Teorema de la Función Implícita

Transcripción

1 Teorema de la Función Implícita El círculo de radio 1 con centro en el origen, puede representarse implícitamente mediante la ecuación x 2 + y 2 1 ó explícitamente por las ecuaciones y 1 x 2 y y 1 x 2 o paramétricamente por las ecuaciones x cos t y y sin t con 0 t 2Π. En general, una representación implícita de una curva del plano xy esta dada por una sola ecuación en x,y de la forma f(x,y)0. Una representación explícita de una curva del plano xy esta dada por un par de ecuaciones que expresan y en términos de x ó x en términos de y y son de la forma yg(x) ó xg(y). Una representación paramétrica de una curva del plano esta dada por un par de ecuaciones que expresan x y y en términos de una tercera variable, que con frecuencia de denota por t. Encuentre en representaciones implícitas, explícitas y paramétricas de la recta que pasa por (3,0) y (0,5): x 3 + y 5 1 (Implícita) y x (Explícita) x 3t, y 5 5t (Paramétrica) Encuentre una representación implícita y una explícita de la curva x sin t, con 0 t 2Π y cos t x 3 5 sin t, ( y 1 2 )2 ( 1 y 1 2 cos t (x 3)2 )(±2) (x 3)2 (y 1) (Elipse) Las paramétricas y las explícitas son más fáciles de graficar, pero puede ocurrir que no podamos despejar y en términos de x, pero muchas veces podemos sustituir la ecuación por una aproximación lineal válida cerca de un punto. De esta aproximación, por lo general, se puede despejar y. Por lo tanto, cerca de un punto en particular, una ecuación implícita suele definir una aproximación lineal explícita. El punto (1, 1) esta en la curva y 3 + x 2 y + x 3 3. Encontrar una ecuación lineal explícita que de una buena aproximación para el tramo de la curva cerca del punto (1, 1). 1

2 Solución: Consideramos la función f(x, y) y 3 + x 2 y + x 3 que cerca del (1, 1) es f(x, y) f(1, 1) + f x (1, 1)(x 1) + f y (1, 1)(y 1) 3 + 5(x 1) + y(y 1). La curva tiene por ecuación f(x, y) 3, así que cerca del punto (1, 1) esta aproximada cercanamente por 3 + 5(x 1) + y(y 1) 3 que al despejar y resulta y 1 5 (x 1). Esta es la ecuación para la recta y tangente a la curva en el punto (1, 1). Para dimensiones mayores por ejemplo la esfera de radio 1 con centro en el origen puede representarse implícitamente por x 2 + y 2 + z 2 1 ó z 1 x 2 y 2 y z 1 x 2 y 2 ó x sin φ cos θ, y sin φ sin θ, z cos φ con 0 θ 2Π, 0 φ 2Π. Importante: Las curvas en 3 dimensiones no se pueden representar explícita o implícitamente porque una sola ecuación en 3 variables por lo general describe una superficie. Sin embargo, las curvas en el espacio pueden expresarse paramétricamente. Por ejemplo, una hélice en el cilindro de radio 1 con centro en el eje z se puede describir paramétricamente con x cos t, y sin t, z t con < t <. Mostrar que la ecuación implícita z 3 7yz + 6e x 0 no define z como función de x y y. Consideremos x 0, y 1 y obtenemos z 3 7z (z 2)(z 1)(z + 3) 0 Por lo tanto, tenemos 3 soluciones, z no es función de x y y. Este ejemplo muestra que si z 3 7yz + 6e x 0, entonces no podemos esperar escribir z como función explícita de x y y pero aún podemos escribir z como función explícita de x y y en parte de la gráfica. La gráfica de la ecuación z 3 7yz + 6e x 0 es una superficie, y en ella tengo a (0,1,2), (0,1,1) y (0,1,-3). Esperamos encontrar funciones z f 1 (x, y), z f 2 (x, y), z f 3 (x, y) tales que f 1 indique puntos en la superficie cerca de (0,1,2), f 2 cerca de (0,1,1) y f 3 cerca de (0,1,-3). 1) Encontrar f 1 (0, 1), f 2 (0, 1), f 3 (0, 1). Como f 1 indica valores de z cerca del punto (0,1,2) tenemos f 1 (0, 1) 2, en forma análoga f 2 (0, 1) 1 y f 3 (0, 1) 3. 2) Para calcular f 1 (0.02, 1.01) sustituimos x 0.02, y 1.01 en z 3 7yz + 6e x 0 y obtenemos z z + 6e 0,02 0 cuyas soluciones son z , z , z Por lo tanto, f 1 (0.02, 1.01) , f 2 (0,02, 1,01) 1,0127, f 3 (0.02, 1.01) , por lo que 2

3 f 1, f 2, f 3 estan bien definidos para x cerca de cero y y cerca de 1. La tarea es encontrar una función lineal explícita l que aproxime f 1 cerca de (0,1,2) y comparar el valor dado en esta aproximación a los valores f 1 (0, 1) y f 1 (0.02, 1.01). Suponga f(x, y, z) z 3 7yz + 6e x 0 f x 6e x f x (0,1,2) 6 f y 7z f y 0,1,2) 14 f z 3z 2 7y f z (0,1,2) 5 Por lo tanto la aproximación lineal F cerca de (0,1,2) es F (x, y, z) F (0, 1, 2) + F x (0, 1, 2)(x 0) + F y (0, 1, 2)(y 1) + F z (0, 1, 2)(z 2) y como F (0, 1, 2) 0 F (x, y, z) 0 + 6x 14(y 1) + 5(z 2) y al ser F (x, y, z) 0 0 6x 14(y 1) + 5(z 2) z x + 2.8y por lo que l(x, y) x + 2.8y así l(0, 1) 2 y l(0.02, 1.01) 2.04 Teorema de la Función Implícita (1a Versión) Considere la función z f(x, y). Sea (x 0, y 0 ) R 2 un punto tal que F (x 0, y 0 ) 0. Suponga que la función F tiene derivadas parciales continuas en alguna bola con centro (x 0, y 0 ) y que (x 0, y 0 ) 0. Entonces F (x, y) 0 se puede resolver para y en términos de x y definir así una función y f(x) con dominio en una vecindad de x 0, tal que y 0 f(x 0 ), lo cual tiene derivadas continuas en V que pueden (x, y) calcularse como y f (x), x V. (x, y) Importante: Este es un resultado que garantiza la existencia de una función y f(x) definida implícitamente por F (x, y) 0. Esto es, puede resolverse para y en términos de x, pero no nos dice como hacer el despeje. Considere la función f(x, y) e 2y+x + sin(x 2 + y) 1 en el punto (0,0) tenemos F (0, 0) 0. Las 3

4 derivadas parciales de F son F x e 2y+x + 2x cos(x 2 + y) F y 2e 2y+x + cos(x 2 + y) que son siempre continuas. Además, (0, 0) 3 0 de modo que T.F.Im. garantiza una vecindad de x 0 en la cual podemos definir una función y f(x) tal que F (x, f(x)) 0. Obsérvese que en este caso no podemos hacer explícita la función y f(x) sin embargo tal función existe y su derivada es y f (x) e2y+x + 2x cos(x 2 + y) 2e 2y+x + cos(x 2 + y) Considere f(x, y) x 4 e xy3 1 en el punto (1,1) F (1, 1) 1 1 0, F x 4x 3 y 3 e xy3 1 Por lo tanto, F x (1,1) 3, F y 3xye xy3 1 Y así, F y (1,1) 3, y 3 0. El T.F.Im. nos garantiza que en los alrededores de (1,1) el nivel cero de F se ve como la gráfica de la función y f(x) y que su derivada es y 4x3 y 3 e xy3 1. 3xy 2 e xy3 1 Observe que en este caso la función F permite hacer el despeje en términos de x. F (x, y) x 4 e xy3 1 0 x 4 e xy3 1 ln(x 4 ) xy 3 1 ( ln(x 4 ) 1 3 ) + 1 y f(x) que al derivar se debe de llegar al mismo resultado. x Considere z f(x, y) y el punto (x 0, y 0 ) R 2 tal que f(x 0, y 0 ) 0, si F satisface las hipótesis del T.F.Im. sabemos que en los alrededores de (x 0, y 0 ) la curva F (x, y) 0 se puede ver como la gráfica de la función y f(x). Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva F (x, y) 0 en (x 0, y 0 )? 4

5 Todo lo que necesitamos es la pendiente de la recta,y ésta es y (x 0 ) (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (x (x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) 0 0, y 0 ) es decir, (x x 0, y y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0 Para dimensiones superiores tenemos: F (x, y, z) 0 y lo que quiero es z ϕ(x, y), y por lo tanto F ((x, y), (ϕ(x, y)) 0. Usando la regla de la cadena: , entonces se necesita que 0. Por lo tanto, el T.M.Im garantiza que en los alrededores del (x 0, y 0 ), z f(x, y). Teorema de la Función Implícita (2da Versión) Considere la función z f(x 1,..., x n ). Sea p (x 1,..., x n, y) R n+1 un punto tal que F (p) 0. Suponga que la función F tiene derivadas parciales, i 1,..., n, y continuas en alguna bola con centro P i y que 0. Entonces, F (x 1,...,x n ) 0 puede resolverse para y en términos de x y definir así una vecindad v de R n del punto (x 1,...,x n ), una función y f(x 1,...,x n ) lo cual tiene derivadas parciales continuas en v que se pueden calcular con las fórmulas i (x 1,...,x n ) i (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) con (x 1,..., x n ) v. 5

6 Sea la función f(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 3. El punto (1, 1, 1) R 3 es tal que f(p) 0. Las derivadas parciales de F son F x 2x, F y 2y, F z 2z. Estas son continuas. En el punto P 1 se tiene que 0. El T.F.Im. dice entonces que en los alrededores del punto P 1, F (x, y, z) 0 puede verse como la gráfica de una función z f(x, y) que tiene por derivadas parciales a f f 2x 2z x z, 2y 2z y z. De hecho, es claro que la función f es f(x, y) 3 x 2 y 2 que representa una esfera con centro en el origen y radio 3, la cual globalmente no es la gráfica de la función z f(x, y) alguna. Pero alrededor del punto (1, 1, 1) de tal esfera, esto se puede ver como la gráfica de la función f(x, y) 3 x 2 y 2. Sea f(x, y, z) x + y + z ze z entonces F x 1, F y 1, F z 1 e z (z + 1) si el punto P (x 0, y 0, z 0 ) R 3 es tal que x 0 + y 0 + z 0 e z0 0 y z 0 y como 0. El T.F.Im. sugiere que podamos despejar z en términos de x y y y establecer así una función z f(x, y) con z 0 f(x 0, y 0 ) de modo que su gráfica en los alrededores de P coincide con F (x, y, z) 0. Las parciales de la función f son 1 1 e z (z + 1), 1 1 e z (z + 1). Ahora consideramos F (x, y, z) 0 donde F (x 0, y 0, z 0 0, F tiene derivadas parciales continuas en una bola alrededor de P (x 0, y 0, z 0 ) y alguna de ellas no se anula en P, digamos 0. El T.F.Im. nos dice que en los alrededores de P podemos ver a F (x, y, z) 0 como la gráfica de una función z f(x, y). Cuál es la ecuación del plano tangente a esta gráfica en P? Solo necesitamos (x 0, y 0 ), (x 0, y 0 ) (P ), (P ) (x 0, y 0 ) y las calculamos con ayuda del T.F.Im. que nos dice que (x 0, y 0 ) así la ecuación del plano tangente es z z 0 (P ) (P ) (P ) (P ) (x x 0 ) (y y (P ) 0 ) o sea (P ) (P )(x x 0) + (P )(y y 0) + (P )(z z 0) 0 6

7 que se puede escribir como (x x 0, y y 0, z z 0 ) F (P ) Considere la superficie en R 2 definida implícitamente por F (x, y, z) xyz + ln(xyz) z 0. Hallar la ecuación del plano tangente en P (1, 1, 1). Solución: Se tiene yz + 1 x, xz + 1 y, F x (P ) 2, F y (P ) 2, F z (P ) 1. xy + 1 z 1 evaluando en el punto P Así la ecuación del plano tangente procurada es 2(x 1) + 2(y 1) + z 1 0 o sea 2x + 2y + z 5. Consideremos ahora el sistema au + bv k 1 x 0 cu + dv k 2 y 0 con a, b, c, d, k 1, k 2 constantes. Nos preguntamos cuando podemos resolver el sistema para u y v en términos de x y y. Si escribimos el sistema como au + bv k 1 x cu + dv k 2 y y sabemos que este sistema tiene solución si det a b c d 0 en tal caso escribimos 1 1 u det a b (k 1 dx k 2 by), v c d det a b (k 2 ay k 1 cx). c d Esta solución no cambiaria si consideramos au + bv f 1 (x, y) cu + dy f 2 (x, y) donde f 1 y f 2 son funciones dadas de x y y. La posibilidad de despejar las variables u y v en términos de x y y recae sobre los coeficientes de estas variables en las ecuaciones dadas. Ahora si consideramos ecuaciones no lineales en u y v escribimos el sistema como g 1 (u, v) f 1 (x, y) 7

8 g 2 (u, v) f 2 (x, y) nos preguntamos cuando del sistema podemos despejar a uy v en términos de x y y. Mas generalmente, consideramos el problema siguiente, dadas las funciones F y G de las variables u, v, x, y nos preguntamos cuando de las expresiones F (x, y, u, v) 0 G(x, y, u, v) 0 podemos despejar a u y v en términos de x y y en caso de ser posible diremos que las funciones u ϕ 1 (x, y) y v ϕ 2 (x, y) son funciones implícitas dadas. Se espera que n funciones u ϕ 1 (x, y) y v ϕ 2 (x, y) en F (x, y, ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y) G(x, y, ϕ 1 (x, y), ϕ 2 (x, y) con (x, y) en alguna vecindad V. Suponiendo que existen ϕ 1 y ϕ 2 veamos sus derivadas Lo anterior se puede ver como un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y. Aquí se ve que para que el sistema tenga solución det 0 en (P ) (el det Jacobiano) y según la regla de Cramer det, det Analogamente si derivamos con respecto a y obtenemos + (con los dos det Jacobianos). 8

9 + de donde det Al determinante det, det (con los dos det Jacobianos). lo llamamos Jacobiano y lo denotamos por (u, v). Teorema de la Función Implícita (3ra Versión) Considere las funciones z 1 F (x, y, u, v) y z 2 G(x, y, u, v). Sea P (x, y, u, v) R 4 un punto tal que F (P ) G(P ) 0. Suponga que en una bola B R 4 de centro P las funciones F y G tienen (sus cuatro) derivadas parciales continuas. Si el Jacobiano (P ) 0 entonces las expresiones F (x, y, u, v) 0 (u, v) y G(x, y, u, v) 0 definen funciones (implícitas) u ϕ 1 (x, y) y v ϕ 2 (x, y) definidas en una vecindad v de (x, y) las cuales tienen derivadas parciales continuas en v que se pueden calcular. Considere las expresiones F (x, y, u, v) xe u+v + uv 1 0 y G(x, y, u, v) ye u v 2uv 1 0. En el punto P (1, 1, 0, 0) se tiene que F (P ) G(P ) 0 y las parciales son: F x e u+v, F y 0, F u xe u+v + v, F v xe u+v + v G x 0, G y e u v, G u ye u v 2v, G v ye u+v 2u las cuales son siempre continuas. El Jacobiano (u, v) es 9

10 (u, v) det que en el punto P vale xe u+v + u det ye u v 2v xe u+v + v ye u v 2u (u, v) det Entonces el T.F.Im. nos asegura que en los alrededores de P podemos despejar u, v en términos de x y y, así establecer funciones implícitas u u(x, y), v v(x, y) con derivadas parciales (x, v) (u, v) det det e u v xe u+v + v det 0 ye u v 2u xe u+v + u xe u+v + v det ye u v 2v ye u v 2u ye 2u + 2ue u+v 2xye 2u + 2(u v) xe u+v + (u + v) ye u v. 10