Lista de Ejercicios Complementarios

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1 Lista de Ejercicios omplementarios Matemáticas VI (MA-3) Verano. ean α >, β > y a, b R constantes. ea la superficie que es la porción del cono de ecuación z = α x + y que resulta de su intersección con el cilindro de ecuación (x a) + (y b) = β. Halle el área de. Resp: πβ α +.. alcular el área total de la superficie del sólido acotado por sus intersecciones con las superficies cuyas ecuaciones son: lateralmente x +y = ; inferiormente z = ; superiormente z = x +. Resp: π(5 + ). 3. alcular z d, donde es la parte del cilindro x + y = dentro del A() hemisferio superior de la esfera (x ) + y + z = 4 y A() denota su área. Resp: π ea la porción de superficie cilíndrica de ecuación x + y = 4 comprendida entre los planos z = y z = 4. i la densidad de masa en el punto (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z) = z, calcule la masa de. Resp: 56 3 π. 5. alcule el área de la superficie sobre la esfera de ecuación x + y + z = a que es interior al cilindro de ecuación x + y = ax (con a > ). Resp: a (π ) 6. alcule el área de la parte del cilindro x + z = a que está dentro del cilindro x + y = ax (aquí a R). 7. ea la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y = f(x), a x b (contenida en el plano xy de R 3 ) alrededor del eje y. Halle una parametrización suave para. Muestre que A() = π b a x + (f (x)) dx.

2 ( ). Demostrar que x + y + z operador de Laplace. =, siendo = = x + y + z. Hallar las constantes reales a, b, c de forma que v = (x + y + az)î + (bx 3y z)ˆȷ + (4x + cy + z)ˆk sea irrotacional (es decir, que rot v = ). Resp: a = 4, b =, c =. Demostrar que v, calculado en la parte anterior, se puede expresar como el gradiente de una función escalar. Resp: v = f, siendo f(x, y, z) = x 3 y + z + xy + 4xz yz. 3. Evaluar la integral rot F n d, donde es la porción del paraboloide de ecuación z = x y con z, n es la normal unitaria con z-componente no-negativa y F (x, y, z) = (y, z, x). Resp: π. 4. alcular la integral de línea del campo F (x, y, z) = (y + z, x + z, y z) a lo largo de la curva intersección de las superficies x + y z = y z = x +, recorrida en sentido horario vista desde el origen. Resp:. 5. alcular el flujo total del campo F (x, y, z) = ( y, x, z) a través de la superficie cerrada que se obtiene a partir de la semiesfera x + y + z = 36, z y el plano z =, en dirección de la normal exterior. Resp: 44π. 6. onsidere el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z). (x +y +z ) 3 Demuestre que si la superficie suave es una porción (arbitraria) de la esfera x + y + z = 4, entonces el flujo de F a través de (hacia el exterior de la esfera) es proporcional al área de, es decir, F n ext d = k A(). Usando un caso particular de, determine la constante k. 7. alcular el Resp: 4. F d, con la orientación exterior de, siendo F (x, y, z) = (x, y, z) y la superficie del sólido limitado por los planos coordenados y el plano de ecuación x + y 3z = 6. Resp: 9.

3 . Usar el teorema de tokes para evaluar F ds, donde F (x, y, z) = (z, 8x 3y, 3x + 4y) y es la curva triangular de vértices (,, ), (,, ) y (,, ) con orientación horaria cuando es vista desde el origen de coordenadas. Resp: 7.. Usar el teorema de tokes para verificar que y dx+z dy+x dz = πa 3, donde es la curva intersección de la esfera x + y + z = a y el plano x + y + z = orientada adecuadamente. 3. onsidere el campo vectorial F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), siendo: R(x, y, z) = yz + xh(z), Q(x, y, z) = yx y + g(x) + z y P (x, y, z) = y g(x) x 3 y xy + 3x y + h(z). Determine las funciones reales g(x) y h(z) para que el campo sea conservativo. Resp: g(x) = x 3, h(z) = e z. Usando las funciones encontradas en, calcular una función potencial para F. Resp: F = f, f(x, y, z) = x 3 y x y + xe z + z y y + c. 4. ea F : R 3 R 3 un campo vectorial de clase tal que rot(f ) = (, z, xe xy ) y sea = {(x, y, z) R 3 : x + y = 4 y z x + }. alcule F ds. Resp: 8π. 5. ean u(x, y, z) = x 3 y 3 + 3z y v(x, y, z) = x + y 4z. Pruebe la identidad rot(fg) = f rot G+ f G, siendo G un campo vectorial arbitrario de tipo. Encuentre un campo vectorial F tal que rot F = u v. (c) Usando el teorema de tokes (verifique las hipótesis) halle el valor de la integral ( u v) n d, donde es el hemisferio x + y + z =, z, y n es la normal unitaria a con tercera componente no-negativa. 6. ea F (x, y, z) = (ax + by, sen z + axy, y cos z). Resp: 3π. Obtenga todos los pares de números reales a, b que hagan que F sea conservativo. Resp: a = b. Usando el resultado anterior, hallar un potencial para F (cuando exista). Resp: F = f, f(x, y, z) = bx + bxy + y sen z + c. 3

4 (c) Para los valores de a, b que hacen F conservativo, calcular F ds, donde es la curva que consta del segmento de recta que une (,, ) con (,, ) y del segmento de recta que une (,, ) con (,, ). Resp: sen. 7. ea F (x, y, z) = (x, xy + x, z). ean la circunferencia x + y = y el disco x + y en el plano z =. Determinar el flujo de F hacia abajo de. Resp:. Determinar la circulación (es decir, la integral de línea) de F alrededor de. Resp: π. (c) Hallar el flujo de F y verificar directamente el teorema de tokes. 4

5 . ea V el sólido comprendido entre la superficie de un cono y el gráfico de una función suave y acotada < f(x, y) < 5 (x, y) R, esto es V = {(x, y, z) R 3 x + y z f(x, y)}. ea la porción del gráfico de z = f(x, y) dentro del cono z = x + y. Dibuje una representación gráfica del sólido V y la superficie. Muestre que G(x, y, z) = (x, y, z) es tangente al cono. (c) abiendo que el volumen de V es igual a 6, halle el flujo a través de del campo G. Resp: 8.. alcular F n d, siendo la superficie = {(x, y, z) R 3 x + y = z, z } {x + y, z = } y F (x, y, z) = (xy + sen(z 3 ), e x xy, z ). Resp: π. 3. ea el sólido cilíndrico limitado por x + y = 4, z =, z = 3 y sea n la normal unitaria exterior a la frontera. ea F (x, y, z) = (x 3 + tan(yz), y 3 e xz, 3z + x 3 ). Encuentre el flujo de F a través de. Resp: 8π. 4. ea V el sólido acotado por las superficies = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 9}, = {(x, y, z) R 3 x + y = z, z > } y 3 = {(x, y, z) R 3 x + y, z = }. ea V la superficie frontera del sólido V con la orientación exterior. i F (x, y, z) = (x, y, z), calcule F d. V 5. ea el borde y D el interior del cubo x, y, z. Usar el teorema de Gauss para calcular F n d, donde F (x, y, z) = x î + y ˆȷ + z ˆk y n es la normal unitaria exterior. Resp: 3. 5

6 . Exprese los siguientes números complejos en forma polar z = 3 + 3i. z = i 3. (c) z = 5 + i 5. (d) z = i. (e) z = 3 + i.. alcule ( + i)( + i 3)( i 3 (c) ( i) i 3 ( + i 3) ( + i)( + i 3 3 ). 3 ). 3. Halle las raíces quintas de la unidad. 4. Determine los posibles valores de ( 3 + i ) Encuentre las raíces cuartas de i Encuentre los valores de i Resuelva las siguientes ecuaciones z 4 + z 3 z + z =. z 3 + iz + z + i =. 8. Muestre que todas las soluciones de la ecuación 64z 6 = (z ) 6 están sobre la circunferencia de ecuación (x + 3 ) + y = ( 3 ). 9. Muestre que los siguientes límites no existen: lim z iπ e z e. z z lim z z.. onsidere el polinomio q(z) = z 4 +. Muestre que q(z) = (z z )(z z )(z z 3 )(z z 4 ), donde z = e iπ/4, z = z, z 3 = z y z 4 = z. 6

7 ea α k = lim z zk z z k q(z), k =,, 3, 4. Muestre que α + α = (α 3 + α 4 ) (y, por lo tanto, 4 k= α k = ).. Demuestre (k denota un número entero): i sen(z ) = sen(z ) entonces z = z + kπ ó z = (k + )π z. i cos(z ) = sen(z ) entonces π z = z + kπ ó π z = (k + )π z. (c) i cos(z ) = sen(z ) entonces z = ( ) k+ z + π + kπ. (d) tan(z ) = tan(z ) si y solo si z = z + kπ. alcule Log( + i ). ( + i) i. (c) ( + i) +i. (d) ( 3 i) +i (e) ( +i ) i. (f) Log(( + i) ). 7

8 . Resolver las siguientes ecuaciones: cosh z = i. cos z + sen z =.. uponga que f = u + iv es analítica en A = {z Re z > } y que u x + v y = en A. Demuestre que existe una constante real c y una constante compleja d tal que f(z) = icz + d en A. 3. Hallar todos los puntos z donde f(z) = Log(sen z) es analítica. Dibuje dicho conjunto. 4. alcular la integral + i z dz a lo largo de las siguientes curvas que conectan los puntos z = y z = + i: La recta. La parábola y = x. 5. alcule e z Re(z) dz, donde es el segmento de la recta y = x que conecta a los puntos z = y z = + i. dz 6. Demuestre que = para toda curva cerrada que no pase por el origen. z 7. alcule z dz, sentido anti-horario. z = 8. Pruebe que no existe una función analítica definida en \ {} tal que f (z) = /z. dz 9. Dar condiciones sobre una curva cerrada que garanticen que z =.. alcular las siguientes integrales: cosh(e iπz ) z =3 z 3 4z dz. e iz (z ) dz. z =. ea f(z) una función entera. i existe A R + tal que f(z) A z z, muestre que f(z) = az para cierto a.. ea f(z) una función entera. i f(z) z, demuestre que f es constante. 3. Desarrollar las siguientes funciones en serie de Taylor alrededor del punto indicado. En cada caso, hallar el radio de convergencia: 8

9 z + en. z + 4z 5 e z en serie de potencias de z. 4. Hallar los tres primeros términos de las series de potencias de las funciones siguientes en el centro a especificado. Hallar el radio de convergencia. cos (z), a = π. (sen z)( cos z), a =. 5. alcular n z n, z <. n= 6. onsidere la integral i sen t, con t [, π]. 3 n= z n dz, donde es la curva parametrizada por cos t+ 4 Explique por qué la serie converge sobre los puntos de la curva. Usando la parte anterior, calcule el valor de la integral. 7. ea f(z) = e z z + z. Halle los 3 primeros términos de la serie de Taylor en torno a z = de la función f. Halle el término general de la serie. (c) Halle el radio de convergencia de la serie. 8. Halle los 4 primeros términos no nulos del desarrollo de f(z) = cos z z(z + ) como serie de potencias centrada en z =. Determine la región donde es válido el desarrollo. 9. Desarrolle la función f(z) = z 3 en serie de Laurent alrededor de cada uno z 3z + de sus puntos singular. Especificar las regiones de convergencia.. alcular las series de Laurent de las siguientes funciones en las regiones dadas: en z >. z(z ) en < z <. z(z ). Evalúe + z cos z dz. z =7 9

10 . lasificar las singularidades y hallar los residuos (en las singularidades) de las siguientes funciones: sen(z ) z 3 π 4 z. z 3 sen( z ). 3. alcular los residuos en de las siguientes funciones: sen(3z) 3 sen z. sen z e z z sen z ( cos(z)). 4. Obtenga una fórmula para Res(f, ), siendo f(z) = e z+ z. 5. Evaluar las siguientes integrales (sentido anti-horario): az n dz, : z =, < a <, n N. az + ( + a )z + a z e imz dz, : z bi = b, b >, m R. c (z + b ) e mz (c) (z ai)(z i dz, : z =, < a <, m R. ) a 6. alcular las siguientes integrales: (c) (d) (e) (f) (g) π π x dx, a >. (x + a ) x x 4 + dx. dx x +. x sen(ax) x + k dx, a, k >. cos(ax) dx, a, b >. (x + b ) cos 3 θ dθ, a < a cos θ + a dθ cos θ.

11 (h) (i) π π cos(θ) cos θ dθ. cos(nθ) dθ, a <, n N. + a cos θ + a