La ley de Biot-Savart

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Sandra Naranjo Marín
hace 6 años
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1 La ley de Biot-Savart La ley de Biot-Savart calcula el campo producido por un elemento dl de la corriente de intensidad I en un punto P distante r de dicho elemento. La densidad de flujo magnético infinitesimal permite calcular el valor total del campo magnético asociado a una corriente eléctrica que fluye por un circuito a partir de una simple operación de suma de los elementos infinitesimales de corriente. Matemáticamente, esta suma se expresa como una integral extendida a todo el circuito C, por lo que la densidad de flujo magnético asociada a una corriente viene dada por: El campo producido por el elemento tiene la dirección perpendicular al plano determinado por los vectores unitarios ut y ur, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos. ut es un vector unitario que señala la dirección de la corriente, mientras que ur señala la posición del punto P desde el elemento de corriente dl.

2 Salvo en el caso de espira circular o de una corriente rectilínea, la aplicación de la ley de Biot-Savart es muy complicada. Para determinar el campo producido por un solenoide sumando los campos producidos por cada una de las espiras que lo forman, existen dos aproximaciones: Mediante la ley de Biot- Savart se calcula el campo producido por una espira circular en un punto de su eje. Se supone que el solenoide de longitud L tiene N espiras muy apretadas, y luego, se calcula la contribución de todas las espiras al campo en un punto del eje del solenoide. Problemas propuesto de la ley de biot - savart Problema 1: El tramo circular tiene un radio R=20cm y por todo el conductor circula una corriente I=15A. Este problema es más sencillo que el anterior ya que cada elemento diferencial de longitud en el tramo circular es perpendicular al vector de posición que va desde ese elemento a P. Como en el problema anterior, el tramo largo alineado con P no produce ningún campo en P. Éste es igual a (49) y va hacia dentro de la página. Problema 2: Suponga que la corriente circula por el arco exterior en sentido antihorario. El campo creado por el arco exterior en P va hacia fuera mientras que el creado por el arco interior. Puesto que los dos tramos cortos horizontales alineados con P no producen nada de campo magnético en P, y ya que los radios de cada uno de los arcos es conocido, aplicando el resultado (49) del problema anterior obtenemos

3 Problema de biot - savart Aplicando la ley de Biot y Savart, calcular la inducción magnética, B en el punto P de la figura adjunta. Los conductores rectilíneos se suponen indefinidos en la dirección positiva del eje X. Respuesta: La ley de Biot y Savart expresa que el valor de la inducción magnética en un punto P que dista una distancia r de un elemento dl, de un conductor, viene dado por: Por lo tanto, para calcular la inducción debida a todo el circuito podemos hacerlo aplicando el principio de superposición. Así el valor de la inducción producida por la parte circular BA del circuito es:

4 Siendo la dirección de B1 perpendicular al plano del circuito y de sentido hacia adentro. Para la parte rectilínea del circuito tendremos dos campos de igual dirección y sentido que B1 y cada uno de ellos valdrá Y teniendo en cuenta la relación entre los ángulos a y q Tenemos entonces que la inducción total en el punto P tendrá dirección perpendicular al plano del circuito, sentido hacia adentro y de módulo:

5 Ejercicios resueltos: Problemas Resueltos # 1 Calcule el campo magnético producido por una corriente rectilínea I de longitud finita, en el punto C (ver figura). SOLUCIÓN: Vamos a dar la respuesta en función de R, la distancia del punto C al alambre de corriente I Usando Biot-Savart que expresa el campo magnético por cualquier corriente I, o sea: Para cualquier elemento de corriente dl, el vector es perpendicular al plano determinado por C y la corriente (plano de la hoja) y su magnitud es:, llamando al ángulo Ө dl y r entre.

6 De la figura se deduce: Y el diferencial, Sustituyendo dl y r tenemos: El resultado se puede utilizar para encontrar el campo magnético de cualquier alambre recto si conocemos los ángulos y. Para el caso de un alambre recto infinitamente largo, y como puede verse en la figura inferior. En este caso, Problemas Resueltos # 2 Espira Circular: Encontrar el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R que transporta una corriente I.

7 SOLUCIÓN: El campo en el centro de la espira puede obtenerse de: Donde el producto vectorial (dlxr) apunta hacia arriba a lo largo del eje de la espira. La magnitud del campo debido al elemento que se muestra en la figura de acuerdo con la ecuación anterior es, debido a que es perpendicular dl a r. El campo neto en el centro de la espira tiene como magnitud, ya que la distancia r entre cada elemento de corriente y el punto donde se desea encontrar el campo es constante e igual al radio R, y a que la integral de dl alrededor de la espira es.

8 Referencias bibliográficas:

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