A) Hallar el volumen del sólido formado cuando la región del primer cuadrante limitada por Z 4. 1 x 4 1 dx. Z b. p (x) h (x) dx.
|
|
- María del Pilar Gutiérrez Lara
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA I.T.I. Especialidad en Electricidad. Curso 4-5. Soluciones al Segundo Parcial de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. PROBLEMA.- A) Hallar el volumen del sólido formado cuando la región del primer cuadrante limitada por gira alrededor de la recta x =. y = x, y =8 x, x = B) a) Usar la regla de los trapecios con n =4para estimar el valor de la integral b) Calcular directamente la integral. Z 4 x 4 dx Solución: A) Tenemos que calcular el volumen de un sólido de revolución. Podemos aplicar el método de discos ó el método de capas. Puesto que el eje de giro es vertical y las curvas vienen expresadas de forma explícita, optaremos por el método de capas V = Z b a p (x) h (x) dx Para delimitar el intervalo de integración, calculamos la intersección de las curvas y = x, y =8 x, obteniendo que la abscisa del punto de corte en el primer cuadrante es x =. 8 h(x) p(x) La distancia de cada capa al eje de giro viene dada por p (x) =x + ylaalturadelacapapor h (x) =(8 x ) x. Por tanto V = Z b a p (x) h (x) dx = Z (x +) 8 x dx =.
2 B) a)sea f (x) =. Hacemos n =4yaplicamos el método de los trapecios para estimar el valor x 4 de la integral. En este caso x = b a = n 4 =, y nuestra partición del intervalo [, ] resulta: =x < 5 = x < =x < 7 = x < 4=x 4. Por tanto, Z 4 x 4 dx = b a n [f (x )+f (x )+f (x )+f (x )+f (x 4 )] = 4 µ µ 5 7 f () + f +f () + f + f (4) 4 = = = [ ] 4 =.48 b) Calculamos ahora la integral directamente. Buscaremos una primitiva de la función ello utilizamos la descomposición en fracciones simples. x 4 = (x ) (x +) = A x + B x + + Cx + D x + =A (x +) x + + B x + (x ) + (Cx + D)(x +)(x ) x 4. Para Dándole diferentes valores a la x, tenemos x = = 4B = x == 4A = x == A B D = x == 5A +5B +6C +D = = A =/4 B = /4 C = D = / Luego Z 4 x 4 dx = Z 4 /4 x + /4 x + + / x + dx = 4 ln x 4 ln x + arctgx 4 = ln 4 ln 5 arctg4+ arctg =.76
3 PROBLEMA.- A) Sea f (x, y) =e ax+y + bsen(x + y ). i) Determinar µr los valores de los parámetros a y b sabiendo que (, ) es un punto crítico de f yquef 4, =. ii) Para los valores de a =y b = Qué clase de punto crítico es el (, )? B) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z =arctg y ³ x en el punto P,,. C) Hallarlalongituddelacurvasuaveatrozos C de la figura cuyas ecuaciones paramétricas son ½ x =cos t C : y =sen t [, ] t Solución: A) i) Puesto que el (, ) debe ser un punto crítico de la función f, las derivadas parciales primeras debendeanularseenestepunto.asípues, == ae ax+y +xb cos (x + y ) == a = x (,) (,) == ye ax+y +yb cos (x + y ) == = y (,) (,) Luego la función es de la forma f (x, y) =e y + µr bsen(x + y ). Si imponemos ahora la condición de que f 4, =, tenemos que µr ³ + f 4, = e + bsen = +b 4 = b = Luego f (x, y) =e y + sen x + y ii) Para decidir qué tipo de punto crítico es el (, ), aplicamos el criterio de las derivadas segundas.tenemos que f x = [cos(x + y ) x sen (x + y )] f x y = 4 xysen (x + y ) f y =(+4y ) e y 4 y sen (x + y )+ cos(x + y )
4 y, por tanto, H (, ) = µ + Como se verifica que det (H (, )) > y f >, el criterio de las derivadas parciales segundas nos x permite afirmar que (, ) es un mínimo relativo de f. B) La ecuación del plano tangente a una superficie z = f (x, y) en un punto (x,y,f(x,y )) viene dada por z = f (x,y )+ x (x,y )(x x )+ y (x,y )(y y ) En nuestro caso, como f (x, y) =arctg y, tenemos que x x = + y y x = y x + y, x y = + y x x = x x + y, = x (,) 4 = y (,) 4 Portanto,elplanotangentees z = 4 (x ) + ³ y x y +z 4 = 4 C) Teniendo en cuenta la simetría de la curva y aplicando la expresión integral para el cálculo de la longitud de la curva en ecuaciones paramétricas, se tiene que Z q Z l = 4 x (t) + y (t) dt =4 6 cos4 tsen t +6sen 4 t cos tdt = 4 Z 6 p cos tsen t (cos t + sen t)dt =4 Z 6costsentdt =sen t = Nota: Observar que no se puede calcular la longitud de la curva integrando en un intervalo mayor porquelacurvanoessuave. PROBLEMA.- Z A) Determinar C F dr siendo y C la curva indicada en la figura F (x, y) = x + xy i +x yj Comprobar que se verifica el teorema de Green.
5 B) Encontrar si existe una función potencial del campo vectorial F (x, y, z) =(xyz + senx) i+x zj+x yk Z ycalcular F dr siendo C una curva suave a trozos que va desde el punto (,, ) hasta el ³ C punto,,. Solución: A) El campo vectorial viene dado por F (x, y) =(x + xy ) i +x yj. Como la curva C es suave a trozos, consideramos los tres trozos de curva, es decir, las tres curvas C,C,C y escribimos unas ecuaciones paramétricas para cada una de ellas: C : ½ ½ x = t x = t y = t t [, ] C : y = t [, ] C : ½ x = y = t t [, ] Se tiene que Z F dr = C = Z Z Z F dr + F dr + F dr C C C Z t + t 5, t 4 (, t) dt + Z t, t (, ) dt + Z (, ) (, ) dt = Z t +5t 5 dt + Z tdt += t + 5t6 + t 6 =. Puesto que la región encerrada por la curva C es una región simplemente conexa con frontera suave a trozos y orientada en sentido antihorario, tiene que cumplirse el teorema de Green y la integral calculada anteriormente debe ser igual a RR ³ N M da. Lo comprobamos: R x y Z Z µ N R x M Z Z Z da = (4xy xy) dydx = xy Z dx = y x x x x 5 dx =. B) Para tener asegurada la existencia de una función potencial para el campo vectorial F (x, y, z) = (xyz + senx) i+x zj+x yk, comprobamos que se trata de un campo conservativo. Para ello, calculamos las derivadas parciales siguientes M y =xz M z =xy N z = x N x =xz P x =xy P y = x
6 y, puesto que M y = N x, M z = P x, N z = P, el campo vectorial es conservativo. Buscamos y ahora una función potencial f (x, y, z), esto es, una función verificando que x =xyz + senx () y = x z () z = x y () Integrando, por ejemplo, en la última ecuación con respecto a z, tenemos que f (x, y, z) =x yz + g (x, y) Si derivamos esta expresión con respecto a y, tenemos que y = x z + g que debe ser igual a y (), con lo cual g y =ydeaquíg (x, y) =h (x). Así f (x, y, z) =x yz + h (x). Finalmente, derivando con respecto x e igualando con (), tenemos que x =xyz + h (x) =xyz+senx h (x) =senx h (x) = cos x + C. Luego una función potencial viene dada por f (x, y, z) =x yz cos x Para calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z), al ser éste conservativo, podemos aplicar un de los teoremas fundamentales para las integrales de línea y entonces Z ³ F dr = f,, f (,, ) = 4 +. PROBLEMA 4.- C A) Hallar el volumen limitado por el paraboloide x +4y = z, el plano z =yloscilindros parabólicos y = x, x = y. B) Sea Q el sólido interior al cilindro x +y =4, exterioralasuperficie cónica z = p x +y, y por encima del plano z =. Se pide: a) Expresar en coordenadas esféricas el volumen del sólido. b) Expresar en coordenadas cilíndricas el volumen del sólido. c) Calcular el volumen del sólido. C) Combinar, cambiando el orden de integración, la suma de las dos integrales dobles en una sola, y dibujar la región de integración Z Z y y/ f (x, y) dxdy + Z 4 Z y/ f (x, y) dxdy
7 Solución: A)El sólido limitado por el paraboloide x +4y = z, el plano z =ylos cilindros parabólicos y = x, x = y eselqueseindicaenlafigura. y su volumen viene dado por Z Z V = R x +4y da siendo R la región del plano comprendida entre las curvas y = x, x = y, es decir, R = {(x, y) R : x, x y x}. Así, Z Z V = x +4y Z Z x da = x +4y dydx R x Z x Z Ã! = x y +4 y dx = x x +4 ( x) x 4 4 x6 dx x = 7 x7/ + 4x 5/ 5 5 x5 4 x 7 = 7 7. B) El sólido Q está limitado por las superficies x + y =4,z=y z = p x +y a) Si expresamos las superficies en coordenadas esféricas, se tiene que: La ecuación del cono en coordenadas esféricas es φ = arctg = 6 La ecuación del cilindro en coordenadas esféricas viene dada por: x + y =4= ρ sen φ cos θ + ρ sen φsen θ =4= ρ = sen φ
8 ½ Por tanto, el sólido se describe como Q = (ρ, θ, φ) : θ, y el volumen del sólido viene dado por la expresión 6 φ, ρ ¾ sen φ V = Z 6 Z Z sen φ ρ sen φdρdθdφ. b) En coordenadas cilíndricas, Q = (r, θ,z): θ, r, z r ª, yasí,el volumen viene dado por V = Z Z Z r rdzdrdθ. c) Calculamos el volumen utilizando las coordenadas cilíndricas ya que es más sencilla la integral iterada que se obtiene. Así V = Z Z Z r rdzdrdθ. = Z Z Z r drdθ = 6 8dθ =. C) Teniendo en cuenta la unión de las dos regiones que se describen en las dos integrales iteradas, tenemos que, cambiando el orden de integración, Z Z y f (x, y) dxdy + Z 4 Z f (x, y) dxdy = Z Z x y/ y/ x f (x, y) dydx.
1. INTEGRALES MÚLTIPLES
1. INTEGALES MÚLTIPLES 1. Calcular las siguientes integrales iteradas: 1. x x 7 y dy dx dx 1. x x y y dx dy 1 1 7. (1 + xy) dx dy 1 1 π/. x sen y dy dx 5. (x + y) dx dy 6/ 1 6. (x + y) 8 dx dy 616 5 1
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesCÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 19 de Junio de 2004 Primera parte
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 9 de Junio de 4 Primera parte Ejercicio. Un depósito subterráneo de gasolina tiene forma de cilindro elíptico con semieje orizontal a
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Examen de febrero EJECICIO ( h. 3 min.) 13 de junio de 9 1. En E 3 se considera el plano de ecuación x y z = 5. Se pide: a) Ecuaciones de la proyección ortogonal sobre dicho plano.
Más detallesIntegrales de lı nea y de superficie
EJERIIO DE A LULO II PARA GRADO DE INGENIERI A Elaborados por Domingo Pestana y Jose Manuel Rodrı guez, con Arturo de Pablo y Elena Romera 4 4.1 Integrales de lı nea y de superficie Integrales sobre curvas
Más detallesIntegración múltiple: integrales triples
Problemas propuestos con solución Integración múltiple: integrales triples ISABEL MARRERO epartamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Integrales iteradas 1. Teorema
Más detallesContenido 1. Integrales Dobles 2. Integrales Triples
Integración Contenido 1. Integrales Dobles 2 1.1. Integrales iteradas............................. 2 1.2. Regiones en R 2.............................. 3 1.3. Volumen..................................
Más detallesTema 4: Integración de funciones de varias variables
Departamento de Matemáticas. Universidad de Jaén. Análisis Matemático II. Curso 29-21. Tema 4: Integración de funciones de varias variables 1. Evaluar las siguientes integrales iteradas e) f ) g) 1 2 1
Más detalles2xy 3x 2 y 2 y(0) = 1
ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica Soluciones al Primer Parcial de Ampliación de Matemáticas. Curso
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS II
MÉTODOS MATEMÁTICOS II (Licenciatura de Física. Curso 2007-2008) Boletín de problemas a evaluar correspondientes a los Temas I y II Fecha de entrega: Viernes, 23 de Noviembre de 2007 1. Calcula los siguientes
Más detallesCálculo Integral Agosto 2015
Cálculo Integral Agosto 5 Laboratorio # Antiderivadas I.- Halle las siguientes integrales indefinidas. ) (x 5 8x + 3x 3 ) ) (y 3 6y 6 5 + 8) dy 3) (y 3 + 5)(y + 3) dy 4) (t 3 + 3t + ) (t 3 + 5) dt 5) (3y
Más detallesEjercicios típicos del segundo parcial
Ejercicios típicos del segundo parcial El segundo examen parcial consiste en tres ejercicios prácticos y dos teóricos, aunque esta frontera es muy difusa. Por ejemplo, el primer ejercicio de esta serie,
Más detallesESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO: 017 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO MATERIA: Cálculo de una variable PROFESOR: EVALUACIÓN:
Más detallesCALCULO VECTORIAL GUÍA DE EJERCICIOS N 1 INTEGRALES DE LINEA Y SUS APLICACIONES
GUÍA DE EJERCICIOS N 1 INTEGRALES DE LINEA Y SUS APLICACIONES 1.- En cada uno de los siguientes casos calcular la integral de línea dada a) + +, donde C es el segmento de recta que une el punto O(0,0)
Más detallesIntegral Doble e Integral Triple
www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate Práctica 6 Integral Doble e Integral Triple Cambio de variable con coordenadas polares y coordenadas ciĺındricas. Cálculo Superior Instituto Tecnológico de Costa ica Escuela
Más detallesUnidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones 3 SOLUCIONES 1. La suma superior es: La suma inferior es:. La suma superior es: s ( P) = ( 1) 3 + (3 ) 10 = 3 + 10 = 13 La suma inferior es: s ( P) = ( 1) 1+
Más detalles1 Terminar los ejercicios de la práctica realizada el día de hoy
Este documento contiene las actividades no presenciales propuestas al terminar la clase del día que se indica. e sobreentiende que también se debe realizar el estudio de lo explicado en clase aunque no
Más detallesIntegral definida. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Integral definida Integral definida Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x =
Más detallesAMPLIACIÓN DE CÁLCULO. Curso 2008/9. Hoja 1: Integración en varias variables.
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. Curso 2008/9. Hoja 1: Integración en varias variables. 1. Calcular para =[0, 1] [0, 3] las integrales (a) xydxdy. (b) xe y dxdy. (c) y 2 sin xdxdy. 2. Calcularlasintegralesdoblessiguientesenlosrecintosqueseindican:
Más detallesProblemas resueltos del Boletín 4
Boletines de problemas de Matemáticas II Problemas resueltos del Boletín 4 Problema 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: { y = 1 z, z = 1 } y Solución: Lo transformamos como sigue:
Más detallesANALISIS II 12/2/08 COLOQUIO TEMA 1
ANALISIS II //08 COLOQUIO TEMA Sea f : R R un campo vectorial C y C la curva parametrizada por: γ(t) = (cost, 0, sent) con t ɛ [0, π] Sabiendo que C f ds = 6 y que rot( f( ) = (z, ), calcular la integral
Más detallesSoluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación
Soluciones de los ejercicios del examen de del 29 de junio de 27 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Ejercicio a Justifica que la ecuación x 2 = x sen x+ cos x tiene exactamente dos soluciones reales.
Más detalles3 Integración en IR n
a t e a POBLEMAS DE CÁLCULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación CUSO 29 21 3 Integración en I n 3.1 Integral múltiple. Problema 3.1 Calcula f en los siguientes casos: Q i) f(x, y) =
Más detallesAnálisis Matemático 2
Análisis Matemático Resolución del coloquio de fecha 4/07/18 tema I con hipervínculos a videos on-line Autor: Martín Maulhardt Revisión: Fernando Acero y Ricardo Sirne Análisis Matemático II y II A Facultad
Más detallesANALISIS MATEMATICO II (Ciencias- 2011) Trabajo Práctico 8
ANALISIS MATEMATIO II (iencias- 2011) Integrales sobre curvas (o de línea) Trabajo Práctico 8 1. Evaluar las siguientes integrales curvilíneas γ f ds. (a) f(x, y, z) = x + y + z ; r(t) = (sen t, cos t,
Más detallesEncuentre para el alambre: a. Las coordenadas de su centro de masa. (3 puntos) b. Su momento de inercia respecto al eje x.
CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 Encuentre el área de la cerca indicada en la figura, que tiene por base la curva en coordenadas polares de ecuación r = + cos( θ ), con θ y se encuentra
Más detallesTema 3. Integrales dobles y triples y sus aplicaciones Septiembre {(x,y)/0 x 2, 0 y } x. I = f(x, y)dydx. 2 4 x. 2 4 x.
CÁLCULO III (05) Tema. Integrales dobles y triples y sus aplicaciones eptiembre 06. Dibuje la región de integración y calcule las integrales dobles siguientes: d. e. f. g. yda, donde es la región limitada
Más detallesProblemas de Análisis Vectorial y Estadístico
Relación 1. Funciones Γ y β 1. Función Gamma Definimos la función gamma Γ(p) como: Demostrar que: Γ(p) = t (p 1) e t dt para p> a) Γ(1) = 1 b) Integrando por partes, ver que Γ(p) = (p 1)Γ(p 1) para p>1
Más detallesESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL. 1. (5 puntos) Bosquejar la región en el primer cuadrante que está
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS RÚBRICA DE LA SEGUNDA EVALUACIÓN DE CÁLCULO DE UNA VARIABLE. (5 puntos) Bosquejar la región
Más detalles7. Cambio de variables en integrales triples.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 011 1. Lección. Integrales múltiples. 7. Cambio de variables en integrales triples. El teorema del cambio de variables para integrales triples es análogo al de integrales
Más detallesTema 2. Ejercicios propuestos
Tema 2. Ejercicios propuestos 1.- - Calcular 2.- - Calcular 3.- - Sea = x2 y2 dx dy, siendo = {(x, y) 2 : 1 x y 2, x y 4x}. (x2 +y2 )dx dy, donde = (x, y) 2 : x2 + y2 2y, x2 + y2 1, x 0. (x, y) 2 1 x 2
Más detallesCÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 26 de Junio de 2008 Primera parte. =1, a,b > 0.
ÁLULO Primer curso de ngeniero de Telecomunicación Examen Final. 6 de Junio de 8 Primera parte Ejercicio. onsideremos los rectángulos de lados paralelos a los ejes que pueden inscribirse en la elipse x
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias 2018 Práctica 9 Campos conservativos - Teorema de Green
ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 018 Práctica 9 ampos conservativos - Teorema de Green A. ampos conservativos 1. Mostrar que F x, y) = y cos x) i + x sen y) j no es un campo vectorial gradiente..
Más detallesSegundo Examen Parcial Tema A Cálculo Vectorial Noviembre 5 de x = r cos θ, y = r sen θ, z = θ,
egundo Examen Parcial Tema A Cálculo Vectorial Noviembre 5 de 216 Este es un examen individual, no se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro medio electrónico. ecuerde apagar
Más detallesÁrea entre curvas. Ejercicios resueltos. 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x.
Área entre curvas Ejercicios resueltos 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites
Más detallesDe x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
Área entre curvas El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1. Calcular el área
Más detallesIntegración sobre curvas
Problemas propuestos con solución Integración sobre curvas ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Integral de línea de campos escalares 1
Más detallesSERIE # 4 CÁLCULO VECTORIAL
SERIE # 4 CÁLCULO VECTORIAL Página 1 1) Calcular 1 x y dy dx. 0 0 1 ) Evaluar la integral doble circunferencia x y 9. x 9 x da R, donde R es la región circular limitada por la 648 15 x y ) Calcular el
Más detallesVolumen de Revolución Ejemplo. Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje. Por ejemplo, si la función: f(x) x el eje 0x:
Volumen de Revolución Ejemplo Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje. Por ejemplo, si la función: f(x) x 2 1 gira sobre el eje 0x: Sólidos de Revolución conocidos ALGUNAS APLICACIONES
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detalles1.6 Ejercicios resueltos
Apuntes de Ampliación de Matemáticas 1.6 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 En cada uno de los siguientes casos a A {(x,y R : 1 < x < 1, 1 < y < 1}. b A {(x,y R : 1 < x + y < 4}. c A {(x,y R : y > 0}.
Más detallesSoluciones de los ejercicios del segundo examen parcial
Matemáticas III GIC, curso 5 6 Soluciones de los ejercicios del segundo examen parcial EJERCICIO. Considera la integral doble π π ibuja la región del plano XY en la que se está integrando. Usa el teorema
Más detalles6. El teorema de la divergencia.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. 6. El teorema de la divergencia. Ya vimos una versión del teorema de Green en el plano que expresa la igualdad entre la integral doble
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES
GUÍA DE EJERIIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES 1. Escriba la expresión que permite calcular por integrales dobles: a. El área de una región plana R. b. El volumen de un sólido V, de altura z = f(x,y). c. La masa
Más detallesGu ıa Departamento Matem aticas U.V.
Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas Guía de Cálculo en Varias Variables Integración. Sean = [,] [,] {(x,y) : (x,y) < } y f : continua. a) Escriba lafuncióncaracterísticaχ demedianteunafunciónporparte,análogamente
Más detallesCapítulo 3: Cálculo integral
(Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Contenidos La integral indefinida Propiedades básicas de la integral indefinida Métodos de integración: por
Más detallesAnálisis II Análisis matemático II Matemática 3.
Análisis II Análisis matemático II Matemática 3. er. cuatrimestre de 8 Práctica 4 - Teoremas de Stokes y de Gauss. Campos conservativos. Aplicaciones. Ejercicio. Verificar el teorema de Stokes para el
Más detalles1 Funciones de Varias Variables
EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. senx. sen PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas: E[x]dx
INTEGRAL DEFINIDA. PROBLEMAS. º-Calcular las siguientes integrales definidas: π sen. ln(+ )d. d. + sen - cos -π +. d.5 -) - ( - d.6 E[]d -.7 E[] d.8 cos d - º-Calcular el área limitada por las gráficas
Más detallesSERIE SUPERFICIES. 1.- Determinar la ecuación cartesiana del cilindro que contiene a la curva de ecuaciones:
SERIE SUPERFICIES 1.- Determinar la ecuación cartesiana del cilindro que contiene a la curva de ecuaciones: 4x C z 0 y que se genera por rectas perpendiculares al plano: x + y + 3z + = 0.-Sea la superficie
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeniería Técnica Industrial. Especialidades Electricidad, Electrónica y Mecánica. EUP Sevilla Curso
FUNDAMENTOS MATEMÁTIOS DE LA INGENIERÍA Ingeniería Técnica Industrial. Esecialidades Electricidad, Electrónica y Mecánica. EUP Sevilla urso 8-9 Bloque III: álculo diferencial e integral de funciones de
Más detallesUniversidad Autónoma del Estado de México Unidad Académica Profesional Nezahualcóyotl Lic. en Ingeniería en Sistemas Inteligentes.
Universidad Autónoma del Estado de México Unidad Académica Profesional Nezahualcóyotl Lic. en Ingeniería en Sistemas Inteligentes. PROBLEMARIO Unidad de aprendizaje: CÁLCULO III Autor: Dr. Israel Gutiérrez
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
13 LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES REFLEXIONA Y RESUELVE Dos trenes Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Más detallesAplicaciones físicas
Problemas propuestos con solución Aplicaciones físicas ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ulles Índice 1 Integral doble: valor medio 1 2 Integral doble:
Más detallessea a lo largo de la curva solución de la ecuación diferencial xy, = 5x
1. Hallar κ de manera que el flujo saliente del campo f ( x, = (x + y + z, 6y a través de la frontera del cuerpo x + y + z 16 x + y κ, 0 < k < 4 f : R R un campo vectorial definido por:. Sea γ ( t ) =
Más detallesESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad
ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial, Especialidad de Electricidad Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Diciembre de 5. Primera parte Tiempo: horas. Se recuerda
Más detallesIntegración múltiple: integrales dobles
Problemas propuestos con solución Integración múltiple: integrales dobles ISABEL MAEO epartamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice. Integrales iteradas 2. Teorema
Más detallesEJERCICIOS DE CA LCULO II PARA GRADOS DE INGENIERI A Elaborados por Domingo Pestana y Jose Manuel Rodrı guez, con Arturo de Pablo y Elena Romera
EJECICIOS E CA LCULO II PAA GAOS E INGENIEI A Elaborados por omingo Pestana y Jose Manuel odrı guez, con Arturo de Pablo y Elena omera 3 3. Integracio n en n Integral mu ltiple. f en los siguientes casos:
Más detalles6. Integrales triples.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. 6. Integrales triples. Integral triple en un prisma. El proceso para definir la integral triple f ( xyzdv,, ), de una función continua
Más detallesS O L U C I Ó N y R Ú B R I C A
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO 08 PERÍODO PRIMER TÉRMINO MATERIA Cálculo de una variable PROFESORES EVALUACIÓN SEGUNDA
Más detallesCÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen del 14 de Septiembre de 2000 Primera parte
ÁLULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen del de Septiembre de Primera parte Ejercicio. Un flan tiene forma de tronco de paraboloide de revolución, siendo r y r losradiosdesusbasesyh su
Más detallesPEP 3. Responda 4 de los siguientes 9 problemas, escogiendo al menos uno de cada sección.
Universidad de Santiago de Chile Cálculo odrigo Vargas do semestre 1 PEP Nombre: Nota: esponda de los siguientes 9 problemas, escogiendo al menos uno de cada sección. Sección 1. 1. Use coordenadas esféricas
Más detallesPROBLEMA 1 *( ) + SOLUCIÓN: Sea la superficie de la parte esférica superior, parametrizada con coordenadas cilíndricas de la siguiente manera:
PROBLEMA 1 A una esfera maciza de radio unidad se le hace una perforación cilíndrica siguiendo un eje diametral de la esfera. Suponiendo que el cilindro es circular de radio, con y que el eje que se usa
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación.
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES ) 3-1. Calcular, para las siguientes funciones. a) fx, y) x cos x sen y b) fx, y) e xy c) fx, y) x + y ) lnx + y )
Más detalles1 a 0 a 1 1 F 32 (2) /2
ESCUELA UNIVESITAIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electricidad. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Curso 00-006. Soluciones correspondientes al examen de la
Más detallesGuía Semanas 13 y RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática. Triedro de vectores y factores escalares. Supongamos que r.
1. RESUMEN Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08-1 Ingeniería Matemática Guía Semanas 13 y 14 Triedro de vectores y factores
Más detallesIntegrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2
Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las
Más detallesUnidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones PÁGINA 363 SOLUCIONES 1. La solución: Lo que nos pide el problema es hallar el área del recinto rayado. Este recinto es un trapecio y su area es:. Queda: x
Más detallesMATE1207 Cálculo Vectorial Taller 1 Preparación P2 Repaso semana 12
Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE127 Cálculo Vectorial Taller 1 Preparación P2 Repaso semana 12 1. Encuentre, si existen, los máximos locales, mínimos locales y puntos de silla
Más detallesFACULTAD DE CIENCIAS DEL MAR. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS II. Convocatoria Extraordinaria de Diciembre de 2002.
FAULTAD DE IENIAS DEL MAR. FUNDAMENTOS MATEMÁTIOS II. onvocatoria Extraordinaria de Diciembre de. xydx x y dy a lo largo de la elipse.- alcular + ( ) contrario al de las agujas del reloj. x y + = recorrida
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesSuperficies. Primera Forma Fundamental
Tema Superficies. Primera Forma Fundamental Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 005 006 Tema. Superficies. Primera Forma Fundamental 1. Curvas sobre superficies
Más detallesAnálisis II - Análisis matemático II - Matemática 3 2do. cuatrimestre de 2013
Análisis II - Análisis matemático II - Matemática 3 do. cuatrimestre de 3 Práctica 4 - Teoremas de Stokes y de Gauss. Campos conservativos. Aplicaciones.. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio
Más detallesAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
CAPÍTULO XI. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA SECCIONES A. Áreas de figuras planas. B. Cálculo de volúmenes. C. Longitud de curvas planas. D. Ejercicios propuestos. 37 A. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. En
Más detalles+ ax 2 + bx) x. ( 2 sen(x) 0 (a + b sen(x) sen(2x))2 dx sea mínima.
Facultad de Ingeniería - IMERL Cálculo - Curso. Práctico 8. Integrales paramétricas e integrales iteradas dobles y triples. Integrales múltiples. Cambio de variables, áreas, volúmenes, sumas de Riemann
Más detallesCálculo Integral INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. Halla una primitiva de: e) f) g) h) i) j) + 7 +. Halla el área comprendida entre la función y = ( ) ( ), el eje X y las rectas = 0, =. Sol: 98 u..
Más detallesLicenciatura en Matemáticas Soluciones del examen final de Cálculo de septiembre de sena + 4sen(a/2) + 9sen(a/3) + + n 2 sen(a/n) n 2.
Licenciatura en Matemáticas Soluciones del examen final de de septiembre de 00 Ejercicio 1. (a) Calcular: lím n sena + 4sen(a/) + 9sen(a/3) + + n sen(a/n) n (a + 1)(a + ) (a + n) (b) Estudiar la convergencia
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesAMPLIACIÓN DE CÁLCULO
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Problemas propuestos Departamento de Matemáticas del Área Industrial Índice general Programa III Tema 1. Enunciados 1 Tema 2. Enunciados 6 Tema 3. Enunciados 12 Tema 4. Enunciados
Más detallesFunciones reales de varias variables
PROBLEMAS DE CÁLCULO II Curso 2-22 2 Funciones reales de varias variables. Dibuja las curvas de niveles,,..., 5 y la representación gráfica de las siguientes funciones a) f(x, y) = 5 x y b) f(x, y) = x
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) f(x) x El denominador de f(x) nunca se anula; por
Más detallesClase 14: Fórmula del Cambio de Variables
Clase 4: Fórmula del Cambio de Variables C.J. Vanegas 4 de junio de 8 Recordemos.. Método de sustitución en integrales de una variable: b f(g(t))g (t) dt g(b) a g(a) f(s) ds s g(t) ds g (t)dt t a s g(a)
Más detallesLa puntuación depende del modo de resolución.
Grupo B 16/17 Ampliación de Cálculo En todos los casos, se pide contestar razonadamente La puntuación depende del modo de resolución Ejercicio 1 (15 puntos por apartado) Una semiesfera sólida de densidad
Más detallesa n en las que n=1 s n = n + 1 Solución: a) Utilizando el criterios de D Alembert se obtiene que a n+1 n a n 3 > 1 n=1
EJERCICIO DE FUNDAMENTO MATEMÁTICO eries. Estudia el carácter de las series (a El término general es a n en las que (b la suma parcial n-sima es a n n n+ 3 n, n,, 3,... s n n, n,, 3,... n + olución: a
Más detallesINTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS. 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, 0 2.
INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, 0 2. 1 1 4, 0 1 a.- (, ) = 2 1 4, 1 2 2 1 < 3, 0 < 1 b.- (, ) = 1 1 < 3, 1 2 3 3 4,
Más detallesUnidad 10 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad Integrales definidas. Aplicaciones PÁGINA 5 SOLUCIONES. Las áreas quedan: A u A u A 5 u. El área del recinto viene dada por : ( ) ( ) Área d,5 u PÁGINA 9 SOLUCIONES. La solución queda: Directo:
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO - ndalucía OPCIÓN. Sea f : R R definida por: f ( a b c. a [7 puntos] Halla a b y c para
Más detallesPRÁCTICA COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS CURSO CÁLCULO II. Práctica 3 (21/02/2017) Coordenadas cilíndricas
PRÁCTICA COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS CURSO 016-017 CÁLCULO II Prácticas Matlab Práctica 3 (1/0/017) Objetivos o Estudiar los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. 3 o Definir regiones
Más detallesgradiente de una función? Para esos valores, calcule la función potencial.
CAMPOS CONSERVATIVOS. FUNCIÓN POTENCIAL 1. Sea F = 4xy 3x ( z (, 2x (, 2x, z. Demuestre que Fdl trayectoria C. es independiente de la 2. Dado el campo vectorial F = 3x ( + 2y y ( e 3, 2x 2ye 3. Es posible
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES
ANÁLISIS DE FUNCIONES.- Calcula f() de manera que f () = Ln( + ) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). Universidad de Andalucía Se trata de resolver la integral que hemos de hacerlo
Más detallesCOORDENADAS POLARES O CILÍNDRICAS
COORDENADAS POLARES O CILÍNDRICAS Para definir la posición de un punto en un plano (o en el espacio) podemos utilizar distintos tipos de coordenadas, siendo las más normales las coordenadas rectangulares
Más detallesUnidad 9 Integrales indefinidas
Unidad 9 Integrales indefinidas PÁGINA SOLUCIONES. La solución es: a) F ( ) + 8; F( ), 5 b) F() cos ; F( ) cos + c) F ( ) e + ; F( ) e d) F ( ) ln( + ) + 5; F( ) ln( + ). La solución en cada caso: a) F
Más detallesESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CÁLCULO II Misceláneas de problemas 2013
ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CÁLCULO II Misceláneas de problemas 2013 Tema: Aplicaciones de las Derivadas Parciales. 1. Demuestre que el plano tangente al cono z = a 2 x 2 + b 2 y 2 pasa por el origen.
Más detalles