INTEGRALES CURVILÍNEAS

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1 (Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) INTEGRALES URVILÍNEAS (Material de apoyo y orientación para preparar el tema) Las integrales curvilíneas constituyen el estudio de funciones sobre curvas. LÍMITE DE UNA SUMATORIA onsidérese una curva suave en el plano xy con ecuaciones x = f t ; y = g t ; a t b, donde las funciones f y g son continuas en el intervalo ab, y paramétricas: () tienen primeras derivadas continuas en ( ab, ). y ( ξ, η ) i i y i η i t = b y i 1 y 1 y 0 t = a x0 x x 1 i 1 ξ i xi xn x ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

2 n Δ 0 i = 1 Δ 0 i = 1 ( ξi ηi) Δ i = lim F, x F x, y dx n ( ξi ηi) Δ i = lim F, y F x, y dy En muchas ocasiones se trabaja con las dos integrales como: Otra forma ( x, y ) n ( x, y ) 1 1 (, ) + (, ) M xy dx n N xy dy (, ) + (, ) M xy dx Ejemplo. Evaluar la integral de línea donde es la curva dada por: Solución. N xy dy yz dx e y + dy + senzdz x 3 x t y t z t t = ; = ; = ; 3 3 x t dx 3t dt = = y = t dy = dt z = t dz = tdt yz 3 y t dx + e dy + senzdz = ( 3 t e tsent ) dt x t = t e cost ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

3 3 La integral curvilínea también se puede expresar en términos del parámetro longitud de arco como: (, ) b (), () a dx dy F x y ds = F( f t g t ) + dt dt dt Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea tiene como ecuaciones paramétricas a: xy ds donde la curva x = 3cos t ; y = sent ; π 0 t xy ds = Solución: 7.6 Propiedades de la integral curvilínea Son semejantes a las tratadas en el cálculo con una variable independiente. EXISTENIA DE LA INTEGRAL URVILÍNEA Teorema. Sea M( xy, ) dx+ (, ) N xy dy, donde M y N son funciones continuas cuyos dominios incluyen a la curva, la cual está dada por: x f( t) ; y g( t) ; a t b donde las funciones f y g son diferenciables en (, ) = =, Entonces la integral curvilínea existe y equivale a: b a dx dy M( xy, ) + N( xy, ) dt dt dt ab. ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

4 Ejemplo. Evaluar la integral de línea punto ( 1,1 ) al punto,4 : 4 x y dx + xydy del a) En la dirección de la recta que los une. Solución: 39.6 b) Sobre la trayectoria de la parábola y = x. Solución: 31.6 c) Sobre la trayectoria que va de ( 1,1 ) a (,1 ) (,1) a (,4). Solución: 18 (trazar la gráfica en cada caso). Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea yz dx + zx dy + x y dz y de donde es la hélice cuyas ecuaciones paramétricas son: x = cos t ; y = sent ; t z = ; 0 t π π Solución: 8 Ejemplo. Evaluar la integral trayectoria está dada por: cos z senz dx + dy + zdz x y x = cos t ; y = sen t ; z = t ; 0 t Solución: π, si la Trayectoria cerrada Mdx + Ndy ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

5 5 Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea donde es la circunferencia Solución: π ( + ) ( ) x y dx x y dy x + y x + y = a. INDEPENDENIA DE LA TRAYETORIA Teorema. Si (, ) (, ) M xy y N xy son funciones continuas y diferenciables en una cierta región abierta del plano xy, entonces la integral de línea M( xy, ) dx + N ( xy, ) dy es independiente de la trayectoria y se puede escribir como ( x, y ) M( xy, ) dx+ N( xy, ) dy= F( x, y) F( x1, y1) ( x1, y1) sí y sólo si la expresión M( xy, ) dx N( xy, ) dy + es una diferencial exacta, es decir, que existe una función F para la cual es su diferencial total. onclusiones que se desprenden del teorema anterior: Si M( xy, ) dx (, ) + N xy dy es una diferencial exacta en una región del plano xy, entonces: x, y x, y 1 1 ) = 0 x1, y1 x, y i Mdx Ndy Mdx Ndy ii) Si es una curva suave cerrada, Mxydx, + Nxydy, = 0 ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

6 x, y ( x1, y1) = F( x, y ) F( x, y ) iii ) M x, y dx + N x, y dy = Mdx + Ndy 1 1 donde df = Mdx + Ndy con cualquier trayectoria. 6 Ejemplo. Sea la integral curvilínea i) ii) ) xdx + ydy + zdz x + y + z a ; de 0,0,0 3,4,5 Verificar que el integrando es una diferencial exacta. Obtener su valor sin utilizar trayectoria. iii Utilizar la trayectoria que va de ( 0,0,0 ) a ( 3,0,0 ) a ( 3,4,0 ) y de ( 3,4,0 ) a ( 3,4,5 ). Solución: 5 Ejemplo. Dadas las funciones M xy, sec xsecy cosxcosy = + y N x, y = tanx secy tany senxseny π π π y los puntos P 0, y Q, ,0,0, de ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

7 i) Evaluar la integral curvilínea M( xy, ) dx + N( xy, ) dy π si consta de dos segmentos que van de 0, 6 a π 3, π 6 π π de, 3 6 a π 3, π 4. ii) Verificar que Mdx + Mdy es una diferencial exacta. ) F x, y tal que df = Mdx + Ndy. iii Encontrar iv) Evaluar M( xy, ) dx + (, ) π π π de F, F 0, Solución: 4 7 y N xy dy a través del cálculo LA INTEGRAL DE LÍNEA Y EL GRADIENTE Sea la expresión Mdx + Ndy que es una diferencial exacta. Entonces existe una función F tal que df = Mdx + Ndy, F F donde Mxy (, ) = y Nxy (, ) =. omo el gradiente x y F F de F es F = i+ j y si se define al vector dr como x y dr = dx i+ dy j, entonces df = F dr por lo que la integral de línea se interpreta como Mdx + Ndy = F dr. ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

8 INTEGRAL URVILÍNEA DE UN AMPO VETORIAL 8 Sea un campo vectorial dado por (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) vxyz v xyz i v xyz j v xyzk y la trayectoria definida por: Entonces 1 3 () ; ; x = f t y = g t z = h t ( x, y, z ) x, y, z b v( x, y, z) dt = () v t dt a b b b v1() t dt i v() t dt j v3() t dt k a a a = + + Ejemplo. Sea el campo vectorial v x i xz jxyk = + y la x = t ; y = t ; z = t. Decir si existe la trayectoria ( 1,,1 ) integral ( 0,0,0) vdt y en caso afirmativo, calcularla. 1 1 Solución: i+ j+ k Ejemplo. Sea el campo v xyi y j = + y la curva π costi+ sentj 0 t r = π costi+ sentj t π ( 1,0 ) vdt Ver si existe y en caso afirmativo, calcularla. ( 1.0 ) ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

9 Solución: 1 5π i+ j 4 Ejemplo. Encontrar la función vectorial r( t ) que define la posición de una partícula, si su velocidad está dada por () t r' t = e i lnt j+ tk y se sabe además que cuando t = 1 su posición la expresa el vector () 1 r = j k. t Solución: () = ( ) ( ln ) + ( ) r t e e i t t t j t k 9 Ejemplo. onsidérese el campo vectorial u= y z i+ z x j+ x y k y la trayectoria definida por: x = acos t ; y = asent ; z = bt udt. Investigar si existe y calcularla, en el intervalo 0,π, la integral Solución: π bi+ π bj INTEGRAL URVILÍNEA OMO TRABAJO W = F dr dr W = F dr = F ds= ( F T) ds ds ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

10 El trabajo y la energía cinética 1 1 W = F dr W = mv b mv a 10 Ejemplo. Determinar el trabajo que se produce al mover, en contra de la gravedad, una partícula de masa " m ", a lo largo de la curva dada por: x = cos t ; y = sent ; z = t, 3π del punto A( 1, 0, π ) al punto B 0, 1,. Solución. Para calcular el trabajo se utiliza la expresión: W = F dr = F T ds El signo menos es porque se trata de un trabajo para vencer un campo de fuerza, el cual está dado por Por otro lado, recuérdese que Luego, si () F = mgk T = dr dt dr dt r t = costi+ sent j+ tk, entonces: ' = + cos + ' = + cos + 1 () () r t senti t j k y r t sen t t () t r' = Por lo tanto 1 T = senti+ cost j+ k ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

11 Además dx dy dz ds sen t t = cos 1 dt + + = + + = dt dt y los extremos de integración para el parámetro " " mismos que para " z ", por lo que: 11 t son los 3π 1 W = mgk senti cost j k dt π + + 3π π W = mgdt = mg π Ejemplo. Se tiene una carga eléctrica de coulombs situada en el origen del sistema de coordenadas xy. Si se coloca otra carga de 1coulomb y de igual polaridad en el xy,, las dos se repelerán con la fuerza: punto x y F = i+ j ( x + y ) ( x + y ) 3 3 expresión que se obtiene de aplicar la ley de oulomb para dos cargas eléctricas que se atraen o se repelen. i ) uánto trabajo será realizado por la fuerza F en la carga de 1coulomb al moverse de A ( 3,1) a B ( 4,6) en la línea recta que une a estos puntos? ii ) uánto trabajo será realizado por F al moverse dicha carga en la dirección del semicírculo en el sentido de las manecillas del reloj? Solución: i) W 0.36 ; ii) W = 0 x y y + = 4 ; 0 y ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

12 Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F = yi x j. alcular el trabajo realizado en el movimiento de una partícula del origen al punto ( 1,1 ): i) A través de la parábola y = x 1 Solución: W = 3 ii) A través de la recta y = x Solución: W = 0 iii) ( 0,0) ( 0,1) 0,1 1,1 Solución: W = 1 iv) A través de la parábola y = x. 1 Solución: W = 3 A través de la línea recta quebrada que va de a. a y de Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F = yi+ x j. alcular el trabajo realizado al moverse una partícula del origen al punto 1,1 : i) A través de la parábola =. Solución: W = 1 ii) A través de la recta y = x. Solución: 1 W = y x 1 Ejemplo. Evaluar el trabajo realizado por un campo de fuerza dado por: F( x, y, z) = y z i+ xyz j+ 4xy z k al moverse un objeto del punto A ( 0,0,0) al punto (,4,8) i) Por la línea recta que une a los puntos A y B. B : ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

13 ii) Por la parábola y 0,4,8 y z = del punto A al punto de este punto hasta B en línea recta. iii) Del punto A en línea recta al punto (,4,0 ) y de él en línea recta hasta el punto B. Solución: W = 131,07 Nota. El trabajo resultante en el movimiento de una partícula de un punto a otro, sobre una determinada trayectoria suave, puede ser positivo si el campo de fuerza actúa en la dirección del movimiento; negativo cuando el campo actúa en dirección opuesta y puede ser nulo cuando dicho campo y la dirección del movimiento son ortogonales. AMPO DE FUERZA ONSERVATIVO 13 Un campo de fuerza F es conservativo si el trabajo W, realizado al moverse una partícula de masa unitaria de un punto A a un punto B, es independiente de la trayectoria utilizada. Sea el trabajo dado por (,, ) (,, ) (,, ) W= Mxyz dx+ N xyz dy+ P xyz dz Si se trata de un campo de fuerza conservativo, se puede expresar lo siguiente: Si Mdx + Ndy + Pdz es una diferencial exacta, o bien, su expresión equivalente F( x, y, z ) es el gradiente de la función escalar f( x, y, z ), entonces a ésta última función se le conoce como función potencial y se cumple que: ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

14 14 x, y, z x, y, z i f dr f dr ) + = 0 ( x1, y1, z1) ( x, y, z) ii) Si es una curva suave cerrada: f dr = 0 ( x, y, z ) iii f dr f dr f x y z f x y z ) = = ( 1, 1, 1),,,, x y z LEY DE LA ONSERVAIÓN DE LA ENERGÍA Para un campo conservativo ϕ 1 1 ( A) + mv( a) = ϕ( B) + mv( b) IRROTAIONAL Y AMPO ONSERVATIVO El rotacional de un campo conservativo es cero y por lo tanto se trata de un campo irrotacional. ONLUSIÓN IMPORTANTE F es un campo conservativo sí y sólo si: i) F dr es independiente de la trayectoria ii) F dr es una diferencial exacta iii) F = f donde f es el potencial de F iv) Es irrotacional, es decir, que F = 0 Nota. Se da la doble implicación entre todas estas afirmaciones. ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

15 15 Ejemplo. Dado el campo de fuerza x x x F = e senyzi+ ze cos yz j+ ye cos yzk A 5 0,0,0 y B 1, π,. y los puntos i) alcular el trabajo que realiza el campo -sin investigar si es conservativo- al transportarse una partícula de A a B a través de las líneas rectas que van de ( 0,0,0 5 ) a 0,0, 5 5 y de 0,0, a 1, π,. ii) omprobar que F es un campo conservativo a partir de la diferencial exacta. iii) omprobar que F dr es independiente de la trayectoria a partir del rotacional y calcular el trabajo a través del potencial. Solución: W e = LA INTEGRAL URVILÍNEA EN OTROS SISTEMAS OORDENADOS Sea el sistema curvilíneo ortogonal dado por (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) u= g x y z x = f u v w 1 1 v = g x y z y = f u v w w = g x y z z = f u v w 3 3 r = xi+ y j+ zk dr = dxi+ dy j+ dzk omo xyz,, dependen de uvw,, entonces: ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

16 x x x dx = du + dv + dw u v w y y y dy = du + dv + dw u v w z z z dz = du + dv + dw u v w Si se sustituye en dr y se agrupan términos, se llega a: 16 x x x dr = du + dv + dw i u v w y y y + du + dv + dw j u v w + z z z + du + dv + dw k u v w Pero, como ya se había visto, r r r dr = du + dv + dw u v w r r r = he u ; = he v ; = hwe u v w u v w donde eu, ev, e w son los vectores unitarios asociados al nuevo sistema de coordenadas, el cual se está suponiendo que es ortogonal. Si se sustituyen estas expresiones en dr se obtiene: dr = h due + h dve + h dwe u u v v w w ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

17 Por lo tanto, la integral curvilínea de (,, ) (,, ) (,, ) F = P u v w e + Q u v w e + R u v w e a lo largo de la curva está dada por: + (,, ) w u u v w (,, ) (,, ) F dr = h P u v w du+ h Q u v w dv hruvwdw v 17 Para evaluar esta integral se deben sustituir las variables uvw,, por las expresiones paramétricas que describen a la curva. onsidérense los casos cilíndrico y esférico SISTEMA ILÍNDRIO x = ρcosθ = 1 y = ρsenθ h = ρ z = z h = 1 En este sistema, la integral curvilínea se expresa como: SISTEMA ESFÉRIO F dr = Pdρ + ρqd + Rdz x = rcosθ senϕ h r = 1 y = rsenθsenϕ h = r z = rcosϕ h = rsenϕ θ h θ ρ z ϕ θ ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

18 La integral curvilínea se expresa como: F dr = Pdr + rqdϕ + rsenϕrdθ 18 Ejemplo. Un campo de fuerza bidimensional está dado en coordenadas polares por la ecuación ( ρθ, ) = ( 4 θcosθ+ 4 θ) + ( 4 θ + 4 θcosθ) F sen sen e sen sen e alcular el trabajo realizado en el movimiento de una partícula del punto A al punto B, de cordenadas polares ( 1, 0 ) y ( 0, ), respectivamente, a lo largo de la espiral cuya ecuación polar es ρ = e θ. ρ θ Solución. Las componentes de F son: P, = 4sen cos + 4sen ρ θ θ θ θ Además, está dada por por lo que Q ρ, θ = 4senθ + 4senθcosθ y = e θ con ρ θ 0, dρ = e θ dθ F dr = Pdρ + ρqdθ = 4senθcosθ + 4sen θ e dθ e 4sen θ + 4senθcosθ dθ ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

19 expresión que al desarrollarse y simplificarse da F dr 8 e θ = senθ cosθ dθ = 4 e senθ dθ e senθ dθ u= senθ dv = e dθ ; du = cosθ dθ v = e e senθ dθ = e senθ + e cosθ dθ e cosθ dθ u = cosθ dv = e dθ ; du = senθ dθ v = e e cosθ dθ = e cosθ e senθ dθ e senθ dθ = e senθ e cosθ 4 e senθ dθ 5 e senθ dθ = e senθ e cosθ e e senθ dθ = ( senθ + cosθ) e θ θ senθ dθ e = ( senθ cosθ) 0 + = W = 5 Por lo tanto, el trabajo pedido es ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

20 0 Ejemplo. Supóngase que en una cierta región del espacio existe un campo eléctrico dado por N E = 10eρ + 4eϕ + 7 eθ ; alcular el trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre un electrón en contra del campo eléctrico, cuando el electrón se mueve desde el punto de coordenadas esféricas π 0, 0,, 9 trayectoria : hasta el punto r = 0 m π θ = 9 π π 0,, 9 9 a lo largo de la Solución. Se sabe que la fuerza que ejerce un campo eléctrico E sobre una carga eléctrica de magnitud q, es igual a qe. Por lo tanto el trabajo pedido está dado por W = q E dr Aquí, las componentes del campo son ( ϕ θ) ( ϕ θ) ( ϕ θ) P r,, = 10 ; Q r,, = 4 ; R r,, = 7 Además, como r = 0 π θ = 9 dr = 0 y dθ = 0 y la única coordenada que varía es ϕ. Así, ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ

21 π π 0,, 9 9 π 0, 0, 9 E dr = d ϕ + π 160π 9 + ( 7)( senϕ)( 0)( 0) = 80 dϕ = q = coulombs, y como la carga de un electrón es: entonces el trabajo pedido está dado por: joules ( ) 160π W = q E dr = 9 W = 1 ING. PABLO GARÍA Y OLOMÉ