ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias- 2011) Trabajo Práctico 8

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1 ANALISIS MATEMATIO II (iencias- 2011) Integrales sobre curvas (o de línea) Trabajo Práctico 8 1. Evaluar las siguientes integrales curvilíneas γ f ds. (a) f(x, y, z) = x + y + z ; r(t) = (sen t, cos t, t), t [0, 2π]. (b) f(x, y, z) = x cos z ; r(t) = ti + t 2 j, t [0, 1]. (c) f(x, y, z) = yz ; r(t) = (t, 3t, 2t), t [1, 3]. (d) f(x, y) = 3x y ; γ es el segmento que va desde (1,2) hasta (3,3) seguido por la porción de circunferencia x 2 + y 2 = 18 que va desde (3,3) hasta (3,-3) recorrida en sentido antihorario. 2. Se define el baricentro de la curva γ como el punto ( γ x ds, γ y ds, γ z ds )/ γ ds. Encontrar este punto para la curva parametrizada por r : t (t 3, t, 3), t [0, 1]. 3. Mostrar que la integral de f(x, y) a lo largo de una curva dada en coordenadas polares por r = r(θ), θ [θ 1, θ 2 ] es ( ) 2 dr f(r(θ) cos θ, r(θ)sen θ) r2 + dθ. θ 1 dθ θ2 4. Sea F(x, y, z) = (x, y, z). Evaluar la integral de línea de F a lo largo de cada una de las siguientes curvas. (a) r(t) es el segmento que une (0,0,0) con (1,1,1). (b) r(t) = (cos t, sen t, 0), 0 t 2π. 5. Evaluar cada una de las siguientes integrales. (a) γ x dy y dx ; r(t) = (cos πt, sen πt), 0 t 2. (b) γ yz dx + xz dy + xy dz ; γ consta de los segmentos de recta que unen los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en ese orden. (c) γ 1/3y3 dx + (xy + xy 2 ) dy ; γ es la frontera de la región en el primer cuadrante limitada por y = 0, x = y 2, x = 1 y Dado el campo de fuerzas F(x, y, z) = (x, y, z), calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la parábola y = x 2, z = 0, desde x = 1 hasta x = Graficar la curva parametrizada por r(t) = (cos 3 t, sen 3 t), 0 t 2π y calcular la integral de línea del campo F(x, y) = (x, y) a lo largo de esa curva. Integrales sobre superficies del espacio 1. (a) Hallar la ecuación cartesiana de las siguientes superficies: r(u, v) = (u, v, v/2), r(u, v) = (2 cos u, v, 2sen u), r(u, v) = (u cos v, usen v, u 2 ), r(u, v) = (5 cos usen v, 5sen usen v, 5 cos v). 1

2 (b) Hallar funciones vectoriales cuyas imágenes sean las gráficas de las siguientes superficies: el plano x = y; el cilindro x 2 + 4z 2 = 16; la porción del plano z = 4 interior al cilindro x 2 + y 2 = (a) alcular el área de la superficie lateral de un cono de radio R y altura H. (b) alcular el área de la superficie de la esfera unitaria contenida dentro de: i. el cono x 2 + y 2 = z 2, z 0; ii. el cilindro x 2 + y 2 = x. 3. alcular el área de cada una de las superficies definidas por las ecuaciones siguientes y esbozar la superficie en cada caso. (a) x + y + z = 1 limitada por x 2 + 2y 2 1. (b) x = r cos θ, y = 2rsen θ, z = θ ; 0 r 1, 0 θ 2π. (c) x = u + v, y = u, z = v ; 0 u 1, 0 v Evaluar en cada caso S f ds. (a) f(x, y, z) = xy y S es la superficie del tetraedro de caras z = 0, y = 0, x+z = 1 y x = y. (b) f(x, y, z) = z y S es la semiesfera superior de radio R. (c) f(x, y, z) = xyz y S es el triángulo de vertices (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 1, 1). (d) f(x, y, z) = z y S es la superficie del paraboloide z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 1. (e) f(x, y, z) = z 2 y S es la superficie del cubo [ 1, 1] [ 1, 1] [ 1, 1]. 5. Encontrar las coordenadas del baricentro del primer octante de la superficie esférica de radio R. 6. Una superficie metálica S tiene la configuracion de una semiesfera z = R 2 x 2 y 2, 0 x 2 + y 2 R 2. La densidad de masa en el punto (x, y, z) S está dada por m(x, y, z) = x 2 + y 2. alcular la masa total de S. Flujos de campos vectoriales a través de superficies 1. Supóngase que la temperatura de un punto en el espacio esta dada por T (x, y, z) = 3x 2 + 3z 2. Si la constante de conductividad es k = 1, calcular el flujo de calor a través de la superficie x 2 + z 2 = 2, 0 y Sea S la superficie cerrada determinada por la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 y su base x 2 + y 2 1, z = 0. Sea E el campo eléctrico definido por E(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). alcular el flujo eléctrico a través de S. 3. Sea F(x, y, z) = (0, y, 0) el campo de velocidades de un flujo (expresado en metros/segundo). alcular cuántos metros cúbicos de fluído por segundo atraviesan la superficie x 2 + z 2 = y, 0 y Sea S la superficie de la esfera unitaria. Sea F un campo vectorial y F r su componente radial. Probar que 2π [ π ] F n ds = F r (θ, φ)sen φ dφ dθ. S 0 2 0

3 Fórmulas de Green 1. Verificar el teorema de Green para las regiones y las funciones indicadas. (a) El disco D = {(x, y) : x 2 + y 2 1} y el campo vectorial de componentes f(x, y) = xy 2 y g(x, y) = yx 2. (b) El anillo D = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 2} y el campo vectorial de componentes f(x, y) = 2x 3 y 3 y g(x, y) = x 3 + y (a) Sean P (x, y) = y x 2 + y y Q(x, y) = x. Sea D el disco unitario. alcular 2 x 2 + y2 ( Q D x P ) dx dy y P (x, y) dx + Q(x, y) dy. Por qué no se y D verifica el Teorema de Green para estas funciones P y Q? (b) Sea una curva cerrada simple contenida en D. i. uánto vale P (x, y) dx + Q(x, y) dy si no encierra al origen? ii. uánto vale P (x, y) dx + Q(x, y) dy si encierra al origen? 3. Sea R una región de tipo 1 cuyo borde es una curva simple que admite una parametrización 1. Mostrar que si está orientada de manera que deja R a la izquierda, entonces A(R) = y dx. 4. Use el teorema de Green para calcular el área encerrada por la elipse : x2 a 2 + y2 b 2 = (a) Sea una curva simple, suave a tozos y cerrada. omprobar que para calcular el área de la región R encerrada por puede utilizarse la siguiente integral: 1 2xy dx + (x 2 + 2x) dy. 2 (b) Utilizar el inciso anterior para calcular de dos maneras distintas el área de la región R encerrada en el primer cuadrante por 2(y + x) = 3; yx = 1; x = 1; x = 2; y = Sea el borde del cuadrado [0, 1] [0, 1] orientado en sentido antihorario. Mediante el Teorema de Green, evaluar (y 4 + x 3 ) dx + 2x 6 dy. 7. Sean las funciones P (x, y) = x 2 + y 2 y Q(x, y) = 2x 3 + 6xy 2 definidas en R 2. Aplicando el Teorema de Green, encontrar el valor de la constante k de modo que la integral de trayectoria verifique P (x, y) dx + kq(x, y) dy = 15π, siendo la circunferencia x 2 + y 2 = 1 recorrida en sentido antihorario. Divergencia y rotacional - ampos conservativos 3

4 1. Probar las siguientes identidades para F y G campos vectoriales y f y g funciones escalares suaves. Relaciones importantes (a) div ( f) = f (b) rot ( f) = 0. (c) div (rot F) = 0. ( f = 2 f = f xx + f yy + f zz = laplaciano de f). Otras relaciones (a) div (ff) = f F + fdiv F. (b) div (F G) = rot F G F rot G. (c) rot (ff) = f F + frot F. (d) rot (rot F) = (div F) 2 F. (e) 2 (fg) = f 2 g + g 2 f + 2 f g. (f) div ( f g) = Mostrar que F(x, y) = y cos xi + xsen yj no es un campo vectorial gradiente. 3. Sean r(x, y, z) = (x, y, z) y r = x 2 + y 2 + z 2 = r. Probar las siguientes identidades. (a) ( 1 r ) = r r 3, r 0. (b) 2 ( 1 ) = 0, r 0. r (c) ( r ) = 0, r 0 ( F = div F). r3 (d) r = 0 ( F = rot F). 4. Si es que existe, encontrar en cada caso una función f tal que F = f. Si no, demostrar que no existe tal función. (a) F(x, y) = (y(1 + xy)e xy, x(1 + xy)e xy ). (b) F(x, y, z) = (xy, y, z). (c) F(x, y, z) = (2xyz + sen x, x 2 z, x 2 y). 5. Dado el campo F(x, y, z) = (2xy, x 2 + z 2, 2yz), (a) Verificar que es un campo conservativo y calcular una función potencial. (b) alcular B A F dr, donde A = (1, 2, 3) y B = (2, 8, 0). 6. Resolver nuevamente los ejercicios 4, 5 (b), 6 y 7 de la sección integrales sobre curvas usando una función potencial adecuada para cada caso. 7. Dado el campo de fuerzas F(x, y, z) = (yz, xz + 2y y2, xy + 1), calcular el trabajo z z2 realizado al mover una partícula a lo largo de la curva r(t) = (cos t, sen t, t), con t (2π, 6π). 4

5 8. Sean los puntos del plano B( 2, 0); A( 1, 1); O(0, 0); D(1, 1); E(2, 0); F (1, 1). Llamemos XY al segmento que une el punto X con el puntoy. Si F es un campo conservativo del plano y sabemos que F dr = 3; F dr = 2 y AOF OF F dr = 5, calcular el trabajo realizado por la fuerza F a lo largo de los AB siguientes caminos: AODEF F EDO BOEF BAODEF. 9. uál es el trabajo realizado por el campo de fuerzas F = r 3 sobre una partícula r que se mueve desde un punto r 0 R 3 hasta el infinito? Mostrar que el trabajo realizado no depende de la trayectoria por la que la partícula se va al infinito. Teorema de Stokes 1. Verificar el teorema de Stokes para las superficies y los campos indicados. (a) La semiesfera superior z = 1 x 2 y 2 y el campo vectorial radial F(x, y, z) = (x, y, z). (b) El triángulo S de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) y el campo F(x, y, z) = (yz, zx, xy). (c) El cono parametrizado por Φ(r, θ) = (r cos θ, rsen θ, r), (r, θ) [0, 1] [0, 2π] y el campo vectorial F(x, y, z) = (xy, xy, z). 2. uál es la circulación alrededor del círculo = {(x, y, 1) : x 2 + y 2 = 1} de un fluido cuyo campo de velocidades está dado por F(x, y, z) = (xy, yz, xz)? 3. alcular la circulación de F(x, y, z) = ( y, x 2, z 3 ) a lo largo de, que es la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 4 con el plano x + z = 3, orientada de modo que se recorre en sentido antihorario cuando se observa desde el origen. 4. (a) Sean S 1 y S 2 dos superficies orientables con la misma curva frontera. Qué relación hay entre los flujos del rotf, con F 1, a través de ellas? (b) alcular S rotf nds, donde F = (xy, xy + cos z, ex2 sen yz + 1) y S es la superficie determinada por z = x 2 + y 2 ; y = 2x; x = 0 en el primer octante con z 5. (Sug: mirar el inciso anterior.) 5. alcular el flujo del rot F, para F(x, y, z) = (exp z 2, 4z y, 8xsen y), a través de las siguientes superficies, utilizando el Teorema de Stokes: (a) la porción del paraboloide z = 4 x 2 y 2 con z 0. (b) el hemisferio superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. Plantear para el primer inciso la integral de superficie correspondiente y convencerse de que el Teorema de Stokes es de gran ayuda. 6. Probar las siguientes identidades donde S es una superficie en las condiciones del Teorema de Stokes, v un vector constante y f y g dos funciones suaves. (a) S v = 0. 5

6 (b) 2 S v n ds = S v r, donde r(x, y, z) = (x, y, z). (c) S f g = S ( f g) n ds. (d) S (f g + g f) = 0. Teorema de Gauss 1. Usar el teorema de Gauss para probar que S ( F) n ds = 0 para cualquier superficie cerrada S y cualquier campo suave F. 2. Evaluar el flujo a través de la esfera unitaria del campo F(x, y, z) = (x 3, y 3, z 3 ). 3. Evaluar Q F n ds donde Q es el cubo unitario en el primer octante y F(x, y, z) = (x, y, z). 4. Mostrar que el volumen de una región Ω puede calcularse mediante 1 3 (x, y, z). Ω r n ds, r(x, y, z) = 5. alcular el flujo de F(x, y, z) = (x 2 + sen z, xy + cos z, exp y) a través de la frontera del sólido limitado por x 2 +y 2 = 4, el plano x+z = 6 y el plano xy, hacia el exterior del sólido. 6. (a) Sea F(x, y, z) = 2xy i + (z y 2 ) j + (x exp(y) + 2z)k y sea S una supeficie cerrada orientable que determina un volumen V. uánto vale (en términos de V ) el flujo de F a través de S? (b) Aplicar al caso en que S está determinado por z = x 2 + 2y 2, x = y, y = 0, z = 2 2(x 2 + y 2 ) en el primer octante. 7. Probar las identidades de Green siguientes: (a) (b) Ω. ( Ω f g η Ω ds = (f g + f g) dx dy dz f g η g f ) ds = (f g g f) dx dy dz. η Ω Indicar en cada caso las hipótesis necesarias para su validez. (derivada normal de g := g η = g n) 6