de radio a. d s En vector normal d s d s = a 2 sin(θ)[sin(θ) cos(φ) u x + sin(θ) sin(φ) u y + cos(θ) u z ]dθ dφ obre la esfera r = a y r r = a sin(θ) cos(φ) u x + a sin(θ) sin(φ) u y + a cos(θ) u z F ( r) = 1 a 2 [sin(θ) cos(φ) u x + sin(θ) sin(φ) u y + cos(θ) u z ] Producto escalar F ( r)d s = [sin 2 (θ) cos 2 (φ) + sin 2 (θ) sin 2 (φ) + cos 2 (θ)] sin(θ)dθdφ = [sin 2 (θ) + cos 2 (θ)] sin(θ)dθdφ = sin(θ)dθdφ El flujo s F ( r)d s = 2π dφ π sin(θ)dθ =4π 23

24 Problemas propuestos Calcular el flujo siguientes campos: F ( r)d s del campo vectorial sobre la esfera de radio a de los d s 1º F ( r) =k u z, donde k es una constante. 2º F ( r) =k ux, donde k es una constante. r 3º 4º F ( r) =αz u z, donde α es una constante. F ( r) =αx u x, donde α es una constante. 24

25 Problema Calcular el flujo F ( r)d s del campo F ( r) =z uz sobre la superficie cerrada formada por la parte del cono x 2 + y 2 = z 2 z (<z<h) y la tapa circular superior uperficie cónica Parametrización z = h x = t cos(θ) y = t sin(θ) z = t x y Un punto sobre la superficie r(t, θ) =t cos(θ) u x + t sin(θ) u y + t u z Cálculo de los vectores tangentes T 1 =[ f x u x + f y u y + f z u z]du T 2 =[ f x v u x + f y v u y + f z v u z]dv Cálculo del vector d s T 1 = [cos(θ) u x + sin(θ) u y + u z ]dt T 2 =[ t sin(θ) u x + t cos(θ) u y ]dθ d s = T 1 T 2 = [cos(θ) u x + sin(θ) u y + u z ] [ t sin(θ) u x + t cos(θ) u y ]dtdθ =[t cos 2 θ u z + t sin 2 θ u z t sin(θ) u y t cos(θ) u x ]dtdθ =[ t cos(θ) u x t sin(θ) u y + t u z ]dtdθ 25

26 Hemos calculado d s =[ t cos(θ) u x t sin(θ) u y + t u z ]dtdθ que vemos que está orientado hacia dentro del cono. Como por convenio d s hacia fuera. elegimos está orientado z d s d s d s =[t cos(θ) u x + t sin(θ) u y t u z ]dtdθ obre la superficie F = z u z = t u z x y Por lo tanto Fd s = t u z [t cos(θ) u x + t sin(θ) u y t u z ]dtdθ = t 2 dtdθ Finalmente, el flujo a traves de la superficie cónica Fd s = s 2π dθ h t 2 dt = 2π 3 h3 El que el flujo sea negativo indica que los vectores F y d s forman un ángulo mayor que π/2

27 Flujo sobre la tapa z = h z d s obre la tapa d s = ds u z F = z u z = h u z El flujo a través del elemento de superficie Fd s = h u z ds u z = hds El flujo sobre la tapa Fd s = h ds = h πr 2 = h πh 2 s ya que el radio del círculo R = x 2 + y 2 = h x y El flujo sobre la superfice total es s Fd s = 2π 3 h3 + πh 3 = π 3 h3 Este resultado coincide con el volumen interior de la superficie de integración.

28 X Problema Z a n Vector normal d s Y Calcular el flujo F ( r)d s del campo F = x ux + y u y sobre la superficie cerrada formada por la superficie cilíndrica de radio a comprendida entre las dos tapas circulares en z= y z=h. uperficie cilíndrica Parametrización z = t Un punto genérico sobre la superficie está dado por r(t, φ) =a cos(φ) u x + a sin(φ) u y + t u z T 1 = r dφ =[ x φ φ u x + y φ u y + z φ u z]dφ T 2 = r dt =[ x t t u x + y t u y + z t u z]dt = u z dt d s = T 1 T 2 =[ a sin(φ) u x + cos(φ) u y ] u z dtdφ que está orientado con la convención (hacia fuera) obre la superficie cilíndrica F (t, φ) =a cos(φ) u x + a sin(φ) u y x = a cos(φ) y = a sin(φ) =[a cos(φ) u x + a sin(φ) u y ]dtdφ Fd s =[a cos(φ) u x + a sin(φ) u y ][a cos(φ) u x + a sin(φ) u y ]dtdφ = a 2 dtdφ = a sin φ u x + a cos φ u y y el flujo en esa superficie cilindro 2π Fd s = a 2 dφ h dt =2πa 2 h

29 Z d s En las tapas d s = ds u z F y por lo tanto, ortogonal al campo Fd s =(x u x + y u y ]ds u z = X a Y El flujo sobre las tapas es nulo, y el valor total del flujo sobre la superficie cerrada es Fd s =2πa 2 h

30 Problemas propuestos Z Calcular el flujo F ( r)d s donde es la superficie cerrada a formada por la superficie cilíndrica de radio a comprendida entre las dos tapas circulares en z=-h y z=h, de los siguientes campos: h 1. F ( r) =z uz Y 2. F ( r) =e z u y X 3. F ( r) = ux + e z u z Calcular las siguientes integrales de superficie donde el campo escalar f( r) es f( r)ds 1. f( r) = r 2 2. f( r) = r 2 3. f( r) =x 2 + y 2 + z 3

31 Problema ea el campo plano Calcular el flujo F ( r)d s y z = donde la superficie es el rectángulo definido entre a<x<a y a < x < a < y < 1 x = x Parametrización de la superficie: parámetros x e y y = y z = y Un punto sobre el plano está dado por r(x, y) =x u x + y u y + y u z Vector normal T 1 = r x dx = u x T 2 = r y dy = u y + u z d s = T 1 T 2 Elemento de flujo: Fd s = z uz [ u z u y ]dxdy = ydxdy El flujo total Fd s = a a dx 1 ydy = a X Z = u x [ u y + u z ]dxdy z =[ u z u y ]dxdy Y