2- El flujo de un campo vectorial se define para una superficie abierta o cerrada?

Transcripción

1 ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUIA NRO. 2 LEY DE GAUSS Bibliografía Obligatoria (mínima) Capítulo 24 Física de Serway Tomo II Apunte de la cátedra: Capìtulo III PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA Las preguntas sobre la teoría pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía. Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los problemas y contestar las cuestiones. 1- Que entiende por flujo de un campo vectorial? De un ejemplo. 2- El flujo de un campo vectorial se define para una superficie abierta o cerrada? 3-Enuncie la Ley de Gauss de la Electrostática Explique su significado general Describa cada una de las variables de la Ley de Gauss Es válida sólo para cuerpos de elevada simetría? 4-Enuncie la Ley de Gauss del Campo Gravitatorio Explique su significado general Describa cada una de las variables de esta Ley 5- Describa como se aplica la Ley de Gauss de la Electrostática para hallar la función campo eléctrico de cuerpos de elevada simetría. 6- Mencione las unidades en el Sistema Internacional de: flujo de un campo eléctrico, flujo de un campo gravitatorio. PROBLEMAS Resolver los problemas implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas. 1- Hallar el campo eléctrico en todo punto del espacio, a partir de la Ley de Gauss de la Electrostática, para las siguientes distribuciones de carga de elevada simetría: a) cáscara esférica uniformemente cargada de radio a y carga neta Q. b) esfera cargada uniformemente en volumen de radio a y carga neta Q. c) hilo infinito cargado uniformemente d) cilindro infinito cargado uniformemente en superficie de radio a. e) cilindro infinito de radio a cargado uniformemente en volumen f) plano infinito cargado uniformemente

2 g) Para cada uno de los ítems anteriores graficar el campo eléctrico como función del radio 2- Hallar el campo gravitacional en todo punto del espacio, a partir de la Ley de Gauss del Campo Gravitatorio para las siguientes distribuciones de masa de elevada simetría: a)cáscara esférica con densidad superficial de masa uniforme, de radio a y masa total M. b)esfera con densidad volumétrica de masa uniforme, de radio a y masa total M. 3- Cómo cambian los resultados del problema 1-b) si la densidad volumétrica de carga de la esfera varía con el radio del siguiente modo: ρ = ρ 0. r 2? CUESTIONES Contestar las cuestiones implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas. 1- Compare el flujo de una carga puntual q a través de superficies gaussianas de distintas formas: esfera, cubo, paralelepípedo rectangular. 2-Si la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales variase proporcionalmente a 1/r 3 en lugar de 1/r 2 podría utilizarse el mismo sistema de líneas de campo para indicar el campo eléctrico? Justifique su respuesta. 3-Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es cero se deduce entonces que el campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie? Se deduce que la carga neta dentro de la superficie es cero? 4- El campo eléctrico de la Ley de Gauss de la Electrostática es la parte del campo eléctrico debido a la carga interior a la superficie o es el campo eléctrico neto debido a todas las cargas que están en el interior o en el exterior de la superficie? 5- Qué información se necesita además de la carga total en el interior de una superficie para utilizar la Ley de Gauss de la Electrostática con objeto de hallar el campo eléctrico? 6-Explicar por que el campo eléctrico aumenta con r en lugar de disminuir proporcionalmente a 1/r 2 cuando nos movemos desde el centro de una distribución de carga esférica de densidad constante. 7- Puede una distribución de carga que es infinita en extensión producir un campo eléctrico que es finito en todas partes? OBJETIVOS DE LA UNIDAD TEMATICA N 2 (GUIA Nro. 2) Al finalizar esta unidad el alumno podrá: Enunciar la Ley de Gauss de la Electrostática, describir todos sus parámetros y explicar el significado conceptual de esta ley.

3 Fundamentar la equivalencia de la Ley de Gauss de la Electrostática con la Ley de Coulomb y que el enunciado de aquella significa reconocer una dependencia exacta del campo eléctrico con la inversa del cuadrado de la distancia. Reconocer el carácter divergente del campo electrostático, ilustrando el hecho con la descripción de "fuentes" y "sumideros" del mismo. Operar, mediante análisis de simetría, para probar la imposibilidad de aplicar la Ley de Gauss de la Electrostática en el cálculo del campo eléctrico para distribuciones de carga no simétricas cuyas líneas de campo no resulten normales en todos los puntos a "superficies gaussianas" sencillas. Enunciar la Ley de Gauss del Campo Gravitatorio, describir todos sus parámetros y explicar el significado conceptual de esta ley. Comparar las propiedades del campo eléctrico con las correspondientes al campo gravitatorio. Dada una distribución continua de carga de elevada simetría (esferas, cilindros infinitos, hilos infinitos, planos infinitos) deberá poder hallar la expresión del campo eléctrico en todo punto del espacio aplicando la Ley de Gauss de la Electrostática. Dada una distribución continua esférica de masa deberá poder hallar la expresión del campo gravitatorio en todo punto del espacio aplicando la Ley de Gauss del Campo Gravitatorio. Operar, mediante análisis de simetría, para probar la imposibilidad de aplicar esta la Ley de Gauss del Campo Gravitatorio en el cálculo del campo gravitatorio para distribuciones de masa no simétricas cuyas líneas de campo no resulten normales en todos los puntos a "superficies gaussianas" sencillas. Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas y cuestiones similares a los presentados en la Guía.

4 APÉNDICE MATEMÁTICO GUIA NRO 2 FÍSICA II Diferencial de longitud. Una de las operaciones que más a menudo se efectúan sobre los campos es la integración: sobre una línea, una superficie o un volumen y tanto integrales escalares como vectoriales. Los factores de escala dan la proporcionalidad entre a variación en una coordenada y la distancia recorrida a lo largo de una línea coordenadas. Si variamos infinitesimalmente la coordenada q1 recorremos la distancia A esta distancia le corresponde un desplazamiento en la dirección de la línea coordenada de q 1 En el caso de que tengamos un desplazamiento general, en el cual cambien las tres coordenadas, el resultado será la suma vectorial (no la suma escalar de las distancias) de los desplazamientos individuales Diferencial de superficie El diferencial de superficie escalar, ds es el área de un pequeño trocito de una superficie. Sin embargo, de bastante más interés es el diferencial vectorial, que se define como el producto de dicha área por el vector normal a la superficie Para obtener el vector consideramos dos vectores tangentes a la superficie y. El producto vectorial de estos dos vectores es otro vector... Perpendicular a ambos vectores, esto es, perpendicular a la superficie. De módulo igual al área del paralelogramo definido por ambos vectores. pero estas dos propiedades son justamente las que definen el vector. Por tanto, Esta construcción se puede hacer de forma general para cualquier superficie. Sin embargo, aquí nos limitaremos a considerar superficies coordenadas. Por qué? Porque es más fácil y porque casi siempre trabajaremos con este tipo de superficies (ya que precisamente las superficies son las que nos inclinan a elegir un sistema de coordenadas u otro).

5 Para una superficie q 3 = cte los puntos de la superficie dependen de las coordenadas y, por lo que los dos diferenciales tangentes a la superficie son y el vector diferencial de superficie donde hemos aplicado que se trata de una base ortonormal dextrógira, en la que Diferencial de volumen Un elemento de volumen, dτ es una pequeña porción del espacio. En principio, su forma es arbitraria. De hecho, a menudo es útil pensar en elementos esféricos. Sin embargo, por su simplicidad, consideraremos elementos en forma de paralelepípedo. Si tenemos tres diferenciales de camino no coplanarios, el volumen del prisma que determinan es considerando de nuevo diferenciales a lo largo de las líneas coordenadas y aplicando la ortonormalidad de las bases, esta expresión se reduce a Integral de superficie de un campo vectorial En esta lección definiremos el concepto de flujo de un campo vectorial. Imaginemos el siguiente campo vectorial, dado por una ecuación F(x). Supongamos además que el campo vectorial representa las velocidades en un fluido (ver Figura 1) Figura 1

6 Imaginemos adicionalmente que colocamos una superficie orientada arbitrariamente (ver Figura 2) y nos preguntamos por la cantidad de fluido que la atravesaría en un tiempo t. Figura 2 Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie está orientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo: Flujo cero Nivel de flujo intermedio Nivel de flujo máximo por unidad de tiempo

7 Sea )S el área de una pequeña porción de S sobre la cual F es prácticamente constante. En tales circunstancias, la cantidad de flujo que atraviesa esa región por unidad de tiempo puede aproximarse por el volumen de la columna F A n (ver Figura 3). Figura 3 Esto es: V = (altura) (área de la base) = (F A n) )S En consecuencia, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (lo que se conoce como el flujo de F a través de S) viene dado por la integral de superficie de la siguiente función: Definición: La integral de superficie de un campo vectorial. Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficie parametrizada S. La integral de superficie F sobre S es: S F d S = D F n dudv

8 Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si D(x, y, z) es la densidad del fluido en (x, y, z) la integral de flujo: ρ F ds S representa la masa del fluido que atraviesa S por unidad de tiempo. Nota: El flujo también puede darse sobre superficies cerradas, lo cual derivará su cálculo en una integral cerrada.