AYUDANTÍA N o 3 FÍSICA GENERAL II SEGUNDO SEMESTRE 2014

Transcripción

1 AYUDANTÍA N o 3 FÍSICA GENERAL II SEGUNDO SEMESTRE Dos largas placas paralelas conductoras están separadas por una distancia d y cargadas de modo que sus tensiones son +V 0 y V 0. Una pequeña esfera conductora de masa m y radio 4 (donde R << d) esta colgando de un hilo conductor de largo L conectado a tierra, ver figura 1. La esfera se encuentra en equilibrio estable cuando V 0 es pequeño. Determine el valor mínimo de V 0 que produce que la esfera pase a estar en equilibrio inestable. L V 0 FIG. 1. Sistema de placas paralelas con esfera conectada a tierra SOLUCIÓN: La esfera en ausencia de las placas se encuentra en equilibrio estable, esto se refiere a que una perturbación en la posición de la esfera hará que esta vuelva a su posición de equilibrio original. La idea del problema es realizar el mismo análisis pero considerando que se tienen las dos placas con diferencia de potencial. Las placas producen un campo eléctrico en el espacio que va desde la placa positiva hacia la negativa, con magnitud de: V 0 ( V 0 ) d = 2V 0 d Si se analiza el caso en el que la esfera sufre una leve perturbación que la desplaza en una distancia x hacia la placa negativa, se tendrá que el potencial producto de las placas es menor, siendo este: Ex = 2V 0 d x (2) Ya que el cable de la esfera esta conectado a tierra, se va a trasladar carga desde tierra hacia la esfera de modo que: 2V 0x d (1) + kq R = 0 (3) Es decir, se tendrá que: q = 2V 0xR kd (4) Ya que la esfera esta cargada y esta sometida al campo eléctrico producido por las placas va a experimentar una fuerza eléctrica hacia la placa negativa, la cual estará dada por: F = qe = 4V 2 0 xr kd 2 (5)

2 Por equilibrio mecánico esta fuerza debe ser balanceada por la componente horizontal de la tensión del conductor (tensión mecánica, no eléctrica): Con lo cual se tiene que: T cosθ = mg (6) T senθ = 4V 2 0 xr kd 2 (7) tan θ = 4V 2 0 xr kd 2 mg x L (8) En caso de x pequeño. Con esto se tiene que: V 0 = ( kd 2 ) 1/2 mg (9) 4RL Si V 0 es menor a este valor, la esfera volverá a su posición de equilibrio original, en cambio si es mayor a este valor, se ira hacia una de las dos placas, dependiendo del sentido de la perturbación. Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 2

3 2. Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad C 0 y carga 0, donde el espacio entre las placas es aire. Se introduce un placa dieléctrica con constante, como se muestra en la figura 2. Los dos terminales del condensador están aislados, determine antes y después de introducir el dieléctrico: a) La intensidad del campo eléctrico en todo el espacio entre las placas b) La carga de polarización c) La carga en las placas del condensador d) La diferencia de potencial entre las placas conductoras e) La diferencia de potencial entre las caras opuestas del dieléctrico f) La capacidad del condensador g) La energía potencial eléctrica + 0 C a b FIG. 2. Condensador de placas paralelas antes y después de colocar el dieléctrico SOLUCIÓN: Todas las preguntas antes de introducir el dieléctrico son el caso típico de un condensador de placas paralelas separadas por aire, con lo que se obtiene que: V 0 = 0 C 0 (10) C 0 = ε 0A a (11) L = 0 (Carga libre) (12) P = 0 (No hay dieléctrico por lo que no hay carga de polarización) (13) E 0 = 0 (Campo entre dos placas paralelas) (14) ε 0 A U 0 = 2 0 2C 0 (Energía potencial eléctrica) (15) Después de introducir el dieléctrico se tendrá: a) El campo dentro del dieléctrico será E 0 /, mientras que el campo eléctrico en el espacio de aire seguirá siendo E 0. b) La carga de polarización se puede determinar aplicando la ley de Gauss tal como se muestra en la figura 3. El flujo a través de las caras laterales en la superficie Gausseana considerada en la figura 3 es cero, ya que E es perpendicular a ds, por lo que de la ley de Gauss se tiene que: ϕ = E ds = E 0 A + E 0 A (16) Donde A es el área de la superficie gausseana paralela a la placa. A su vez el flujo debe ser igual a la carga neta encerrada dividida por ε 0 ϕ = P ε 0 (17) Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 3

4 + 0-0 FIG. 3. Aplicación de la ley de Gauss de modo de determinar la carga de polarización Igualando las expresiones, se obtiene: P = E 0 Aε 0 ( 1 1 ) (18) Remplazando E 0 = 0A ε 0, se obtiene: ( ) 1 P = 0 (19) Ya que 1, la expresión anterior indica que la carga de polarización es siempre de signo contrario al de la carga libre y de valor absoluto menor que el de la carga libre. También se puede observar que la carga de polarización en este caso no depende del ancho del dieléctrico, es decir no depende de que queden espacios de aire. c) La carga libre, es decir la carga en las placas del condensador, no varían ya que durante el proceso permanecen aisladas. ( L ) antes = ( L ) después = 0 (20) d) La diferencia de potencial entre las placas conductoras puede determinarse mediante: V = V (+) V ( ) = (+) Donde hay que considerar que el campo dentro del dieléctrico es E 0 / [ a + b V = E 0 (a b) + E 0 b = E 0 V = [ ( )] 0 1 a + b ε 0 A 1 [ ( a + b 1 V = V 1) ] 0 a [ V = V 0 1 b ] ( 1) a ( ) E dl (21) ( 1 1 Por lo que se puede apreciar de que la diferencia de potencial se ha visto reducida respecto al condensador completamente en vacío, y que mientras mayor sea el ancho del dieléctrico mas se reducirá la diferencia de potencial. e) La diferencia de potencial entre las caras opuestas del dieléctrico corresponde al término E0 b la cual se puede determinar al realizar la integral igual que en el punto d), pero solo entre los limites del dieléctrico, con lo que se obtiene: V = V 0 b a )] (22) (23) (24) (25) (26) Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 4

5 f) Por definición la capacidad del condensador es el valor absoluto de la carga libre en cada placa dividido por la diferencia de potencial entre ellas: C = L V = 0 0 [ ( a + b 1 1)] = ε 0 A a + b ( 1 (27) 1) C = C 0 ε 0 A 1 b ( 1) a Se puede observar que el valor de capacidad obtenido se encuentra entre el valor del condensador vacío C 0 y el condensador lleno con el dieléctrico C 0 (28) C 0 < C < C 0 (29) g) La energía potencial eléctrica puede calcularse directamente de: La diferencia de energía final e inicial es: ( U = 2 0 2C = b 2C 0 a ) ( 1) ( U = U U 0 = b ) ( 1) 2C 0 a 1 b ( 1) U = U U 0 = U 0 a (30) (31) (32) La energía eléctrica disminuye, en otras palabras, el condensador debe hacer trabajo positivo para introducir el dieléctrico. Esto significa que el dieléctrico es atraído hacia el interior del condensador, y el agente externo debe sujetarlo para que se introduzca muy lentamente, haciendo trabajo negativo sobre el condensador. Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 5

6 3. Un condensador esférico aislado tiene carga + en su interior (radio r a ) y carga en su conductor exterior (radio r b ). Después, se llana la mitad del volumen entre los dos conductores con un líquido dieléctrico con constante, como se muestra en el corte transversal de la figura 4. a) Encuentre la capacitancia del condensador medio lleno. b) Calcule la magnitud de E en el volumen entre los dos conductores como función de la distancia r desde el centro del condensador. Dé respuestas para las mitades superior e inferior del volumen. c) Obtenga la densidad superficial de la carga libre en las mitades superior e inferior de los conductores interno y externo. d) Determine la densidad superficial de carga ligada en las superficies (r = r a ) y exterior (r = r b ) del dieléctrico. e) Cuál es la densidad superficial de carga ligada en la superficie plana del dieléctrico? FIG. 4. Condensador esférico lleno hasta la mitad con dieléctrico liquido SOLUCIÓN: a) Utilizando la Ley de Gauss y la relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico se debe determinar la capacitancia, es decir: C = V (33) Cada conductor es una superficie equipotencial, por lo que se debe cumplir que: V a V b = rb r a E G dr = rb r a E L dr (34) Donde E L y E G son los campos eléctricos en el dieléctrico liquido y en la zona de aire (sin dieléctrico). De la expresión anterior se tiene que E L = E G. En el caso de un condensador esférico con aire entre sus placas se tiene que (demostrar): ( ) ra r b C 0 = 4πε 0 (35) r b r a El condensador en este problema es equivalente a dos condensadores en paralelo, C L y C G, cada uno con la mitad del área respecto a la de un condensador esférico normal. C L = C ( ) 0 ra r b = 2πε 0 (36) 2 r b r a C G = C ( ) 0 2 = 2πε ra r b 0 (37) r b r a ( ) ra r b C = C L + C G = 2πε 0 (1 + k) (38) r b r a Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 6

7 b) Utilizando superficies esfericas gausseanas para cada mitad respectiva, se obtiene que: 4πr 2 E L = L 2 ε 0 L E L = 2πε 0 r 2 4πr 2 E G = G 2 ε 0 E G = G 2πε 0 r 2 A su vez L = V C L y G = V C G, además L + G =. Por lo tanto L = V C 0 2 = G y G = L = 1+ con lo cual se obtiene: Es decir: E G = E L E L = 1 + E G = πε 0 r 2 = 2 1 2πε 0 r 2 = c) Las densidades de carga son para la parte superior (donde esta el aire) σ G,ra σ G,rb En la parte inferior, donde esta el liquido, son: σ L,ra σ L,rb = G 2πra 2 = = G 2πr 2 b = = L 2πra 2 = = L 2πr 2 b = 1+, 1 + 4πε 0 r 2 (39) 4πε 0 r 2 (40) 2πra(1 2 + ) (41) 2πrb 2(1 + ) (42) 2πra(1 2 + ) (43) 2πrb 2(1 + ) (44) d) Se tiene que: ( ) ( ) ( ) 1 1 σ i,ra = σ f,ra (1 1/) = 2πra 2 = πra ( ) ( ) ( ) σ i,rb = σ f,rb (1 1/) = 2πrb 2 = πrb 2 (45) (46) e) Ya que no hay campo eléctrico en las zonas perpendiculares a la interface liquido-aire, no hay densidad superficial de carga. Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 7

8 4. Considere dos cables paralelos de radio r cargados con cargas opuestas y separados por una distancia D. Asumiendo que la carga se distribuye de manera uniforme en la superficie de cada conductor, demuestre que la capacitancia entre los cables por unidad de longitud es: C l = πε ln[(d d)/d] (47) SOLUCIÓN: Usando la Ley de Gauss, se puede determinar el campo eléctrico producido por el conductor con carga positiva, el cual es radial y de magnitud: E + = λ 2πε 0 r (48) La diferencia de potencial entre los cables con carga es: cable+ V 1 = cable E d r = λ 2πε 0 d D d dr r = λ ( ) D d ln 2πε 0 d (49) El cable con densidad de carga λ realiza una contribución de potencial idéntica entre los dos cables. Entonces la diferencia de potencial es: V = λ ( ) D d ln πε 0 d (50) La capacitancia entre los dos cables, cada uno de largo l, es: C = V = λl V = λl λ/(πε 0 )ln[(d d)/d] = πε 0 l ln[(d d)/d] (51) Por lo que la capacitancia por unidad de longitud es: C l = πε 0 ln[(d d)/d] (52) Coordinador: David Zambrano / Ayudante: Federico Heisig 8