Tema 3. Integrales dobles y triples y sus aplicaciones Septiembre {(x,y)/0 x 2, 0 y } x. I = f(x, y)dydx. 2 4 x. 2 4 x.

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Victoria Martin Naranjo
hace 6 años
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1 CÁLCULO III (05) Tema. Integrales dobles y triples y sus aplicaciones eptiembre 06. Dibuje la región de integración y calcule las integrales dobles siguientes: d. e. f. g. yda, donde es la región limitada por las curvas y =, = y el eje. t 9 8 y da, es la región limitada por las rectas = y, = y, y =, y =. t 7 6 da, donde {(,y)/0, 0 y } y da, donde es la región limitada por las curvas 4;y ;y y da, es la región limitada por + y e da, donde {(,y)/ y } 5 =. t + ln(5) = +. y = ;y = + ; ( y)da, donde = { (,y)/ + y }. = = =. y = 4 + 4; y = eduzca la integral + y a una integral en coordenadas polares y calcule su valor. dyd. Una integral doble I está dada mediante integrales iteradas por 4 I = f(, y)dyd. 4 Grafique la región de integración y plantee la integral usando el orden dyd Dé tres interpretaciones de lo que calcula la integral I indicando condiciones sobre f(,y) 4. Para cada integral, dibuje la región de integración y eprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de integración: 4 y 4 y f(, y)ddy t f(, y)dyd 4 f(, y)dyd y+ 8 + y+ t f(, y)ddy f(, y)ddy y + y 4 Prof. José Luis Quintero

2 5. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algún cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integración: d. e. 4y ddy t y 5 ddy t 6 y y y+ e dyd t (e ) 0 0 y e ddy, donde es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y =, y = 4, = y, y = 8. ddy, donde es la región encerrada por la curva 4 t (e e )ln() y + =. t 8π 6 4 f. g. ( y) cos( + y)ddy, donde es el paralelogramo de vértices dados por (,0) π ( π, π), (, π π),(0, π ). t 4 0 y y/ e ddy. t / / e 4e + π, 6. Calcule la integral 0 y tg( )ddy. t ln(sec()) 7. Utilice coordenadas polares para calcular donde la región está definida por + y 4dA, + y Usando integrales dobles halle el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes funciones sobre la región del plano y cuyos linderos se indican: f(,y) = + y, = 0, =, y = 0, y = f(,y) = y, = 0, y = 0, + y = 9. Calcule y arctg e ddy, donde es la región en el primer cuadrante limitada por las circunferencias + y = 4 y las rectas y =, y =. + y =, Prof. José Luis Quintero

3 0. Calcule (+ y) y e + da, donde está limitada por las curvas y = ; y = ; + y = ; + y =.. Halle el volumen de la región que está limitada por el plano y, el plano + y + z = y el cilindro parabólico y =. t 8 0. Halle el volumen del sólido, si está limitado por el cono y y 0 + =. t 64 9 z = + y y el cilindro. Halle el volumen de, si está limitado por el cilindro + y z =. t 4 π + y = 4 y el hiperboloide 4. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la esfera por el plano y y lateralmente por el cilindro + y =. t (8 ) π + y + z = 4, inferiormente 5. Encuentre el área de la región en el primer cuadrante del plano y limitado por las curvas + y =, + y = 4, y =, y = 5. t 7 arctg( ) 6. ea el triángulo acotado por = 0, y = 0, + y =. Haga la sustitución dada por + y = u, y = uv y demuestre que y a b e y ddy puede reducirse al producto de integrales sencillas. 7. Evalúe la integral y a b, a 0 I = ddy donde es la región limitada por la elipse >, b > 0, a + y b =. t π ab 8. Grafique la región que está acotada por las curvas utilice el cambio de variables para calcular (u + v) = u, 4 u + v y = ( + y )ddy. 6 = y, t. = y y, = y y y 9. Encuentre el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = cos() θ que es eterior a r =. Prof. José Luis Quintero

4 0. Calcule y da, + y donde la región está limitada por las curvas = y ;y = 5 ; = 0; = 5.. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las láminas acotadas por las gráficas dadas y densidad que se indica: y = ln(), =, =, ρ (,y) =, y = 0 y =, =, =, ρ (,y) = y =, y = 0, y =, ρ =. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola y = 4 y la recta + y = 5 con respecto a la recta y =. t 6ln() 9 8. Para las láminas limitadas por las curvas indicadas halle el momento polar de inercia I 0. y =, y = 0, ρ (,y) = y y =, y =, ρ (,y) = 4. Grafique la región limitada por 4y = 8, y + =, y = 6 9. Plantee las integrales que permiten calcular el área de la región, el centro de masa y el momento polar de inerci 5. Calcule las siguientes integrales dobles impropias: ddy, donde es la región limitada por la circunferencia + y ddy ( + + y ). t π ddy, donde = 0, 0, y t 8 + y = 4. t 4π 6. Calcule la integral impropia etendida a todo ( + y ) e ddy, y luego use el resultado encontrado para calcular la integral impropia e d. (Esta última es importante en Estadística y se trata de la distribución normal). t π, π 7. ea T el sólido formado por la región interior de abajo de + y = 9, eterior a z = + y y sobre el plano y. Halle el volumen de T. + y + z = 9, por Prof. José Luis Quintero 4

5 8. Calcule donde Q es el sólido limitado por las superficies dv, + y + z Q z =, z = + y, siendo z ea T el sólido formado por la región interior del cilindro y sobre el paraboloide z = ( + y ). Calcule el volumen de T. 6 + y = 9, bajo el cono z = + y 0. Eprese en coordenadas cilíndricas. Eprese en coordenadas esféricas. Eprese el volumen del sólido y dzdyd. 9 y + y + z dzdyd y 9, z + y, triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas. z y utilizando integrales. Eprese en coordenadas cartesianas π/ π/ 4 ρ φ ρ φ θ. 0 π/6 0 4 sen d d d 4. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 4 z = + y, z = + y en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. 5. ea Q el sólido formado por + y ; y z + + y. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en: cartesianas ddzdy cilindricas 6. ea el sólido formado por que permiten calcular el volumen del sólido en: z + y ; + y ; + y + z. Plantee las integrales cartesianas dzdyd cartesianas dyddz cilíndricas 7. ea Q el sólido homogéneo definido por las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: proyectando en el plano y proyectando en el plano yz + y + z 6z 5;z 5 + y ;z 0. Plantee 8. ea Q el sólido 0 z 4 + y ; + y 4. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q: en el orden ddzdy en coordenadas cilíndricas Prof. José Luis Quintero 5

6 9. ea la integral triple 4 y I = ( + y + z )dzdyd 0 0 Plantee la integral I en coordenadas cilíndricas. 40. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 4 z = + y, z = + y en coordenadas cartesianas y cilíndricas. 4. Usando coordenadas cilíndricas calcule el volumen del sólido limitado por la esfera de ecuación + y + z = 4 y la superficie del paraboloide + y = z. 4. Dado el sólido T definido como z + y ; + y 9;z 9 y + 6: Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas Plantee las integrales para el cálculo del centro de masa del sólido T 4. Usando coordenadas esféricas halle el volumen del sólido sobre el cono a la esfera + y + z = az. t π a z = + y e interior 44. Halle el centroide de un objeto limitado por los planos coordenados, el plano + y = y el paraboloide z = 4 4y. t (, 7, 5 ) Calcule donde es la región encerrada por el elipsoide / y z ddydz, a b c a + y b + z c =. t π abc 46. Un sólido ocupa la región T definido por Eprese, utilizando integrales triples, el volumen de T z 6 + y, z 9 y, + y. Eprese, utilizando integrales triples, las coordenadas del centro de masa 47. Halle el momento de inercia con respecto al eje z del sólido homogéneo dentro del cilindro + y = 0, bajo el cono + y = z y sobre el plano y. t 5k Calcule las siguientes integrales triples impropias: T T dv + y + z dv ( + y + z ), donde T es el sólido limitado por la esfera + y + z =. t π, donde T es la reunión de la frontera y del eterior de la esfera sólida del ejercicio a, esto es T {(,y,z) / y z } = + +. t 4 π Prof. José Luis Quintero 6

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