Guía Semanas 13 y RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática. Triedro de vectores y factores escalares. Supongamos que r.

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1 1. RESUMEN Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08-1 Ingeniería Matemática Guía Semanas 13 y 14 Triedro de vectores y factores escalares. Supongamos que u 0, v 0 y w 0 en el punto (u 0, v 0, w 0 ). Definimos el triedro de vectores unitarios, û, ˆv y ŵ, asociados al sistema de coordenadas dado por r, en el punto r(u 0, v 0, w 0 ), mediante donde û = 1 h u u, ˆv = 1 h v v y ŵ = 1 h w w, h u = u, h v = v y h v = w son llamados factores escalares. Coordenadas cilíndricas r(ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cosθ, ρ sen θ, z). Coordenadas esféricas Coordenadas toroidales r(r, ϕ, θ) = (r senϕcosθ, r sen ϕsenθ, r cosϕ). r(r, ϕ, θ) = ((R + r sen ϕ)cosθ, (R + r senϕ)sen θ, r cosϕ). Superficies. Un conjunto S Ê 3 se llama superficie (o variedad bidimensional) si existe una función continua r : Ω Ê 2 Ê 3 tal que S = { r(u, v) : (u, v) Ω}, donde Ω es un conjunto conexo en Ê 2. La función r se llama parametrización de la superficie. Si u 0 y v 0 en (u 0, v 0 ) definimos los vectores tangentes a S en r(u 0, v 0 ) mediante ˆt u = u 1 u y ˆt v = v 1 v, donde cada una de estas funciones está evaluada en (u 0, v 0 ). La parametrización r asociada a S es regular si ˆt u y ˆt v son linealmente independientes. En tal caso, el plano tangente es el generado por ˆt u y ˆt v. Definimos el vector normal a S en r(u 0, v 0 ) como ˆn = ˆt u ˆt v / ˆt u ˆt v. Una superficie S es regular si admite una parametrización regular. S es regular por trozos si está compuesta por una unión finita de superficies regulares. Diremos también que una superficie es suave si admite una parametrización C 1 y suave por pedazos si es una unión finita de superficies 1

2 suaves. Finalmente, diremos también que una superficie es simple si admite una parametrización inyectiva. Área e integral de superficie. Sea S una superficie simple y regular, y r : D Ê 2 Ê 3 una parametrización regular de ésta. Si ρ : Ω Ê 3 Ê es una función escalar continua definida en un abierto Ω que contiene a S, definimos la integral de superficie de ρ sobre S mediante: ρ da = ρ( r(u, v)) (u, v) (u, v) u v dudv. S D En particular, el área de S se define mediante: A(S) = (u, v) (u, v) u v dudv. D La integral de superficie no depende de la parametrización regular elegida. 2. EJERCICIOS PROPUESTOS Triedro de vectores y factores escalares P1.- Calcular los factores escalares y el elemento de volumen en coordenadas parabólicas (ǫ, η, ϕ) según el cambio de variables: Pruebe también que: a) x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 (ǫ2 + η 2 ) x = ǫ η cos(ϕ) y = ǫ η sen(ϕ) z = 1 2 (η2 ǫ 2 ) b) Concluya que las superficies a η constante y ǫ constante son respectivamente: x2 + y 2 + z 2 + z = η 2 x2 + y 2 + z 2 z = ǫ 2 Finalmente, justifique el nombre de parabólicas para este sistema de coordenadas (puede hacer un dibujo). P2.- Calcular los factores escalares y el elemento de volumen en coordenadas cónicas (r, µ, ν) definidas por: x = r µν bc y = λ (µ 2 b 2 )(ν 2 b 2 ) b b 2 c 2 (µ 2 c 2 )(ν 2 c 2 ) z = λ c c 2 b 2 2

3 donde el conjunto a considerar es b 2 > µ 2 > c 2 > ν 2. Pruebe también que: a) Las superficies a r constante son esferas de la forma: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 b) Las superficies a µ constante y ν constante son los conos: x 2 µ 2 + y2 µ 2 b 2 + z2 µ 2 c 2 = 0 x 2 ν 2 + y2 ν 2 b 2 + z2 ν 2 c 2 = 0 Justifique el nombre de cónicas para este sistema coordenado (puede hacer un dibujo). Parametrizaciones y cálculo de áreas de superficies P3.- Sea f : [a, b] Ê no negativa. El grafo de f, rotado alrededor del eje x genera una superficie de revolución S x en Ê 3. a) Encuentre una parametrización de S x en términos de f. b) Pruebe que A(S x ) = 2π b a f(x) 1 + f (x) 2 dx P4.- Sea f : [a, b] Ê no negativa. El grafo de f, rotado alrededor del eje y genera una superficie de revolución S y en Ê 3. a) Encuentre una parametrización de S y en términos de f. b) Pruebe que A(S y ) = 2π b a x 1 + f (x) 2 dx P5.- Sea f : Ê 2 Ê de clase C 1 sobre un conjunto D acotado por una curva suave por trozos. a) Pruebe que el área del grafo de f S es: ( ) 2 ( ) 2 f f A(S) = dxdy x y D 3

4 b) Muestre que el área del grafo de f(x, y) = x 2 + y para x [0, 1], y [0, 1] es 3/ ln( 2 + 3) P6.- Considere el paraboloide de ecuación x 2 + y 2 = (h z), con h > 0 constante, y sea Π el plano tangente a la superficie del paraboloide en el punto (0, h, 0). Demuestre que el área de la porción del plano contenido en el cilindro de ecuación x 2 + y 2 = a 2 es πa 2 1 4h. P7.- Calcule el área de la intersección entre: x 2 +y 2 = a 2 y x 2 +z 2 = a 2. P8.- Hallar el área de la superficie del cilindro x 2 +y 2 = a 2 que se encuentra en el interior del cilindro x 2 + z 2 = 2az. Cálculo de integrales de Superficie P9.- Considere la superficie S definida por z = 1 x 2 y 2, z 0, a través de la cual se practica una doble abertura en un ángulo α (con ambas aberturas frente a frente). Suponiendo una distribución de masa uniforme de densidad σ, calcular la masa total y el centro de masa de S. Puede usar argumentos de simetría. P10.- Considere la superficie S correspondiente a la sección del paraboide de ecuación z = 1+x 2 +y 2 que queda dentro del cilindro (x 1) 2 +y 2 1. a) Bosqueje S. Encuentre una parametrización para S en coordenadas cilíndricas. b) Calcule el vector normal unitario a S y el elemento de superficie. c) Calcule la masa total de S, suponiendo densidad superficial de masa f(x, y, z) = 1/ 1 + 4x 2 + 4y 2 P11.- Sea S Ê 3 la superficie caraterizada por x 2 +y 2 2z = 0, x 2 +y 2 4y 0. a) Encuentre una parametrización regular de S y obtenga un campo de normales a S. Bosqueje S en un gráfico. b) Calcule el área de S y su centro de masa asumiendo densidad constante e igual a 1. 4

5 3. PROBLEMAS RESUELTOS Ingeniería Matemática P12.- Parametrizar la superficie de intersección de: Solución: x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( x 1 2) 2 + y z 0 Usando coordenadas cilíndricas, tendremos que los puntos de la frontera satisfacen: ( x 1 ) 2 + y 2 = x2 x y2 = 1 4 x2 x + y 2 = 0 = ρ 2 = ρ cosθ Por lo tanto: ρ = cosθ, o bien, ρ = 0 Luego, ρ(θ) = cos θ, θ [ π/2, π/2] (recordar que ρ debe ser positivo). Por otro lado se tiene: Así: x 2 + y 2 + z 2 = 1 ρ 2 (θ) + z 2 = 1 z = 1 ρ 2 ϕ (ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sen θ, 1 ρ2 ), con θ [ π/2, π/2], ρ [0, cosθ] P13.- Considere el paraboloide de ecuación x 2 + y 2 + z = 4R 2 con R > 0, y el cilindro x 2 + y 2 = 2Ry. Calcule la superficie de la porción del cilindro que queda fuera del paraboloide y debajo de 4R 2. Solución: La ecuación del paraboloide la podemos reescribir como: x 2 + y 2 = 4R 2 z Es decir, para cada z fijo, se tiene que la curva de nivel del paraboloide es la circunferencia centrada en (0, 0), y de radio 4R 2 z, con el eje z conteniendo los centros. Por otra parte, reescribiendo la ecuación del cilindro: x 2 + y 2 2Ry + R 2 = R 2 = x 2 + (y R) 2 = R 2 O sea, es un cilindro centrado en (0, R), de radio R, con z arbitrario. La porción que queda fuera del cilindro es como una torre que emerge 5

6 en el costado de una colina. Necesitamos saber en qué momento el cilindro se sale del paraboloide, para ello debemos ver la intersección entre las ecuaciones, restándolas: x 2 +y 2 +z x 2 y 2 = 4R 2 2Ry z = 4R 2 2Ry z = 2R(2R y) Usando coordenadas cilíndricas, las ecuaciones quedan como: ρ 2 + z = 4R 2 ρ 2 = 2Rρ senθ z = 2R(2R ρ sen θ) Considerando que ρ > 0, tenemos que despejando ρ y z en función de θ: ρ = 2R sen θ z = 4R 2 4R 2 sen 2 θ = 4R 2 cos 2 θ La parametrización resultante, usando coordenas cilíndricas queda como: σ (z, θ) = (2R senθ cosθ, 2R sen 2 θ, z) (z, θ) [4R 2 cos 2 θ, 4R 2 ] [0, π] Consideramos sólo hasta π, pues el cilindro vive según la parametrización con que contamos, en ese segmento para θ, ahora calculamos: σ θ = 2R cosθˆρ + 2R senθˆθ σ z = ˆk = σ θ σ z = 2R cosθˆθ + 2R senθˆρ σ θ σ z = 2R Por consiguiente, la integral queda: π 4R 2 0 4R 2 cos θ π 2Rdzdθ = (2R) 3 sen 2 θdθ = (2R) 3 π 2 = 4πR3 0 6