ANÁLISIS REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA EXAMEN FEBRERO 2003

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1 EXAMEN FEBRERO 23 La ecuación e x 1 x = admite la raíz real x =. Probar que no puede tener otra. Justi car porqué es impropia y calcular la integral Z 2 1 dx x p ln x Estudiar la continuidad y las derivadas parciales en el (; ) de la función < x 2 f(x; y) = x si (x; y) 6= (; ) + y2 1 si (x; y) = (; ) Determinar los extremos relativos de la función f(x; y) = (x 3 y) 2 x Ejercicio 5 Consideremos el sólido, de densidad constante = 1, limitado por el cilindro circular recto x 2 + y 2 = 1; 1 z 1 Calcular el momento de inercia de dicho sólido respecto al eje z sabiendo que viene dado por ZZZ I z = (x 2 + y 2 )dxdydz Dada la super cie de nida por siendo D la región x 1; y 1, calcular Obtener la solución general de la ecuación diferencial Obtener la solución general de la ecuación diferencial Ejercicio 6 z = x 2 + p 3y para (x; y) 2 D ZZ xd Ejercicio 7 2(y 4x 2 )dx + xdy = y Ejercicio 3y + 2y = 6e x - Duración del Examen 2 horas y media. - Elegir 6 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

2 EXAMEN JUNIO 23 ea la función f(x) = Estudiar su continuidad y derivabilidad en x = 1 Calcular, integrando por partes, la integral impropia ln x si x 1 ln x si < x < 1 Z 1 ( ln x)dx Estudiar la diferenciabilidad en el (; ) de la función < y x2 y 2 f(x; y) = x 2 + y 2 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Calcular la integral triple siendo el cuerpo limitado por las super cies Obtener la solución general de la ecuación diferencial ZZZ I z = (x 2 + y 2 )dxdydz z = x 2 + y 2 z = 2 (x 2 + y 2 ) y y + y y = x 2 + x - Duración del Examen 2 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

3 EXAMEN EPTIEMBRE 23 Demostrar que la función f(x) = e jxj no es derivable en el punto x = Cuál es el ángulo que forman las tangentes por los lados a esta curva en el punto indicado?. Hallar el área de la región limitada por la curva anterior, el eje OX; y las rectas x = 2 y x = 1. Hallar las distancias máxima y mínima del punto (; ) a la elipse de ecuación 5x 2 + 6xy + 5y 2 = Calcular el volumen de la región constituida por la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 2 que queda dentro del cono z = p x 2 + y 2 Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x 3 + xy 2 + x 2 )dx + x 2 y dy = - Duración del Examen 2 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

4 EXAMEN FEBRERO 24 Estudiar en los puntos x = y x = =2 la derivabilidad de la función f. Esbozar su grá ca. < 1 si x f(x) = cos x < x < =2 (x =2) 2 si x =2 a) Calcular de forma exacta la integral Z 1 x ln(1 + x)dx b) Calcularla de forma aproximada, utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 del ln(1 + x) c) Calcular el radio de convergencia de la serie de Maclaurin del integrando. Dada la función < f(x; y) = 4x 3 x 2 + y 2 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Estudiar en el (; ) a) continuidad; b) existencia de derivadas parciales; c) diferenciabilidad. La super cie que limita la cavidad de una copa de vino es z = x 2 + y 2 y tiene una altura de 1 cm. abiendo que se dá positivo en el control de alcoholemia cuando se han ingerido 47 cm 3, dará positivo una persona que ha bebido 3 copas?. Hallar la integral de super cie en donde es la super cie del cono con z 3. Z Z Ejercicio 5 x 2 + y 2 d z = p 3 p x 2 + y 2 Ejercicio 6 upongamos una masa m, unida a un resorte y conectada a un dispositivo amortiguador, sobre la que actúa una fuerza externa f(t). e demuestra que la solución del sistema vibratorio viene dada por el problema de valor inicial y + 2y + 2y = 4 cos t + 2 sen t y() = ; y () = 3 a) Obtener la solución general de la ecuación diferencial. b) Obtener la solución particular que veri ca las condiciones iniciales. - Duración del Examen 2 horas y media. - Elegir 5 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

5 EXAMEN JUNIO 24 ea p(x) = x 5 5x + a Demostrar que a) El polinomio p(x) posee a lo sumo una raíz en el intervalo [ 1; 1], para todo a 2 R b) El polinomio p(x) posee una raíz en [ 1; 1] si, y sólo si, jaj < 4 Calcular los extremos relativos de la función f(x; y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea Z 3ydx xzdy + yz 2 dz siendo C la curva intersección del paraboloide 2z = x 2 + y 2 y el plano z = 2. Indicar el sentido de recorrido elegido. C a) Obtener la solución general de la ecuación diferencial e y dx (2y + xe y )dy = b) Hallar la solución general de la ecuación diferencial y + 2y + y = cos x - Duración del Examen 2 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

6 EXAMEN EPTIEMBRE 24 Dada la función f(x) = p x + 1 se pide a) El polinomio de Taylor de cuarto grado de f en x =. b) Calcular un valor aproximado de p 12 utilizando un polinomio de segundo grado. Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la función x f(x; y) = 2 sen 1 x si x 6= si x = Hallar el volumen del sólido perteneciente al primer octante que está limitado por el cilindro x 2 + y 2 = 2y el cono y el plano xy. z = p x 2 + y 2 Encontrar todas las funciones y(x) que satisfacen la ecuación diferencial y 2 (2x + y)y + (x 2 + xy) = - Duración del Examen 2 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.

7 EXAMEN FEBRERO 25 Dada la función f(x) = sen ax si x < ln(1 + x) + b si x (a) Calcular los parámetros a y b para que sea continua y derivable en x = Con esos valores de los parámetros (b) Calcular los extremos absolutos de f(x) en el intervalo [ ; 1] (c) Calcular el área limitada por f(x) y el eje Ox en el intervalo [ ; 1] (a) Calcular el polinomio de MacLaurin (a = ), de grado n; de la función f(x) = x 1 (b) Calcular de forma aproximada, tomando n = 2, y acotar el error cometido. 11 (c) Calcular de forma exacta, y de forma aproximada (con el polinomio de grado n = 2) la integral Explicar los resultados obtenidos. (a) Calcular los extremos relativos de la función Z x dx f(x; y) = 2xy + y 2 y 3 + x 2 (b) Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de f(x; y) con la condición 2x + y = (a) Calcular el área limitada por las curvas y = 2 x 2 y = x ) (b) Calcular el volumen limitado por las super cies z = p ) x 2 + y 2 p z = 2 x2 + y 2 Ejercicio 5 ea la super cie dada por la parametrización T (u; v) = (u cos v; u sen v; v), donde u 1; v 2. Calcular ZZ p ZZ (a) x2 + y 2 cos 2 zd (b) F d con F = (x; y; 1) - Duración del Examen 2,3 horas. - Elegir 4 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación. - Los ejercicios deben entregarse por separado.

8 EXAMEN JUNIO 25 (2 puntos) e puede calcular aplicando la regla de l Hôpital el siguiente límite?. Hallar su valor. x 2 sen 1 x lim x! sen x Calcular los extremos relativos de la función (2 puntos) f(x; y) = x 2 + y 4 2xy 2 y 5 (3 puntos) Calcular la integral Z Z Z y 2 dxdydz siendo R 3 la región limitada por las super cies 1 = x 2 + y 2 ; z = 2 (x 2 + y 2 ); z = (x 2 + y 2 ) 1 (3 puntos) Calcular, aplicando el Teorema de tokes, la integral Z I = F ds siendo F = (yz; x 2 ; xy) y siendo C la intersección de las super cies x 2 + y 2 + z 2 = 2; z = p x 2 + y 2 La curva C se supone recorrida en el sentido antihorario al considerar su proyección sobre el plano xy. C - Duración del Examen 2 horas.

9 EXAMEN EPTIEMBRE 25 (2 puntos) Calcular Z +1 xe 2x dx Dada la función < f(x; y) = (2 puntos) x 3 + y 3 x 2 + y 2 + y 4 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Estudiar (a) la continuidad en el (; );(b) existencia de derivadas parciales en el (; ). (3 puntos) ea R 3 la región del 1 er octante limitada por z = >< y = x y = p 3x > x 2 + y 2 + z 2 = 1 Calcular ZZZ x dxdydz (3 puntos) ea la parte del plano intersecada por la super cie cilíndrica Calcular x + y + z = 1 x 2 + y 2 = 1 ZZ xy d - Duración del Examen 2 horas.

10 EXAMEN FEBRERO 26 Dada la función f(x) = ln(1 + x) si 1 < x arctg(ax) + b si x > (a) Calcular los parámetros a y b para que sea continua y derivable en x = (b) Con esos valores de los parámetros, calcular Z 1 f(x)dx (a) Calcular el polinomio de MacLaurin (a = ), de grado n; de la función f(x) = x 3 + e x (b) Calcular f(1) de forma aproximada, considerando el polinomio de grado n = 3. (c) Acotar el error cometido en el apartado anterior. (a) Calcular los extremos relativos de la función f(x; y) = x 2 y 2 (b) Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de f(x; y) con la condición x + 1 = Calcular el volumen de la región constituida por la parte de la esfera que queda dentro del cono x 2 + y 2 + z 2 = 2 z = p x 2 + y 2 y en el primer octante (x ; y ; z ). Nota Debe emplearse el cambio de variables a coordenadas esféricas. ea la porción de la super cie que queda por encima del plano xy. (a) Calcular su área. (b) Calcular con F = (; ; 1) y n la normal exterior Ejercicio 5 z = 2 (x 2 + y 2 ) Z Z F d Ejercicio 6 (a) Obtener la solución general de la ecuación diferencial dy dx = 2xy + 1 x 2 1 (b) Obtener la solución general de la ecuación diferencial - Duración del Examen 2,3 horas. - Elegir 5 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación. y 2y y + 2y = 2e x

11 EXAMEN JUNIO 26 ea f(x) la función (2 puntos) f(x) = xe x (a) Calcular su derivada enésima f (n) (x). (b) Calcular su polinomio de MacLaurin en a =. (c) Calcular de forma aproximada f(1) = e con el polinomio de grado n = 3 Acotar el Error. (2 puntos) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el (; ) de la función < xy 4 f(x; y) = x 4 + y si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Calcular la integral (2 puntos) Z Z D xy dxdy siendo D R 2 la región del primer cuadrante limitada por las curvas (a) En coordenadas cartesianas. (b) En coordenadas polares. Calcular la integral de super cie siendo y siendo la porción del plano x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 = 4 (2 puntos) ZZ I = f(x; y; z)d f(x; y; z) = 2 x + y + z = 1 limitada en el primer octante por los planos coordenados. anterior? Calcular la solución general de la ecuación diferencial Ejercicio 5 (2 puntos) y y + 16y = (1 x)e 4x Qué interpretación geométrica tiene la integral - Duración del Examen 2 horas.

12 EXAMEN EPTIEMBRE 26 (2 puntos) Demostrar que la ecuación tiene sólo una raíz real si ax 3 + bx 2 + cx + d = b 2 3ac < (2 puntos) Determinar, por el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos de la función f(x; y) = p x 2 + y 2 con la condición Interpretar grá camente el resultado. x + y = 1 (2 puntos) Calcular el volumen limitado en el primer octante por las super cies x 2 + y 2 = 4 2y + z = 4 (2 puntos) Calcular la integral de super cie ZZ I = f(x; y; z)d siendo f(x; y; z) = p x 2 + y y siendo la super cie dada por la parametrización T (u; v) = (u cos v; u sen v; v); u 1; v 2 Ejercicio 5 (2 puntos) Calcular la solución general de la ecuación diferencial e y dx (2y + xe y )dy = - Duración del Examen 2 horas.

13 EXAMEN FEBRERO 27 (a) Una compañía de autobuses alquilará uno con capacidad para 5 personas a grupos de 36 o más. i un grupo consta de 36 personas, pagará cada una 6C=. Para grupos mayores, se reduce 1C= el precio por persona, por cada una que exceda de 36. Determine el tamaño del grupo que hace máximo el ingreso de la compañía. (b) Calcular Z 1 dx p j1 x2 j (a) Calcular el polinomio de Taylor, centrado en a = 1, y de grado n, de la función f(x) = ln p x (b) Calcular Z 2 1 2x ln p xdx 1 Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de f(x; y) f(x; y) = x 2 4xy + 4y 2 con la condición (x; y) = x 2 + y 2 = Nota Discutir sólo el punto crítico del primer cuadrante. Calcular la integral Z Z Z (x 2 + y 2 )dxdydz siendo la región de R 3, del primer octante, limitada por y por los planos x = ; z = ; y = x Calcular la integral de super cie siendo la porción de la super cie comprendida entre z 3 El circuito RLC de la gura x 2 + y 2 + z 2 = 2 Z Z Ejercicio 5 (x 2 + y 2 )d z = p x 2 + y 2 Ejercicio 6 responde a la ecuación diferencial y + 2y + 5y = sen x. Obtener su solución general. - Duración del Examen 2,3 horas. - Elegir 5 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación. - No se permite el uso de calculadoras.

14 EXAMEN JUNIO 27 (a) Calcular el polinomio de Maclaurin, centrado en a =, y de grado 4, de la función f(x) = e x2 (b) Calcular de forma exacta las integrales Z 1 xe x2 dx; Z 2 xe x2 dx (c) Calcular las integrales anteriores de forma aproximada, usando el polinomio de grado 4 de la función f(x) = e x2. (d) Comparar y explicar los resultados. Nota e ' 271; e 4 ' 5459 Dada la función < f(x; y) = x 3 + y 3 x 2 + y 2 + x 5 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Estudiar en el (; ) (a) Continuidad. (b) Existencia de derivadas parciales. (c) Puede ser diferenciable?. Por qué?. En caso a rmativo, cuánto valdría? Hallar la integral doble Z Z D xydxdy siendo D la región del primer cuadrante, que contiene al origen de coordenadas y que está limitada por (a) Integrando primero la x (b) Integrando primero la y. Nota NO hace falta simpli car las fracciones. Hallar la integral de super cie en donde es la super cie del cono que queda por encima del plano z = 1. la recta y = 1=2 la parábola y 2 = x la parábola y = x 2 Z Z z = 3 Obtener la solución general de la ecuación diferencial (a) como ecuación homogénea. (b) como ecuación exacta. - Duración del Examen 2,3 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación. (x 2 + y 2 )d p x2 + y 2 Ejercicio 5 (4x 3y)dx + (2y 3x)dy =

15 EXAMEN EPTIEMBRE 27 (2 puntos) Dos pueblos P y Q están en distintas orillas de un río de 3 km de ancho, como se muestra en la gura. Pedro, que vive en P, tiene su novia en Q y quiere llegar a verla en el mínimo tiempo posible. Hallar el camino que debe seguir, sabiendo que Pedro nada a una velocidad constante de 4 km= h y camina a una velocidad constante de 5 km= h. P 3 12 x 12 x Q (2 puntos) (a) Calcular los extremos relativos (libres) de la función f(x; y) = 2 x 2 y 2 (b) Determinar, por el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos de la misma función pero ahora con la condición (c) Interpretar grá camente los resultados. f(x; y) = 2 x 2 y 2 y 1 = (2 puntos) Calcular el volumen limitado por las super cies < x 2 + y 2 = 4 z = 4 + x 2 + y 2 z = Esbozar su grá ca. Calcular la integral de super cie siendo y siendo la parte del plano (2 puntos) ZZ I = F (x; y; z)d F (x; y; z) = (; ; z) x + y 2 + z = 1 perteneciente al primer octante, y considerando en ella la cara inferior. Ejercicio 5 (2 puntos) Al estudiar un problema de vibraciones, se obtiene la ecuación diferencial y + y = sen t (a) Calcular la solución general de dicha ecuación diferencial. (b) El apartado anterior es un ejemplo de resonancia. En qué consiste? - Duración del Examen 2.3 horas.

16 EXAMEN FEBRERO 2 Dada la función f(x) = ch(x) = ex + e x 2 (a) Calcular su polinomio de MacLaurin de grado n. (b) Calcular de forma aproximada ch(1) con el polinomio de grado 2 y acotar el error cometido Calcular la integral impropia Z 1 ln x p x dx Estudiar en el (; ) la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función < y x2 y 2 f(x; y) = x 2 + y 2 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Puede ser diferenciable?. Por qué?. En caso a rmativo, cuánto valdría?. Nota cos 2 = cos 2 sen 2 e construye una peonza limitada por las super cies ( z = p x 2 + y 2 Calcular su Volumen. ea la super cie dada por la parametrización Calcular z = 2 (x 2 + y 2 ) Ejercicio 5 T (u; v) = (u; v; 1 u v) (u; v) 2 D = f(u; v)= u 2 + v 2 2g (a) (b) ZZ ZZ d! F! d siendo! F = (; ; x 2 + y 2 ) y considerando en la normal inferior. Obtener la solución general de la ecuación diferencial (a) Como ecuación lineal. (b) Como ecuación exacta. (c) Como ecuación homogénea. - Duración del Examen 2,3 horas. - Elegir 5 de los ejercicios anteriores. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación. - No se permite el uso de calculadoras. Ejercicio 6 y + y x + 2 =

17 EXAMEN JUNIO 2 (2 puntos) (a) Calcular el polinomio de Maclaurin, centrado en a =, y de grado 3, de la función f(x) = arctg x (b) Calcular de forma exacta la integral Z 1 arctg xdx (c) Calcular la integral anterior de forma aproximada, usando el polinomio obtenido en (a). (2 puntos) (a) Calcular, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de la función f(x; y) = 1 x y con la condición (x; y) = x 2 + y 2 2 = (b) Tiene extremos relativos libres la función f(x; y)? Interpretar gra camente los resultados. (2 puntos) Calcular la integral triple siendo R 3 el diminio limitado Z Z Z y 2 dxdydz superiormente por el cono z = 2 lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 = 2 inferiormente por el plano z = Cómo calcularías integrando el volumen de? (2 puntos) p x2 + y 2 Calcular la integral de super cie Z Z! F! d siendo! F = (2x; 2y; z) siendo = 1 [ 2 la super cie cerrada formada por la unión de y considerando la normal exterior. ( 1 ) plano z = 3 ( 2 ) paraboloide z = x 2 + y 2 Ejercicio 5 (2 puntos) (a) Resolver, como ecuación exacta, la ecuación diferencial y = 2xy + 1 x 2 1 (b) Obtener la solución general de la ecuación diferencial - Duración del Examen 2,3 horas. y + 2y + 2y = 4 cos t + 2 sen t

18 ea la función ANÁLII REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA EXAMEN EPTIEMBRE 2 (1.5 puntos) f(x) = Estudiar su continuidad y derivabilidad en x = 1 Calcular, integrando por partes, la integral impropia ln x si x 1 ln x si < x < 1 Z 1 ( ln x)dx (2.5 puntos) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el (; ) de la función < xy 2 f(x; y) = x 2 + y 4 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) (2.5 puntos) Calcular el volumen de la región constituida por la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que queda dentro del cono z = p 3 p x 2 + y 2 (2.5 puntos) Calcular, aplicando el Teorema de tokes, la integral Z I = F ds C siendo F = (2y; 3x; z 2 ) y siendo C la circunferencia de centro el origen, radio 3 y contenida en el plano xy, de ecuaciones paramétricas x = 3 cos t; y = 3 sen t; z = ; t 2 Ejercicio 5 (1 punto) Obtener la solución general de la ecuación diferencial y 2y y + 2y = 2e x - Duración del Examen 2,3 horas.

19 CONTROL (a) Calcular el polinomio de Maclaurin, centrado en a =, y de grado 2, de la función f(x) = cos 4 x (b) Calcular de forma exacta la integral Z = cos 4 xdx Nota Recordar que cos cos 2x x = 2 (c) Calcular la integral anterior de forma aproximada, usando el polinomio obtenido en (a). Comentar los resultados. Calcular la integral Z 1 ln x x 2 dx Obtener la solución general de la ecuación diferencial y y 4y 6y = cos x + sen x - Duración del Examen 1 hora.

20 Dada la función ANÁLII REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA CONTROL < x 3 + 2y 3 f(x; y) = x 2 + y 2 si (x; y) 6= (; ) + xy si (x; y) = (; ) (a) Estudiar su continuidad en el (; ). (b) Calcular sus derivadas parciales f x y f y en el (; ). (c) Puede ser diferenciable en el (; )? En caso a rmativo, cuánto valdría dicha diferencial? Calcular la integral triple ZZZ I = x 2 dxdydz siendo el cuerpo limitado en el primer octante por las super cies x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 9 Calcular el área de la parte del paraboloide z = 5 (x 2 + y 2 ) que queda por encima del plano z = 1 - Duración del Examen 1 hora.

21 EXAMEN FEBRERO 29 (a) Un cultivador de naranjas de Valencia estima que, si planta 6 naranjos, obtendrá una cosecha media de 4 naranjas por árbol. Este número bajará 4 unidades por cada árbol más que se plante en el mismo terreno. Hallar el número de árboles que hace máxima la cosecha. (b) Hallar el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias e investigar la convergencia en los extremos de dicho intervalo 1X x n n2 n (a) Calcular la siguiente integral Z 2 n=1 cos x p dx 1 sen x (b) Obtener la solución general de la ecuación diferencial Hallar los extremos relativos de la función (x 2 + y 2 )dx 2xydy = f(x; y) = x 4 + y 4 + 6x 2 y 2 + x 3 Hallar la masa de la lámina de densidad (x; y) = x 2 que ocupa la región D limitada por la parábola y = 2 x 2 y la recta y = x, sabiendo que dicha masa viene dada por la fórmula ZZ m = (x; y)dxdy D Ejercicio 5 Una super cie helicoidal se de ne mediante la parametrización T (u; v) = (u cos v; u sen v; v) con v 2, u 1. Calcular la siguiente integral ZZ xd - Duración del Examen 2.3 horas.

22 EXAMEN JUNIO 29 a) Calcular de forma exacta la integral Z 1 ln(1 + x 2 )dx b) Calcularla de forma aproximada, utilizando para ello el polinomio de Maclaurin de grado 2 de la función f(x) = ln(1 + x 2 ) Calcular, por el método de los Multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de la función f(x; y) = p x 2 + y 2 con la condición y = 2x + 5 Obtener la solución general de la ecuación diferencial y 2x ln y + 1 dx + ln x x x x 2 y + 1 dy = y Calcular la integral doble Z Z siendo D R 2 el dominio limitado por las curvas ( y = x D y p x 2 + y 2 dxdy (x 1 2 )2 + y 2 = 1 4 Nota De los dos posibles dominios debe tomarse el más pequeño. Ejercicio 5 Calcular la integral de super cie siendo ZZ!! I = F d! F = ( x; y; ) y siendo la super cie del cono p z = 3 x2 + y 2 que queda por encima del plano z = 1, orientada con la normal interior. - Duración del Examen 2.3 horas.

23 ea f(x) la función ANÁLII REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA EXAMEN EPTIEMBRE 29 f(x) = xe x (a) Calcular su derivada enésima f (n) (x). (b) Calcular su polinomio de MacLaurin en a =. (c) Calcular de forma aproximada f(1) = e con el polinomio de grado n = 3 Acotar el Error. Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el (; ) de la función < xy 4 f(x; y) = x 4 + y si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) Calcular la solución general de la ecuación diferencial y y + 16y = (1 x)e 4x ea R 3 la región del 1 er octante limitada por z = >< y = x y = p 3x > x 2 + y 2 + z 2 = 1 Calcular ea la parte del plano intersecada por la super cie cilíndrica Calcular - Duración del Examen 2.3 horas. ZZZ x dxdydz Ejercicio 5 x + y + z = 1 x 2 + y 2 = 1 ZZ xy d

24 (a) Calcular el límite ANÁLII REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA CONTROL ln(1 + x 2 ) lim x! x 3 (b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, calcular la integral Z 1 ln(1 + x 2 ) x 3 dx (a) Obtener el desarrollo de MacLaurin (a = ) de grado n de la función. f(x) = sen x (b) Acotar el error que se comete al sustituir f(x) por el polinomio de grado P 3 (x) cuando se trabaja en x = 1 y en x = 1. Comentar los resultados. (c) Utilizando el polinomio de grado P 3 (x) para el sen x; calcular de forma aproximada la integral Z 1 sen x x dx Nota La primitiva anterior no puede expresarse como combinación de funciones elementales. (a) Obtener la solución general de la ecuación diferencial (1 + x)y + y = (1 + x)e 2x (b) Obtener la solución general de la ecuación diferencial y + 3y + 2y = x Duración del Examen 1 hora y 2 minutos.

25 Dada la función ANÁLII REAL Y COMPLEJO. INGENIERÍA TELEMÁTICA < f(x; y) = CONTROL 2 (29-21) 2x 3 + 3y 3 x 2 + y 2 + x 2 y 2 si (x; y) 6= (; ) si (x; y) = (; ) (a) Estudiar su continuidad en el (; ). (b) Calcular sus derivadas parciales f x y f y en el (; ). (c) Puede ser diferenciable en el (; )? En caso a rmativo, cuánto valdría dicha diferencial? Calcular, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, los extremos condicionados de la función f(x; y) = 1 x y con la condición (x; y) = x 2 + y 2 2 = Calcular la integral triple ZZZ I = siendo el cuerpo limitado por las super cies 1 p x2 + y 2 dxdydz z = p x2 + y 2 z = 4 p x2 + y 2 Calcular el área de la parte de la super cie z = 5 (x 2 + y 2 ) que queda por encima del plano z = 1 - Duración del Examen 1 hora y 3 minutos.

26 EXAMEN FEBRERO 21 (a) ea la función f(x) = Estudiar su continuidad y derivabilidad en x = 1 (b) Calcular la integral ln x si x 1 ln x si < x < 1 Z 1 Obtener la solución general de la ecuación diferencial ( ln x)dx y 3y + 2y = 6e x Hallar los extremos relativos de la función f(x; y) = x 4 + y 4 + 6x 2 y 2 + x 3 Calcular la integral Z Z Z y 2 dxdydz siendo R 3 la región limitada por las super cies 1 = x 2 + y 2 z = 2 (x 2 + y 2 ) z = (x 2 + y 2 ) 1 Ejercicio 5 Calcular la integral de super cie Z Z! F! d siendo! F = (x; y; z) y siendo la porción de la super cie z = 2 (x 2 + y 2 ) que queda por encima del plano z =, y tomando la cara interior. - Duración del Examen 2 horas.

27 Justi car porqué es impropia y calcular la integral Z 2 EXAMEN JUNIO 21 1 dx x p ln x Estudiar la continuidad y las derivadas parciales en el (; ) de la función < x 2 f(x; y) = x si (x; y) 6= (; ) + y2 1 si (x; y) = (; ) Determinar los extremos relativos de la función f(x; y) = (x 3 y) 2 x Consideremos el sólido, de densidad constante = 1, limitado por el cilindro circular recto x 2 + y 2 = 1; 1 z 1 Calcular el momento de inercia de dicho sólido respecto al eje z sabiendo que viene dado por ZZZ I z = (x 2 + y 2 )dxdydz Dada la super cie de nida por siendo D la región x 1; y 1, calcular Obtener la solución general de la ecuación diferencial Obtener la solución general de la ecuación diferencial Ejercicio 5 z = x 2 + p 3y para (x; y) 2 D ZZ xd Ejercicio 6 2(y 4x 2 )dx + xdy = Ejercicio 7 y 3y + 2y = 6e x - Duración del Examen 2 horas. - Todos los ejercicios tienen la misma puntuación (1.5 puntos) excepto el primero (1 punto).