AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Examen de febrero EJECICIO ( h. 3 min.) 13 de junio de 9 1. En E 3 se considera el plano de ecuación x y z = 5. Se pide: a) Ecuaciones de la proyección ortogonal sobre dicho plano. Tenemos dos posibilidades: Dado X(x,y,z) E 3, buscamos X (x,y,z ) E 3 tal que: i) X π : x y z = 5(1) ii) XX es normal a π XX x = x + λ = λ(1, 1, ) y = y λ z = z λ Sustituyendo en (1): λ + x (y λ) (z λ) = 5 λ = 5 x + y + z x 5/ Por tanto: y = 5/ x 1 5 y z 5/3 z Otro modo: Las ecuaciones son de la forma: x p 1 x p 1 y = p + T C y p z p 3 z p 3 donde P = (p 1,p,p 3 ) es un punto invariante por la proyección, podemos tomar cualquier punto del plano, por ejemplo P = (5,,); y T C es la matriz del endomorfismo asociado en la base canónica. Sabemos que la matriz de ese endomorfismo respecto de una base ortonormal formada por dos vectores directores del plano y un vector normal a él es: 1 T B = 1 Buscamos la base B. Conocemos un vector normal al plano: n = (1, 1, ), necesitamos dos vectores directores u y w que sean ortogonales entre sí (y después se hacen unitarios). La base ortonormal sería B = { ( 1, 1,), ( 1 3, 1 3, ) 1 1,( 3, 1, )} Ahora, la matriz que buscamos (T C ) se puede obtener como CT B C 1 siendo C la matriz de cambio de base y C 1 = C t su inversa. Se obtiene: T C = Las ecuaciones de la proyección son: x 5 y = x y z z

2 b) Proyección de x = y = z Los puntos de la recta x = y = z son de la forma (a,a,a), entonces: Ecuaciones generales: x 5/ y = 5/ a 5/ + 5/a 1 5 a = 5/ + a/3 z 5/3 a 5/3 + a { x 5y = 5 y = z. epresentar gráficamente la cónica de ecuación 4x y 4x + 8y + 3 =, determinando sus elementos notables (centro, ejes, focos, asíntotas y vértices). Vamos a comenzar por clasificar la cónica. Estudiamos los invariantes métricos de la cónica: 4 1 ( ) I 3 = det = 4, I = det = 4 < Por tanto, se trata de una hipérbola. Buscamos la ecuación reducida de esta hipérbola, como la matriz de términos cuadráticos ya es diagonal, únicamente debemos eliminar los términos lineales completando cuadrados : 4 [ x x ] [ ] = 4 (x 3) 9 = 3(x ) 3 [ y 8y ] [ ] = (y 4) 1 = (y ) + 1 Denotando por x = x 3 e y = y 4 la ecuación resulta 4(x ) (y ) + 1 = (x ) 4 + (y ) 1 = x y 4 x+8 y+3= = Centro: (3,4) Ejes: x = 3 e y = x+1 Focos: (3, ± + 4) y 4 Asíntotas: { y = x y = x + 1 Vértices: (3, 8) y (3, ) x x

3 3. Calcular el área de la porción del paraboloide z = x + y comprendida entre los cilindros x + y = y x + y = 1. A = 1 + siendo f(x,y) = x + y y ( ) f + x ( ) f dxdy y = { (x,y) : x + y 1 } ealizamos un cambio a coordenadas polares: { = (r,θ) + [,π] : θ π, r } 1 entonces: A = 1 + 4x + 4y dxdy = π 1 [ 1 + 4r (1 + 4r ) 3/ r drdθ = π 8 3/ ] 1 = 19 3 π u 4. Hallar el momento de inercia respecto del eje OZ del sólido situado bajo la esfera x +y +z = 4, sobre el cono z = x + y, por encima del plano z = y con y, cuya densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al plano y =. con d(x,y,z) = Ky I z = (x + y )d(x,y,z)dxdydz Los cálculos son más sencillos en coordenadas esféricas: Esfera: ρ = Cono: ϕ = π/4 z ϕ π/ y θ [,π] Por tanto, = {(ρ,ϕ,θ) + [,π] [,π] : θ π, ϕ π/4, ρ }

4 I z = (x + y )Ky dxdydz = K ρ sen ϕρsen ϕsen θρ sen ϕdρdϕdθ π/4 π π/4 ( ) 1 cos(ϕ) [ = K sen 4 ϕ sen θ ρ 5 dρdθdϕ = K [ cos θ] π ρ = 1 π/4 ( 3 K 1 cos(ϕ) cos(4ϕ) ) = 1 3 K ( 3π 8 1 ) dϕ = 1 [ 3 3 K sen(4ϕ) ϕ sen(ϕ) + 8 ] dϕ ] π/4 5. esolver la ecuación diferencial sujeta a la condición inicial y() = 4 (xy + x + 5e y )dy = (y + y)dx eescribimos la ecuación, (y + y)dx + (xy + x + 5e y )dy = y comprobamos si es exacta: M y = 4y + y + = N x Como no es el caso, buscamos un factor integrante que dependa únicamente de y: µ(y) = e Ê ω(y) dy con: Entonces: µ(y) = ω(y) = 1 M ( N x M ) = y y y + 1 e y. Multiplicamos la ecuación por µ(y) y obtenemos una ecuación exacta: (y + 1) 3 ye y ( x(y (y + 1) dx + + 1)e y ) 5 (y + 1) 3 + (y + 1) 3 dy = φ x = yey (y + 1) Buscamos, ahora, φ(x,y) tal que: (1) φ y = x(y + 1)e y + 5 (y + 1) 3 () Imponiendo (1) obtenemos: φ(x,y) = xyey (y + 1) + f(y) y a partir de (): f(y) = 5 (y + 1). La solución general de la ecuación es: y la particular: 4xyey 5 (y + 1) = 1 1 4xye y 5 (y + 1) = C

5 . Obtener la solución general de la ecuación diferencial y + 5y + y = 5xcos(x) En primer lugar buscamos la solución general de la ecuación homogénea asociada: y + 5y + y = Para ello calculamos las raíces de la ecuación característica: m + 5m + = Obtenemos que tiene dos raíces reales simples m 1 = y m = 3. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es: y h = C 1 e x + C e 3x Ahora, utilizamos métodos abreviados para encontrar una solución particular de la ecuación completa. Como G(x) = 5x cos(x), las tablas nos dicen que la solución particular debería ser de la forma: y p = (A + Bx)cos(x) + (C + Dx)sen(x). Derivamos y p y sustituimos en la ecuación completa obteniendo así los valores para A, B, C y D. Finalmente la solución general de la ecuación completa será: y = y h + y p = C 1 e x + C e 3x + (5x )cos(x) + (5x 5)sen(x)