2. Sea f(x, y) = x 2 2xy+y 2. Aquí el discriminante es igual a cero. Qué son los puntos críticos: mínimos locales, máximos locales o puntos silla?

Transcripción

1 1. Sea f(x, y) = Ax 2 + B con A 0. Cuáles son los puntos críticos de f? Son máximos locales o mínimos locales? Solución. Los puntos críticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero: x = 2Ax = 0 y = 0. De donde x = 0. Como no hay condición sobre y, los puntos críticos son entonces los de coordenadas (0, y), es decir, el eje y. El discriminante es 0, por lo que el criterio de la segunda derivada no ayuda en este caso. Sin embargo, es fácil ver que si A > 0, la función g(x) = Ax 2 tiene su mínimo en x = 0, por lo que los puntos críticos corresponden a mínimos locales en este caso. De igual manera, si A < 0, los puntos críticos corresponden a máximos locales. 2. Sea f(x, y) = x 2 2xy+y 2. Aquí el discriminante es igual a cero. Qué son los puntos críticos: mínimos locales, máximos locales o puntos silla? Solución. Los puntos críticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero: = 2x 2y = 0 x = y x = 2x + 2y = 0 x = y. y Entonces los puntos críticos tienen coordenadas (a, a). La función se puede escribir como f(x, y) = x 2 2xy +y 2 = (x y) 2, que en los puntos críticos es igual a 0: el menor valor posible para un cuadrado de valores reales; por lo tanto, los puntos críticos son mínimos locales.

2 3. Dada la función f(x, y) = y arctan(x), encuentra sus puntos críticos y determina la naturaleza de cada uno de ellos. [Primer Examen Final B Problema 1] Solución. Las condiciones para que un punto sea crítico son: y = arctan(x) = 0 x = 0 x = y 1 + x 2 y = 0. Por lo que el único punto crítico es el origen. Además, f yy = 0 y f xy = 1 1+x 2 por lo que D = ( 2 f y 2 ) ( 2 ) ( f 2 ) 2 ( ) 2 f 1 x 2 = x y 1 + x 2 < 0, en (0, 0). Entonces, (0, 0) es el único punto crítico y es un punto silla. 4. Determina la naturaleza de los puntos críticos de la función f(x, y) = e 6xy. [Primer Examen Parcial A Problema 1] Solución. En los puntos críticos, las primeras derivadas parciales son cero: f x = 6ye 6xy = 0 f y = 6xe 6xy = 0. Como e 6xy 0 para cualesquiera valores de x y de y, la única solución al sistema es cuando x = y = 0. Las segundas derivadas son: f xx = 36y 2 e 6xy f yy = 36x 2 e 6xy f xy = 36xye 6xy + 6e 6xy. El valor del discriminante en el origen es D = = 36 < 0. Por lo tanto, el origen es el único punto crítico y es un punto silla. 5. Determina la naturaleza de los puntos críticos de la función f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. [Primer Examen Parcial A Problema 1] Solución. Al igualar la primeras derivadas a cero, obtenemos que: } f x = 3x 2 3y = 0 f y = 3y 2 x2 = y 3x = 0 y 2 = x de donde x 4 = x x(x 3 1) = 0, que tiene como soluciones reales a 0 y 1, de manera que hay dos puntos críticos: P 1 (0, 0) y P 2 (1, 1). Las segundas

3 Figura 1.1 Gráfica de f(x, y) = x 3 + y 3 3xy y sus curvas de nivel 6. En los siguientes ejercicios, encuentra los puntos críticos de f y determina si son máximos, mínimos o puntos silla. a) f(x, y) = x 2 y 2 + xy b) f(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy c) f(x, y) = e 1+x2 y 2 d) f(x, y) = 3x 2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4 e) f(x, y) = cos ( x 2 + y 2). Aquí sólo considera los puntos críticos (0, 0), ( π/2, π/2), y (0, π). Solución. a) Los puntos críticos están determinados por las ecuaciones: f x = 2x + y = 0 f y = 2y + x = 0 cuya única solución es el punto (0, 0). El discriminante es D = f xx f yy f xy 2 = 2 ( 2) 1 2 = 5 < 0, por lo que el origen es el único punto crítico y es un punto silla.

4 b) Los puntos críticos están determinados por las ecuaciones: f x = 2x + 2y = 0 f y = 2y + 2x = 0 cuya solución es x = y. El discriminante es D = 0, por lo que el criterio del discriminante no decide el tipo de punto crítico. Sin embargo, ya que función es f(x, y) = (x+y) 2, es decir, el cuadrado de un número real, tenemos que el menor valor posible es precisamente el que se da en los puntos críticos, que es cero. Por lo tanto, los puntos críticos son de la forma (x, x), y son mínimos locales. c) Los puntos críticos están determinados por las ecuaciones: f x = 2xe 1+x2 y 2 = 0 f y = 2ye 1+x2 y 2 = 0 La función exponencial es positiva para cualquier valor real del exponente, por lo que la única solución es el punto (0, 0). Las segundas derivadas son: f xx = 4x 2 e 1+x2 y 2 + 2e 1+x2 y 2 f yy = 4y 2 e 1+x2 y 2 2e 1+x2 y 2 f xy = 4xye 1+x2 y 2 el discriminante en el origen es D = 4e 2 < 0. Entonces, el origen es el único punto crítico y es un punto silla. d) Los puntos críticos están determinados por las ecuaciones: f x = 6x + 2y + 2 = 0 f y = 2x + 2y + 1 = 0 cuya única solución es x = y = 1 4. El discriminante es D = 8 > 0, por lo que el punto es un extremo. Dado que los valores de f xx y f yy son positivos, tenemos que el punto ( 1 4, 4) 1 es un mínimo local. e) Los puntos críticos están determinados por las ecuaciones:

5 Como L hh y L tt son negativas, el punto crítico es un máximo relativo. La respuesta es entonces que el alcance es máximo cuando h = 25 % de humedad y t = 25 C. 9. Encuentra los puntos críticos de la función z = y3 3 + x2 y 2x 2 2y y determina su naturaleza. Solución. Los puntos críticos se obtienen al igualar a cero las primeras derivadas parciales: z = 2xy 4x = 0 x(y 2) = 0 x z y = y2 + x 2 4y = 0 x 2 = 4y y 2 = y(4 y) Al utilizar una solución de la primera ecuación y sustituirla en la segunda obtenemos: a) Si x = 0, entonces y(4 y) = 0, de donde y = 0 ó y = 4. b) Si y = 2, entonces x 2 = 8 4 = 4, de donde x = 2 ó x = 2. Por lo tanto, hay cuatro puntos críticos: P 1 (0, 0), P 2 (0, 4), P 3 (2, 2) y P 4 ( 2, 2). Las segundas derivadas parciales son: z xx = 2y 4 z yy = 2y 4 D = 4(y 2)2 4x 2 z xy = 2x

6 El discriminante es D = acn 2 (n 1) 2 (xy) (n 2), que es cero en el 10. Sea f(x, y) = ax n + cy n, en donde n es un entero mayor que 2 y ac 0. a) Encuentra los puntos críticos. b) Encuentra el discriminante en cada punto crítico. c) Encuentra los valores extremos locales y absolutos suponiendo que Solución. 1) a > 0, c > 0 2) a < 0, c < 0 3) a > 0, c < 0 a) Las primeras derivadas son x = anxn 1 y y = cnyn 1. Como a, c son distintos de cero y n > 2, el origen es el único punto crítico. b) La matriz de segundas derivadas es: ( ) ( ) fxx f xy an(n 1)x n 2 0 = f yx f yy 0 cn(n 1)y n 2

7 De manera análoga al caso anterior, los puntos críticos son máximos locales no estrictos con valor de cero. 12. Encuentra los puntos críticos de la función f(x, y, z) = x y2 + z2 2 y determina su naturaleza. + xy xz + 2yz x y 6z [Primer Examen Parcial A Problema 3] Solución. En los puntos críticos, las primeras derivadas parciales son cero: f x = 2x + y z 1 = 0 f y = 3y + x + 2z 1 = 0 f z = z x + 2y 6 = 0. De la primera ecuación, z = 2x + y 1. Al sustituir z en la segunda y tercera ecuaciones, obtenemos 5x y = 3 y x + 3y = 7, respectivamente.

8 La solución de este sistema es x = 1 y y = 2, de donde z = 3. Es decir, sólo hay un punto crítico, que es el punto P (1, 2, 3). La matriz de las segundas derivadas es f xx f xy f xz f yx f yy f yz = f zx f zy f zz El Hessiano es entonces h h h2 3 + h 1 h 2 + 2h 2 h 3 h 1 h 3. Tomando h 1 = h 3 = 0, el Hessiano es 3 2 h2 2 < 0. Tomando h 2 = h 3 = 0, el Hessiano es h 2 1 > 0. Por lo tanto el único punto crítico (1, 2, 3) es un punto silla. Por otro lado, si se obtienen los valores propios de la matriz (de manera numérica), se encuentra que son ( 4,11009, 2,62981, 1,48028), lo que confirma que el punto crítico es un punto silla. 13. Determina la naturaleza de los puntos críticos de la función f(x, y, z) = x y3 + z 2 2x 4y + 4z + 1. [Primer Examen Parcial A Problema 3] Solución. En los puntos críticos, las primeras derivadas parciales son cero: f x = 2x 2 = 0 f y = y 2 4 = 0 f z = 2z + 4 = 0 Al resolver cada una de las ecuaciones, obtenemos x = 1, y = ±2 y z = 2, respectivamente. Los puntos críticos son entonces, P 1 (1, 2, 2) y P 2 (1, 2, 2). La matriz de las segundas derivadas es f xx f xy f xz f yx f yy f yz = 0 2y 0 f zx f zy f zz De aquí obtenemos que P 1 es un mínimo, ya que todos los valores propios son positivos y P 2 es un punto silla, ya que dos valores propios son positivos y uno es negativo. 14. Verifica que el campo escalar f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4 4xyz tiene un punto crítico en (1, 1, 1) y determina la naturaleza de este punto crítico calculando los valores propios de su matriz Hessiana. Solución. Las derivadas parciales de primer orden son: f x = 4x 3 4yz f y = 4y 3 4xz f z = 4z 3 4xy

9 y se anulan en el punto (1, 1, 1), por lo que el punto sí es crítico. La matriz de las segundas derivadas es: f xx f xy f xz f yx f yy f yz = 12x2 4z 4y 4z 12y 2 4x f zx f zy f zz 4y 4x 12z 2 Al evaluar en el punto (1, 1, 1), tenemos que la matriz Hessiana es:

10 está en los puntos (±3, ± 5). Cuando x 2 = 4 + y 2, la función se reduce a y 2 + 9, lo que da lugar a los mismos puntos para el máximo absoluto. En resumen, la función alcanza su mínimo absoluto en el origen, donde vale 5, y su máximo absoluto en los puntos (±3, ± 5) donde vale Encuentra los puntos críticos de la función f(x, y, z) = 1 2 x x3 x 2 y 2x y z2 4x + 2y z y determina su naturaleza. Solución. Los puntos críticos son aquellos en los que las primeras derivadas parciales de la función son cero: f x = 2x 3 + x 2 2xy 4x 4 = 0 f y = x 2 + y + 2 = 0 f z = z 1 = 0.

11 respectivamente. Al diagonalizar estas matrices para obtener sus valores De la última ecuación, z = 1, y de la segunda, y = x 2 2, que al sustituir en la primera ecuación lleva a x 2 = 4 x = ±2 y = 2. Por lo tanto, los puntos críticos son (±2, 2, 1). La matriz de segundas derivadas es: 6x2 + 2x 2y 4 2x 0 2x que evaluada en los puntos críticos, se reduce a: y