Vectores. Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Culhuacán.

Transcripción

1 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Culhuacán. Vectores Autor: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.

2 Vectores En el campo de estudio del Cálculo Vectorial o Multivariable, es importante el uso de los vectores, que se dará en dos y tres dimensiones. Come recordaremos un vector en su forma simple es representado por un segmento de recta que puede ser bidimensional o tridimensional. v = xi + yj v = xi + yj + zk Que en su representación que se muestra se le conoce como escalar. Representación Polar. En el caso de un vector Bidimensional como se ha estudiado anteriormente sabemos que se puede obtener su representación polar basándonos en el triángulo rectángulo donde sabemos que: Su magnitud es dada por: Y su ángulo de inclinación por: Y su inversa r = x + y θ = tan 1 ( y x ) x = rcosθ y = rsinθ ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 1

3 Pero en el caso de un vector tridimensional como podemos ver en la imagen cuenta con su proyección en el plano xy que es r y la magnitud del vector R que estas nos forma un triángulo rectángulo en un proyección tridimensional con respecto a z. Donde la magnitud será dada por: R = r + z Y recordando que en la proyección xy, r está dada por: r = x + y r = x + y Sustituimos el valor de r en la magnitud y obtenemos que: R = x + y + z Ahora bien con respecto a los ángulos de proyección del vector, recordaremos que cuando se analizó un segmento de recta dado entre dos puntos tridimensionales se tenía el valor de los cosenos directores, por lo cual para un vector podemos aplicar lo mismo. cos(α) = x R α = cos 1 ( x R ) cos(β) = y R β = cos 1 ( y R ) cos(γ) = z R γ = cos 1 ( z R ) Y la inversa de Polar a escalar entonces se dará por: x = Rcos(α) y = Rcos(β) z = Rcos(γ) ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA.

4 Coordenadas cilíndricas. Un vector tridimensional también un representación conocida como cilíndrica como se muestra en la figura. En tal sistema de coordenadas se utiliza r como el radio del cilindro, su ángulo de proyección del plano xy y la longitud del eje z como la altura del cilindro: Y su inversa entonces será: r = x + y θ = tan 1 ( y x ) z = z x = rcosθ y = rsinθ z = z ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 3

5 Coordenadas Esféricas. Un vector tridimensional también se puede representar en otro grupo de coordenadas conocido como esféricas como se muestra en la figura: Donde R es el radio de la esfera y como apoyo utilizaremos las proyecciones angulares y. R = x + y + z θ = tan 1 ( y x ) cos(γ) = z R γ = cos 1 ( z R ) Y sus inversas estarán dadas por: x = R sin(γ) cos(θ) y = R sin(γ) sin(θ) z = R cos(γ) ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 4

6 Ejemplos: 1. Determine la ecuación de un plano que pasa por un punto (-,0,10) y es perpendicular a un vector cuyas características son: v = i 4j + 10k. Primero obtendremos los cosenos directores o número directores del vector. Y sustituimos en la ecuación de plano. R = + ( 4) + 10 = 30 a = cos(α) = 30 = 1 30 b = cos(β) = 4 30 = 30 c = cos(γ) = = (x + ) (y 0) + (z 10) = x y z = x 30 y z = 0 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 5

7 . Determine la ecuación de un plano que pasa por un punto (-4,-5,10) y es perpendicular a un vector cuyas propiedades son: r, γ = 3π r R = 5u, α = π r, β = π 4 4 Primero obtendremos los cosenos directores o número directores del vector. Y sustituimos en la ecuación de plano. 1(x + 4) + a = cos(π) = 1 b = cos ( π 4 ) = c = cos ( 3π 4 ) = x y + x + x (y + 5) (z 10) = 0 z y z + = y + z = 0 = 0 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 6

8 3. Determine la ecuación de un plano que pasa por un punto (0,1,-6) y es perpendicular a un vector cuyas características son: r = 5u θ = r z = 5u Primero obtendremos los cosenos directores o número directores del vector. Y sustituimos en la ecuación de plano. x = 5 cos(4.0688) = 3 y = 5 sin(4.0688) = 4 R = ( 3) + ( 4) + ( 5) = 5 a = cos(α) = 3 5 b = cos(β) = 4 5 c = cos(γ) = 5 5 = (x 0) 5 5 (y 1) 1 (z + 6) = x 4 48 y z 6 = x 4 5 y 1 9 z + 5 = x y z 5 = 0 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 7

9 4. Determine la ecuación de un plano que pasa por un punto (0,0,0) y es perpendicular a un vector cuyas características son: R = 10 u θ = 0 r γ = π 4 Primero obtendremos los cosenos directores o número directores del vector. x = 10 sin ( π ) cos(0) = 10 4 r Y sustituimos en la ecuación de plano. 1 y = 10 sin ( π 4 ) sin(0) = 0 a = cos(α) = = 1 b = cos(β) = 0 10 = 0 c = cos ( π 4 ) = (x 0) 0(y 0) (z 0) = 0 1 x z = 0 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 8

10 Ejercicios. 1. Determine las ecuaciones de los planos: a. Que pasa por un punto (-,10,-8) y es perpendicular al vector v = i + 7j 3k b. Que pasa por un punto (0,-1,4) y es perpendicular al vector R = 3u α = π r, β = π r 3πr 4, γ = 4. c. Que pasa por un punto ( 1, 1, 7) y es perpendicular al vector r = 7u z = 3, θ = d. Que pasa por un punto (-5,0,5) y es perpendicular al vector R = 5u θ = 4.5 r, γ = 6 r. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA. 9