Tema 7: Polarización. Índice

Transcripción

1 Tema 7: Polarización 1 Índice Introducción Vector polarización Vector desplazamiento Leyes constitutivas Energía en presencia de dieléctricos Fuerzas sobre dieléctricos 2

2 Introducción Conductores: poseen una cantidad apreciable de carga libre Dieléctricos: todas las cargas se encuentran ligadas a algún átomo o molécula Ejemplos: madera, plásticos, granito... Entonces Cómo reacciona un dieléctrico ante un campo externo? Las cargas en las moléculas o átomos sufre desplazamientos microscópicos 3 Dipolos inducidos Un átomo posee un núcleo positivo y una nube de electrones con carga negativa El núcleo se ve desplazado en el sentido del campo y los electrones en sentido contrario: El átomo se encuentra polarizado Momento dipolar inducido: Polarizabilidad Para campos extremos la relación pasa a ser no lineal e incluso el átomo puede ionizarse 4

3 Alineamiento de moléculas polares Algunas moléculas presentan un momento dipolar no nulo en ausencia de un campo eléctrico externo Ejemplo: molécula de agua Moléculas polares Ante un campo eléctrico externo estas moléculas polares tienden a girar, de forma que su momento dipolar quede paralelo al campo 5 Polarización Materiales con átomos o moléculas no polares: Aparecerá en cada átomo un momento dipolar paralelo al campo eléctrico Materiales con moléculas polares: Cada molécula experimenta un momento de fuerzas que tiende a alinearla con el campo La alineación no es perfecta debido al efecto de agitación térmica En ambos casos tenemos un dieléctrico polarizado: muchos pequeños dipolos orientados paralelos al campo eléctrico aplicado 6

4 Índice Introducción Vector polarización Vector desplazamiento Leyes constitutivas Energía en presencia de dieléctricos Fuerzas sobre dieléctricos 7 Vector polarización Vamos a estudiar el campo que crea un dieléctrico polarizado No analizamos la causa de la polarización Cada molécula presenta un momento dipolar: Desde el punto de vista macroscópico definimos el vector polarización: Densidad de momento dipolar por unidad de volumen 8

5 Campo creado por un material polarizado Sea un material polarizado: Suponiendo que conocemos el vector polarización. qué campo eléctrico crea? Idea: el campo será la superposición de los campos de todos los dipolos que contiene el material Potencial de un dipolo en el origen de coordenadas: Si esta situado en un punto cualquiera: 9 Campo creado por un material polarizado Momento dipolar de un diferencial de volumen del material: Potencial que crea este dif. de volumen: Integrando en todo el volumen del material polarizado: 10

6 Campo creado por un material polarizado El potencial del material polarizado puede escribirse de otra manera Usando: Tenemos para el integrando que: 11 Campo creado por un material polarizado Y el potencial queda: Y aplicando el Teorema de la divergencia: : Volumen del dieléctrico polarizado : Superficie que envuelve al dieléctrico polarizado 12

7 Cargas de polarización Potencial creado por unas densidades de carga volumétrica y superficial conocidas: Por analogía entre ambas expresiones definimos: Carga superficial de polarización Carga volumétrica de polarización 13 Cargas de polarización Para calcular el campo eléctrico creado por el dieléctrico polarizado puedo sustituir el dieléctrico por sus cargas de polarización Se convierte en un problema de electrostática (tema 3) Esto requiere conocer el vector polarización Preguntas sobre las cargas de polarización: Se trata de cargas reales o solamente son una herramienta matemática? Si son reales, Cómo es posible que aparezca carga en un cuerpo que inicialmente era neutro? 14

8 Realidad física de las cargas de polarización Material polarizado uniformemente: Las capas de dipolos adyacentes a las superficies crean distribuciones de carga superficial: 15 Realidad física de las cargas de polarización Polarización no uniforme No hay compensación entre las capas positivas de una capa y las negativas de la siguiente carga neta en volumen Las cargas de polarización son cargas reales 16

9 Carga total de polarización La carga total es la suma de la carga de polarización en la superficie y en el volumen del material: Teorema de la divergencia La carga total de un dieléctico polarizado es nula (salvo que se deposite carga libre) 17 Índice Introducción Vector polarización Vector desplazamiento Leyes constitutivas Energía en presencia de dieléctricos Fuerzas sobre dieléctricos 18

10 Vector desplazamiento Hemos calculado el campo debido al dieléctrico polarizado: cargas de polarización El campo eléctrico total es el producido por las cargas de polarización y las cargas libres (todas las demás) y cumple la Ley de Gauss: con: Desplazamiento eléctrico ó vector desplazamiento 19 Vector desplazamiento La Ley de Gauss puede escribirse en términos del vector desplazamiento: Forma diferencial Forma integral Se trata de un campo auxiliar: no medible Unidades: C/m2 (las mismas que Sus fuentes escalares son solamente las cargas libres Condición de salto: ) 20

11 Fuentes vectoriales del vector desplazamiento Un campo vectorial viene dado por sus fuentes escalares y vectoriales A partir de la definición: (Electrostática) Tenemos: La polarización aparece en las fuentes vectoriales del vector desplazamiento 21 Utilidad del vector desplazamiento El paralelismo entre y es un poco engañoso: No puede decirse que el vector desplazamiento sea equivalente al campo eléctrico que se obtiene considerando sólo las cargas libres Sin embargo en situaciones de alta simetría se cumple: y se puede calcular el vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss: 22

12 Ejemplo Condensador plano relleno de dieléctrico Por la simetría plana Aplicando Ley de Gauss: 23 Ejemplo Hilo infinito de carga rodeado de cilindro dieléctrico Determino Si conociera en función de las cargas libres: podría calcular usando: PERO NORMALMENTE: necesitamos conocer esa relación (ecuación constitutiva del medio) 24

13 Índice Introducción Vector polarización Vector desplazamiento Leyes constitutivas Energía en presencia de dieléctricos Fuerzas sobre dieléctricos 25 Leyes constitutivas Un material se polariza como consecuencia de la existencia de un campo eléctrico En muchas sustancias la polarización es proporcional al campo eléctrico: : susceptibilidad eléctrica (adimensional) En el vacío: es el campo eléctrico total (debido a las cargas libres y las de polarización), no el campo externo aplicado Material lineal, isótropo y homogéneo 26

14 Medios lineales Homogéneo: la susceptibilidad no depende de la posición Isótropo: la susceptibilidad es un escalar (no un tensor) Lineal: la polarización es proporcional al campo Es cierto para campos de valor moderado Otros medios no cumplen esto: Materiales ferroeléctricos: la polarización depende de la historia del material Electretes: presentan polarización en ausencia de campo eléctrico externo 27 Medios lineales Relación entre la polarización y el campo eléctrico: Definimos: Permitividad del material: Permitividad relativa: Entonces: ;(F/m) y: 28

15 Valores de permitividad relativa 29 Ejemplo Condensador plano relleno de un dieléctrico lineal Teníamos: La capacidad es veces mayor que cuando el condensador está relleno de aire 30

16 Ejemplo Condensador plano: cargas de polarización En general, para dieléctricos lineales: 31 Condensador con y sin relleno dieléctrico Para la misma carga libre en las placas, la caída de potencial es más pequeña cuando está relleno de dieléctrico: Porque el campo eléctrico es menor, debido a que queda en parte contrarrestado por las cargas de polarización Para la misma diferencia de potencial, la carga libre acumulada es mayor con dieléctrico: Ya que para tener el mismo campo eléctrico entre placas es preciso que en el caso con dieléctrico exista mayor cantidad de carga libre, para contrarrestar el efecto de las cargas de polarización 32

17 Ejemplo Condensador plano parcialmente relleno de dieléctrico Aplicando Ley de Gauss: Capacidad de dos condensadores en serie 33 Ejemplo Condensador plano parcialmente relleno de dieléctrico En las dos regiones ha de cumplirse: Capacidad de dos condensadores en paralelo 34

18 Ejemplo Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica Simetría: Ley de Gauss: 35 Ejemplo Esfera conductora con carga q rodeada de esfera dieléctrica: cargas de polarización dentro del dieléctrico: (dieléctrico lineal) Ejercicio: comprobar que la carga total de polarización es nula 36

19 Índice Introducción Vector polarización Vector desplazamiento Leyes constitutivas Energía en presencia de dieléctricos Fuerzas sobre dieléctricos 37 Energía en presencia de dieléctricos Ya conocemos la expresión: Representa el trabajo necesario para llevar todas las cargas desde el infinito a su posición final En presencia de dieléctricos lineales es más conveniente esta expresión: Representa el trabajo necesario para llevar las cargas libres desde el infinito a su posición final en presencia del medio dieléctrico 38

20 Energía de un condensador plano Para un condensador plano relleno de dieléctrico: Teníamos: Entonces: 39 Fuerzas sobre dieléctricos La fuerza ejercida en una dirección sobre una pieza dieléctrica puede calcularse también a partir del principio de los trabajos virtuales. Se obtiene: Ejemplo: pieza de dieléctrico parcialmente introducida en un condensador plano: 40

21 Resumen (I) Un material dieléctrico reacciona a un campo eléctrico externo polarizándose: Sus moléculas forman dipolos eléctricos alineados en la dirección del campo A nivel macroscópico el estado de polarización viene dado por el vector polarización Un dieléctrico polarizado presenta en general cargas de polarización en volumen y en superficie. El vector desplazamiento es un campo auxiliar cuyas fuentes escalares son exclusivamente las cargas libres 41 Resumen (y II) En situaciones de alta simetría se puede calcular el vector desplazamiento en función de las cargas libres usando la Ley de Gauss Para calcular el campo eléctrico es necesario además conocer la relación entre el vector polarización y el propio campo eléctrico: relación constitutiva del medio En medios lineales el vector polarización es proporcional al campo eléctrico total Para calcular la energía de un sistema en presencia de dieléctricos es más útil una expresión alternativa que no incluye el trabajo para llevar las cargas de polarización hasta su posición final. 42