Tema 6: Funciones de varias variables

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1 Tema 6: Funciones de varias variables de febrero de 6 Preliminares: derivadas parciales. Sea F una función de dos variables, como por ejemplo la función definida por F(x; y) = x y 3 Podemos derivarla con respecto a x, considerando en este cálculo la variable y como constante. Para cualquiera constante c, la derivada de cx es cx. Por tanto, la derivada con respecto a x de F es y 3 x (utilizar c = y 3 ). Notamos: (x; y) = y3 x. Es la derivada parcial de F con respecto a x. Podemos derivar también F con respecto a y, considerando en este cálculo la variable x como constante. Para cualquiera constante c, la derivada de cy 3 (con respecto a la variable y) es 3cy. Por tanto, la derivada con respecto a y de F es 3x y (utilizar c = x ). Notamos: (x; y) = 3x y. Es la derivada parcial de F con respecto a y. Las derivadas parciales de F son nuevas funciones, que pueden ser evaluadas en diferentes puntos, Por ejemplo, las derivadas parciales de F en el punto (5; 3) son: (5; 3) = 7, (5; 3) = 775. Podemos calcular, en su turno, las derivadas parciales de las derivadas parciales de F. Se nota: F para, F para, F para, En el ejemplo anterior, el de F(x; y) = x y 3, obtenemos F (x; y) = y3, F = 6xy, Repasos sobre funciones de una variable. Función de una variable. F = 6xy, F para. F = 6x y. Una función f de una variable tiene como conjunto de salida algún subconjunto Ω de R y como conjunto de llegada R. El conjunto Ω se llama dominio de la función f. La función asocia a cada elemento x de Ω un elemento de R. Es el elemento notado f (x).

2 tema 6: funciones de varias variables La notación f : Ω R significa precisamente que f es una función de Ω en R (es decir: con dominio Ω y conjunto de llegada R). Gráfica. La gráfica de f es el conjunto de los pares (x; y) tal que x Ω, y R e y = f (x). Si f es una función continua, su gráfica es una curva del plano. Entorno. Decimos que un subconjunto Ω de R es un entorno del punto x R si Ω contiene un intervalo abierto (a; b) que contiene, en su turno, x : x (a; b) Ω. Derivada. Sea Ω R y x R tal que Ω sea un entorno de x. Sea f : Ω R Decimos que f es derivable en x si existe una aplicación lineal x αx + β que aproxima mejor a f que todas las otras aplicaciones lineales x ax + b, cerca de x. Más explicitamente: si para cualesquiera a y b, hay un entorno I de x (contenido en Ω) tal que para cualquier x I, f (x) (αx + β) f (x) (ax + b) En este caso, se tiene necesariamente que esta mejor aproximación lineal es dada por donde es la derivada de f en x. αx + β = f (x ) + f (x )(x x ) f (x ) = lím x x f (x) f (x ) x x Aproximación de Taylor de orden. Se tiene, por tanto, cerca de x, la aproximación: f (x) f (x ) + f (x )(x x ). Es la aproximación de Taylor de orden. Recta tangente. Gráficamente, f es derivable en x si su gráfica tiene, cerca del punto (x ; f (x )), una única linea (no vertical) que mejor la aproxima. En este caso, esta recta es la tangente a la gráfica en (x ; f (x )) y admite como ecuación: y = f (x ) + f (x )(x x ). La derivada f (x ) es la pendiente de esta tangente. Extremos absolutos. Sea Ω R, sea A Ω y sea x A. Sea f : Ω R

3 tema 6: funciones de varias variables 3 Decimos que f admite un máximo absoluto sobre A en x si f (x ) f (x) para cualquier x A. Es un máximo absoluto estricto si la desigualdad es estricta: f (x ) > f (x) para cualquier x A distinto de x. Se definen de manera análoga: mínimo absoluto, mínimo absoluto estricto. Los extremos absolutos de f son sus máximos y sus mínimos. Extremos locales. Supongamos ahora que Ω es un entorno de x. Decimos que f admite un máximo local en x si existe un entorno I de x, contenido en Ω, tal que f (x ) f (x) para cualquier x I. Es un máximo local estricto si existe un entorno I de x donde la desigualdad sea estricta: f (x ) f (x) para cualquier x I distinto de x. Se define de manera análoga: mínimo local y mínimo local estricto. Los extremos locales de f son sus máximos locales y mínimos locales. Teorema. Si f es derivable en x y admite un extremo local en x, entonces f (x ) =. Un punto x tal que f (x ) = se llama un punto crítico de f. Ojo: no todos los puntos críticos de f corresponden a extremos locales. Clasificación de los puntos críticos. Si f admite un desarrollo de Taylor al orden en x, f (x) f (x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) y que x es un punto crítico para f (es decir, f (x ) = ), obtenemos la aproximación f (x) f (x ) + f (x ) (x x ) que nos permite hacer un estudio más fino del punto crítico. En efecto, para x cerca de x, vemos que f (x) f (x ) tiene el signo de f (x ) (si no se cancela esta cantidad). Nos da: Teorema. Sea f una función definida en un entorno de x, derivable tres veces en un entorno x. Supongamos que x es un punto crítico de f. Entonces: Si f (x ) >, entonces f admite un mínimo local en x. Si f (x ) <, entonces f admite un máximo local en x. Puede ocurrir que f (x ) = : el teorema no permite concluir en aquel caso. Funciones de dos variables Consideramos ahora funciones F : Ω R cuyo dominio Ω es un subconjunto del plano R. Sus argumentos son, por tanto,

4 tema 6: funciones de varias variables 4 pares de números ( x; y). Notaremos ~u = ( x; y). F, asocia por tanto, a cualquier ~u = ( x : y) Ω un número F u) = F ( x; y). Es una función de dos variables. Gráfica. La gráfica de F es el conjunto de los puntos ( x; y; z) R3 (puntos del espacio) tal que ( x; y) Ω y z = F ( x; y). Si F es continua, es una superficie del espacio. (a) Gráfica de F. que aproxima mejor a F cerca de u~ que todas las otras aplicaciones lineales ( x; y) 7 ax + by + c Diferenciabilidad. La noción de diferenciabilidad corresponde, para las funciones de varias variables, a la noción de derivabilidad para las funciones de una variable. Sea u~ Ω tal que u~ sea un entorno de u~. Decimos que F es diferenciable en u~ si existe una función lineal: ( x; y) 7 αx + βy + γ.7 Entorno.Sea u~ = ( x ; y ) Ω. Decimos que Ω es un entorno de u~ si Ω contiene un disco abierto (= un disco sin su frontera) centrado en u~ (b) Curvas de nivel de F. Plano tangente. Gráficamente, F es diferenciable en u~ si su gráfica admite un plano (no vertical) que mejor la aproxima cerca del punto ( x ; y ; F ( x ; y )). Este plano es el plano tangente a la gráfica en dicho punto. Vector gradiente. Si F es diferenciable en u~ entonces su mejor aproximación lineal αx + βy + γ se pone en la forma: u )( x x ) + u )(y y ) + F u ) donde y son las derivadas parciales de F (con respecto a las variables x e y respectivamente). Recordemos la formula del producto escalar de dos vectores: (c) Curvas de nivel para la función altitud. ( A; B) (C; D ) = AC + BD Reescribimos la formula de la mejor aproximación lineal de F cerca de u~ por medio de un producto escalar: u ); u ) ( x x ; y y ) + F u ) El vector de las derivadas parciales es el vector gradiente de F en u~. Se nota u~ F. Tenemos, por tanto, u~ F = u ); u ) y la mejor aproximación lineal de F cerca de u~ es F u ) + u~ F u u~ ). (d) Curvas de nivel para la función presión atmosférica. Figura : En a, gráfica de la función F definida por F ( x, y) = ( x y)/( + x + y ). Las curvas de nivel dan otra representación conveniente de lla función F (b). Estamos acostumbrados a las curvas de nivel de las funciones altitud (c) y presión (d).

5 tema 6: funciones de varias variables 5 Aproximación de Taylor de orden. Para una función de una variable, la aproximación de Taylor de orden de f cerca de x era f (x) f (x ) + f (x )(x x ). Para una función de dos variables, la aproximación de Taylor de orden de F cerca de u es F( u) F( u ) + u F ( u u ). Ecuación del plano tangente en (x ; y ; F(x ; y )). Para una función de una variable, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (x ; f (x )) era y = f (x ) + f (x )(x x ). Para una función de dos variables, la ecuación del plano tangente a la gráfica de F en (x ; y ; F(x : y )) es Figura : Gráfica la función F definida por F(x, y) = (x y)/( + x + y ), con uno de sus planos tangentes. z = F( u ) + u f ( u u ). Extremos locales Definiciones. Se definen los máximos, mínimos, extremos, locales o absolutos, estrictos o no, de las funciones de dos variables, como para las funciones de una sola variable. Puntos críticos. Los resultados sobre extremos locales de funciones de una variable se extienden de la manera siguiente, para funciones de dos variables. Teorema 3. Si F es diferenciable en u y admite un extremo local en u, entonces u f = (; ). Nótese que la cancelación del gradiente es equivalente a la cancelación simultánea de las dos derivadas parciales: { u f = (; ) ( u ) =, ( u ) =. Un punto u tal que u F = (; ) se llama un punto crítico de F. Ojo: no todos los puntos críticos de F corresponden a extremos locales. Clasificación de los puntos críticos. El teorema de clasificación de puntos críticos para funciones de dos variables es el siguiente. Teorema 4. Sea F una función definida en un entorno de u, que admite derivadas parciales de orden en un entorno de u. Supongamos que u es un punto crítico de F. Sea F ( u H = ) F ( u ) F ( u ) F ( u ) Es la matriz hessiana de F en u.

6 tema 6: funciones de varias variables 6 Si det H >, y los coeficientes en la diagonal de H son estrictamente positivos, entonces F admite un mínimo local en u. Si det H >, y los coeficientes en la diagonal de H son estrictamente negativos, entonces F admite un máximo local en u. Si det H <, entonces F no admite ni máximo local, ni mínimo local en u, pero tiene un punto de silla en u : es un punto que tiene, en cualquier de sus entornos, puntos u tal que F( u) > F( u ) como puntos u tal que F( u) < F( u ). En los otros casos el teorema no permite concluir. Ejemplo. Los ejemplos más simples de aplicación de este teorema, que conviene recordar son: F(x, y) = x + y (mínimo local en (; )), F(x, y) = (x + y ) (máximo local en (; )), y F(x, y) = xy (punto silla en (; )). (a) Máximo local estricto. Ejemplo. Consideremos la función f definida por f (x, y) = y xy y clasifiquemos sus puntos críticos. Para ello, calculamos f f (x, y) = y (x, y) = x Por tanto, f (x, y) = f (x, y) = { y = x = Por tanto, f tiene un único punto crítico, es (; ). La matriz hessiana de f en (x; y) es: ( ) (b) Mínimo local estricto. La matriz hessiana de f en el punto crítico (; ) es la misma. Su determinante es negativo (vale ): el punto (; ) es un punto de silla para f. Derivada direccional Dada una función F de dos variables x, y, con dominio Ω, un punto u = (x ; y ) en Ω tal que Ω sea un entorno de u, y una dirección definida por un vector v = (a, b), definimos una nueva función, de una sola variable t, por (c) Punto de silla. Figura 3: Los tres tipos genéricos de puntos críticos para una función de dos variables. f (t) = F( u + t w) donde w es el vector v normalizado: w = v v = (a; b). a +b La derivada direccional de F en el punto u en la dirección indicada por el vector v es f (). La denotaremos D v F( u ). Tiene las propiedades siguientes.

7 tema 6: funciones de varias variables 7 Teorema 5. Las derivadas parciales de F son sus derivadas direccionales en las direcciones indicadas por (; ) y (; ): ( u ) = D (;) F( u ), ( u ) = D (;) F( u ) Más generalmente, la derivada direccional es dada por el producto escalar siguiente D v F( u ) = u F w donde w es el vector unitario obtenido de v por normalización: w = v v (a) Curvas de nivel. Ejemplo 3. Calcular la derivada direccional de la función F definida por F(x, y) = x y, en el punto u = (, ), en la dirección indicada por el vector v = (, ). Tenemos que v = + =. El vector unitario w que indica la misma dirección es w = ( v v =, ). El gradiente de F es (x,y) F = (xy; x ). El gradiente de F en u = (, ) es, por tanto, u F = (4; ). Por consiguiente, (b) Vectores gradiente. D v F((, )) = u F w = (4; ) (, ) = 5/. Podemos calcular la misma derivada direccional con la definición. Para esto, ponemos f (t) = F( u + t w). Entonces, f (t) = F((; ) + t(/ ; / )) = F( + t/, + t/ ) = ( + t/ ) ( + t/ ) Derivamos con respecto a t, obteniendo f (t) = ( + t/ )( + t/ ) + ( + t/ ) Para t = obtenemos: D v F((, )) = f () = + = 5/. Teorema 6. Consideramos todas las derivadas direccionales de F en un punto u. Entonces: Tienen un máximo en la dirección indicada por el gradiente u F. Tienen un mínimo en la dirección indicada por u F. Se cancelan en las direcciones ortogonales al gradiente: si v es ortogonal a u F entonces D v F(uo) =. El gradiente dirige, por tanto, en cada punto, la linea de máximo pendiente en la gráfica de la función, indicando el sentido de la subida (c) Curvas de nivel y vectores gradiente juntos. Figura 4: Curvas de nivel y vectores gradiente para la función f definida por f (x, y) = (x y)/( + x + y ). Se ven un máximo local (al cuál apuntan los vectores gradientes) y un mínimo local (del cuál huyen). Se aprecia que los vectores gradientes son ortogonales a las curvas de nivel.

8 tema 6: funciones de varias variables 8 Funciones de más de dos variables. Podemos considerar igualmente funciones de n variables, para cualquier n. Son funciones del tipo F : Ω R cuyo dominio Ω es un subconjunto del espacio R n, que asocian a cada vector u = (x, x,..., x n ) un número F( u) = F(x; y). Indicamos brevemente como se generalizan los conceptos introducidos para funciones de dos variables. Gráfica. La gráfica de F es el conjunto de los puntos (x ; x ;... ; x n ; z) R n+ tal que (x ; x ;... ; x n ) Ω y z = F(x ; x ;... ; x n ). Resulta imposible la representación visual de espacios de mayor dimensión por nuestras propias limitaciones físicas. Sin embargo es relevante seguir usando el lenguaje y la intuición geométrica en tales espacios. Así, si F es continua, la gráfica de F es una hipersuperficie de R n+. Si, además, F es diferenciable, esta gráfica admite hiperplanos tangentes. Diferenciabilidad. la función F es diferenciable en u si admite cerca de u una mejor aproximación lineal. Esta mejor aproximación lineal es necesariamente de la forma F( u) F( u ) + u F ( u u ) que involucra el gradiente, es decir el vector de las derivadas parciales de orden : ( u F = ( u ); ) ( u );... ; ( u ) n La ecuación del hiperplano tangente en un punto donde F es diferenciable es z = F( u ) + u F ( u u ) donde u = (x ; x ;... ; x n ). Puntos críticos y extremos locales. Se define de manera similar al caso de dos variables los puntos críticos (puntos donde el gradiente se cancela) y los extremos (locales o absolutos, estrictos o no). Todos los extremos locales son puntos críticos. La casuística de los puntos críticos es, sin embargo, más rica. Derivada direccional. Se define la derivada direccional como en el caso de las funciones de dos variables. El vector gradiente indica la dirección de crecimiento máximo, y hay crecimiento nulo en las direcciones ortogonales al gradiente.