Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) x a. Además, diremos que f es continua en U si f es continua en cada punto de U.

Transcripción

1 Coordinación de Matemáticas III (MAT 023) 1 er Semestre de 2013 Continuidad de Funciones en Varias Variables 1. Continuidad Definición 1.1. Sean U R n abierto, a U y f : U R una función real de varias variables. Diremos que f es continua en a si: ε > 0, δ > 0, x a R n < δ = f (x) f < ε (1) Además, diremos que f es continua en U si f es continua en cada punto de U. Observación 1.1. Note que la definición dada anteriormente ( es decir, por la proposición en (1) ), dice que f es continua en a si: f (x) = f x a Observación 1.2. En lo que sigue se consideran dominios abiertos, pero en general sólo basta pedir que las propiedades se cumplan en una vecindad del punto en cuestión a, es decir, en una bola B(a, r) contenida en el dominio. Definición 1.2. Diremos que f : U R n R es discontinua en a U, si f no es continua en a. Ejemplo 1.1. Sea π k : R n R la k ésima proyección de x R n. Entonces, π k es continua en R n. En efecto, para cada a R n, tenemos que: Bastará tomar δ = ε. π k (x) π k = x k a k x a Ejemplo 1.2. Demuestre que f : R 2 R definida por: xy 2 f (x, y) = x 4 + y 2, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) es continua en (0, 0). Solución. Basta notar que: xy 2 x 4 + y 2 x y2 y 2 = x Así, si (x, y) (0, 0), entonces x 0. Por el Teorema del Sandwich se concluye que: (x,y) (0,0) xy 2 x 4 + y 2 = 0 Como f (0, 0) = 0, se tiene que f es continua en (0, 0). 1

2 Ejemplo 1.3. Sean U = { (x, y) : x < y 2} R 2 y f : U R definida por: Es continua en (0, 0)? Solución. Sabemos que z = f (x, y) = xy x 2 +y 2 xy x 2 + y 2, (x, y) U 0, (x, y) / U definida para todo (x, y) R 2 no tiene ite en (0, 0). Sin embargo, la función f debe analizarse con mayor cuidado en (0, 0), puesto que si consideramos el cambio de variables: { x = r cos θ y = r sin θ tal como lo hicimos en el caso de z = xy, pero con dominio máximo R 2 {(0, 0)}, notamos x 2 +y 2 que que (x, y) (0, 0), pero (x, y) U. Por tanto, debe exigirse lo siguiente al cambio de variables: Así: (x,y) (0,0) (x,y) U y por tanto f es continua en (0, 0). (x, y) (0, 0) r 0 θ 0 f (r cos θ, r sin θ) = (r,θ) (0,0) (r cos θ) (r sin θ) r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = cos θ sin θ (r,θ) (0,0) = 0 Ejemplo 1.4. Se dice que una función f : U R n R m es lipschitziana en U si: K > 0, x, y U, f (x) f K x y La constante K se llama constante de Lipschitz. Se puede observar que toda función lipschitziana es continua en U. En efecto, supongamos que f : U R n R m es una función lipschitziana en U y que ε > 0, entonces: f (x) f K x y < Kδ Así, tomando δ = ε K, se verifica que f es continua en y. Como y U es cualquiera, se obtiene, finalmente, la continuidad de f en U. Observación 1.3. El siguiente teorema facilita la identificación de funciones continuas: Teorema 1.1 (Álgebra de funciones continuas). Sean f, g : U R n R funciones continuas en a U y α R, entonces αf, f + g, f g y fg son continuas en a. Si g 0, entonces f/g es continua en a. Ejemplo 1.5. Son funciones continuas: 2

3 1. f (x, y) = 3xy 2 + z 2 2. g (x, y, z) = sin x+sin y+sin z x 2 +y 2 +z 2 +1 Teorema 1.2. Sean f : U R n R m y g : V R m R p tales que f (U) V. Suponga, además, que f es continua en a U y que g es continua en b = f V, entonces: g f : U R n R p es continua en a. Demostración. Sea ε > 0. Como g es continua en b = f, existe η > 0 de modo que si y V, entonces: y b < η = g (y) g (b) < ε Ahora bien, para y = f (x), existe δ > 0 tal que: x a < δ = f (x) f < η Así, para x U tal que: x a < δ = f (x) V f (x) f < η = g (f (x)) g (f ) < ε Ejemplo 1.6. Una aplicación inmediata del teorema anterior es el cambio de variables. Ilustramos lo anterior con el siguiente ejemplo: sea f : R 2 R definida por: sin(x 2 +y 2 ), si x f (x, y) = 2 + y 2 0 x 2 +y 2 1, si x 2 + y 2 = 0 Estudie la continuidad de f en (0, 0). Solución. Naturalmente, haciendo u = x 2 + y 2, tenemos que: Así: (x, y) (0, 0) u 0 sin ( x 2 + y 2) sin u (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = u 0 u = 1 Como f (0, 0) = 1, obtenemos que f es continua en (0, 0). Ejemplo 1.7. Son funciones continuas: 1. f (x, y) = x 2 + sin 2 y g (x, y, z) = x +y 2 +z 2 z 2 +y 2 +x y 3

4 Observación 1.4. La continuidad para una función vectorial de varias variables f : U R n R m en a U se define por: ε > 0, δ > 0, x a R n < δ = f (x) f R m < ε Observación 1.5. Al igual que en la definición de ite para funciones vectoriales, tenemos que la continuidad de F : U R n R m definida por x F (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)) en a U se obtiene a través de la continuidad de las funciones componentes en a. Más precisamente: Teorema 1.3. Sean F : U R n R m una función vectorial definida por: F (x) = ( f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x) ) y a U. Entonces, F es continua en a, si y solo si, f i es continua en a, para cada i = 1, 2,..., m. Demostración. Se deja como ejercicio. Ejemplo 1.8. Sea F : R 2 R 3 definida por: es continua en el plano. F (x, y) = ( x 2 y, sin x, 3x 2 cos y ) Ejemplo 1.9. Sea f : R 2 R la función definida por: 2x y 2 +2, si x 2 + y 2 1 f (x, y) = 1 x 2 y 2 0, si x 2 + y 2 > 1 Analizar, completamente, la continuidad de f (x, y). Solución. Consideremos los siguientes subconjuntos del plano: Tenemos los siguientes casos: A = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 1 } B = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 } C = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1 } 1. Si (x, y) A, entonces f (x, y) = 0. Luego, f es continua en A por ser una función constante en A. 2. Si (x, y) C, entonces f (x, y) = 2x y2 +2, con 1 1 x 2 y x2 y 2 > 0. Luego, f es continua 2 en C por álgebra de funciones continuas y composición de funciones continuas. 4

5 3. Si (a, b) B, entonces, f (x, y) no puede ser continua en (a, b) B si: pues, si: 2a b (x, y) (a, b) = { 1 x 2 y 2 0 2x y k, con k 0 } con lo cual la expresión 2x y x 2 y 2 que: se indefine. Por tanto, los puntos (a, b) B tales 2a b = 0 están dados por el sistema: { 2a b = 0 a 2 + b 2 = 1 Es decir, (a, b) = ( 1, 0). Por tanto, investigamos el ite: Note que: (x,y) ( 1,0) 2x y x 2 y 2 2x y x 2 y 2 = 1 x2 y 2 + x 2 + 2x x 2 y 2 = 1 x 2 y 2 + (x + 1)2 1 x 2 y 2 Por tanto, para que el ite: (x,y) ( 1,0) exista es necesario y suficiente que el ite: exista. Sin embargo, note que: { x 1 (x,y) ( 1,0) y que además, al considerar la trayectoria: vemos que: (x,y) ( 1,0) 2x y x 2 y 2 (x + 1) 2 1 x 2 y 2 } (x + 1) 2 (x + 1) 2 = y 0 1 x 2 y = 0 2 x 1 1 x 2 ϕ = { (x, y) C : ( x 4 + 4x 3 + 7x 2 + 4x ) = y 2} (x + 1) 2 1 x 2 y 2 = x 1 (x + 1) 2 1 x 2 + x 4 + 4x 3 + 7x 2 + 4x = 1 5

6 Por tanto: no existe. En este caso, el ite: (x,y) ( 1,0) (x,y) ( 1,0) (x + 1) 2 1 x 2 y 2 2x y x 2 y 2 no existe. Así, f no es continua en ( 1, 0). Por lo tanto, f es continua en: R 2 { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 }. Ejemplo Estudie la continuidad en R 2 de la función g : R 2 R definida por: { x 2 + sin y 2, si y x g (x, y) = x 2 xy + y 2 + cos y 2, si y > x Ejemplo Estudie la continuidad de R 2 de la función f : R 2 R definida por: x 2 sin (x + y), si x y f (x, y) = x y 0, si y > x Teorema 1.4 (Weierstrass). Sea K R n un conjunto compacto no vacío y f : K R una función continua sobre K. Entonces, existen x 1, x 2 K tales que: f (x 1 ) = mín x K f (x 2 ) = máx x K En otras palabras: f (x 1 ) f (x) f (x 2 ) para todo x K. Ejemplo Note que: alcanza sus extremos en: f (x, y, z) = sin xy + e z2 S = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1 } Teorema 1.5. Sea f : U R n R m una función continua en U, entonces: 1. Si U es conexo, entonces f (U) es conexo. 2. Si U es compacto, entonces f (U) es compacto. 6

7 Direnciabilidad de Funciones en Varias Variables. 2. Diferenciación en varias variables 2.1. Derivadas parciales Observación 2.1. En lo que sigue denotaremos por e i, con i = 1, 2,..., n, a los n vectores de la base canónica de R n. Más precisamente: e i = (δ ij ) n j=1, i = 1, 2,..., n con: δ ij = { 1, i = j 0, i j Definición 2.1. Sean f : U R n R y a U. Se define la i ésima derivada parcial de f en a como el ite: si este último existe. f (a + t e i ) f = t 0 t Observación 2.2. Para f : U R n R, las derivadas parciales se anotan:, f xi, D i f, etc. Observación 2.3. Si n = 2, f : U R 2 R y (a, b) U, entonces: y: f (a + t, b) f (a, b) (a, b) = t 0 t f (a, b + t) f (a, b) (a, b) = y t 0 t Observación 2.4. En particular, si n = 2, 3 y 4, anotamos: 1 =, 2 = y, 3 = z y 4 = w, según corresponda respecto al número de variables de f. Ejemplo 2.1. Sea f (x, y, z) = 2xyz 2 + sin ( xy 2) + 2x. Note que: Ejemplo 2.2. Verifique que: si: = 2yz2 + y 2 cos ( xy 2) + 2 y = 2xz 2 + 2xy cos ( xy 2) z = 4xyz u + u y + u z = 1 u = x + x y y z 7

8 Ejemplo 2.3. Verifique que: xz x + yz y = xy + z si: z = xy + xe y x Ejemplo 2.4. Sea f : R 2 R la función definida por: { xy, si (x, y) (0, 0) x f (x, y) = 2 +y 2 0, si (x, y) = (0, 0) Calcule las derivadas parciales de f en (0, 0). Solución. Es importante recordar que f no es continua en (0, 0). Sin embargo, la continuidad no afecta la existencia de las derivadas parciales. En efecto: Análogamente, se tiene que y (0, 0). f (t, 0) f (0, 0) (0, 0) = t 0 t 0 0 = = 0 t 0 t Ejemplo 2.5. Sea f : R 2 R la función definida por: { x 2, y x f (x, y) = xy, y > x Calcule (2, 0) y y (1, 1). Solución. Calculamos y (1, 1). Note que: f (1, 1 + t) f (1, 1) t 0 + t = t (1 + t) 1 t = = 1 t t 0 + t y, análogamente, se obtiene que: Por tanto, y (1, 1), no existe. f (1, 1 + t) f (1, 1) t 0, si t 0 Observación 2.5. Siempre es conveniente notar el sentido geométrico de la derivada parcial. En efecto, si la derivada parcial se toma en a U R n, el número real mide la razón de cambio de f en a, en la dirección del vector canónico e i. En particular, si f : R 2 R y que (a, b) existe. Entonces, como: f (a + t, b) f (a, b) (a, b) = t 0 t f (x, b) f (a, b) = x a x a justamente (a, b) es la pendiente de la recta tangente de la curva que resulta cortar la superficie z = f (x, y) con el plano y = b en el punto (a, b, f (a, b)). 8

9 2.2. Diferenciabilidad Definición 2.2. Sean U R n un conjunto abierto no vacío y f : U R una función. Diremos que f es diferenciable en a U si existe una transformación lineal T : R n R tal que: f (a + h) f T h = 0 h 0 h Observación 2.6. Si n = 2, por ejemplo, el ite en la definición anterior toma la forma: f (a + h, b + k) f (a, b) T (h, k) = 0 (h,k) (0,0) h 2 + k 2 Recordemos, además, que si T : R n R es una transformación lineal, entonces existen constantes A 1, A 2,..., A n R (respecto, por ejemplo, de las bases canónicas, respectivamente) tales que: ( ) [T ] = A 1 A 2 A n M 1 n (R) El siguiente teorema indica la condición necesaria que deben cumplir las constantes A 1, A 2,..., A n en caso de que una función f sea diferenciable en a: Teorema 2.1. Sean U R n un conjunto abierto y f : U R una función diferenciable en a U, entonces: para cada i = 1, 2,..., n. A i = Demostración. Como f : U R es diferenciable en a, existe una transformación lineal T : R n R tal que: Note que haciendo: el ite anterior implica el siguiente ite: f (a + h) f T h = 0 h 0 h h = t e i f (a + t e i ) f T (t e i ) = 0 (2) t 0 t e i Por otro lado, suponga que la transformación lineal T : R n R tiene representación matricial: [T ] 1 C = ( A 1 A 2 A n ) donde C es la base canónica de R n y 1 representa la base canónica de R. Así: [T (t e i )] 1 = [T ] 1 C [t e i] C = t A i 9

10 Así: f (a + t e i ) f T (t e i ) t 0 t e i f (a + t e i ) f t A i = t 0 t = f (a + t e i ) f t 0 A i t = A i y como el valor del ite en (2) es 0 (por la diferenciabilidad de f en a) se tiene que: A i = 0 Esto es: para cada i = 1, 2,..., n. = A i Observación 2.7. Se puede mejorar entonces la definición de diferenciabilidad para funciones de R n en R introduciendo como requerimiento la existencia de las derivadas parciales. Para mayor claridad de la idea, exponemos la nueva definición: Definición 2.3. Sean U R n un conjunto abierto no vacío y f : U R una función. Diremos que f es diferenciable en a U si: 1. Para cada i = 1, 2,..., n, existen las derivadas parciales. 2. Asumiendo, h = (h 1, h 2,..., h n ) R n, se tiene que: f (a + h) f n i=1 h 0 h Observación 2.8. Se debe hacer notar que la suma: n h i i=1 h i se obtiene vía el isomorfismo canónico que existe entre M 1 1 (R) y el espacio vectorial real unidimensional. En efecto sabemos que: [T ] 1 C = ( 1 y como h = (h 1, h 2,..., h n ), tenemos: 2 n ) = 0 [T h] 1 = [T ] 1 C [h] C = ( 1 2 n ) h 1 h 2. = ( n i=1 ) h i 1 1 h n 10

11 Ejemplo 2.6. Considere la función f : R 2 R definida por: x 2 y 4 x 2 + y 2, si (x, y) (0, 0) 0, si (x, y) = (0, 0) Estudie la diferenciabildad de f en R 2. Ejemplo 2.7. Considere la función g : R 3 R definida por: sin (xyz) g (x, y, z) = x 2 + y 2, (x, y, z) (0, 0, 0) + z 0, (x, y, z) = (0, 0, 0) Demuestre que g es diferenciable en el punto (0, 0, 0). Solución. Calculamos, primeramente, las derivadas parciales de f en (0, 0, 0). Esto es: Análogamente, se tiene que y (h,k,l) (0,0,0) f (t, 0, 0) f (0, 0, 0) (0, 0, 0) = t 0 t = t = 0 t 0 0 (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = 0. Luego: z f (h, k, l) f (0, 0, 0) (0, 0, 0) h + y (0, 0, 0) k + z (0, 0, 0) l = h 2 + k 2 + l 2 f (h, k, l) = (h,k,l) (0,0,0) h 2 + k 2 + l 2 = (h,k,l) (0,0,0) (h,k,l) (0,0,0) hkl (h,k,l) (0,0,0) l k = (h,k,l) (0,0,0) h = 0 Por tanto, f es diferenciable en (0, 0, 0). sin (hkl) (h 2 + k 2 + l ) h 2 + k 2 + l 2 hkl l h 2 + k 2 + l 2 Ejemplo 2.8. Consideremos f : R 2 R la función definida por: { sin(xy), (x, y) (0, 0) x f (x, y) = 2 + y 0, (x, y) = (0, 0) Verifique que f no es diferenciable en (0, 0). 11

12 Solución. Notamos, primeramente que: Análogamente se obtiene que: Ahora bien, como: f (h, k) f (0, 0) (h,k) (0,0) f (t, 0) f (0, 0) (0, 0) = t 0 t } 1 = t 0 t (0, 0) = 0 y { 0 t (0, 0) h y (0, 0) k = 0 h 2 + k 2 = (h,k) (0,0) f (h, k) h 2 + k 2 1 sin (hk) = (h,k) (0,0) h 2 + k 2 h 2 + k Ahora bien, note que: { h 0 k 0 } 1 sin (hk) h 2 + k 2 h 2 + k = h 0 0 = 0 y si consideramos la trayectoria ϕ : h = k, tenemos que: h 0 1 sin ( h 2) h 2 + h 2 h 2 + h 1 sin ( h 2) = 2 h 0 h 3 + h 2 = 1 2 h 0 = 1 2 sin ( h 2) h h Por tanto, f no es diferenciable en (0, 0) Planos tangentes Observación 2.9. Supongamos que f : U R 2 R es una función diferenciable en (a, b) U. Esto quiere decir que: f (a + h, b + k) f (a, b) (a, b) h y (a, b) k = 0 (3) h 2 + k 2 (h,k) (0,0) Ahora bien, haciendo el cambio de variables: { x = a + h y = b + k tenemos que: (h, k) (0, 0) (x, y) (a, b) 12

13 Por tanto, el ite en (3) queda: f (x, y) f (a, b) (x,y) (a,b) (a, b) (x a) y (a, b) (y b) = 0 (x a) 2 + (y b) 2 Intuitivamente, para (x, y) suficientemente cercano a (a, b), tenemos que: f (x, y) f (a, b) (a, b) (x a) y (a, b) (y b) 0 (x a) 2 + (y b) 2 Así: y por tanto: f (x, y) f (a, b) (a, b) (x a) (a, b) (y b) 0 y f (x, y) (a, b) (x a) + (a, b) (y b) + f (a, b) y Es decir, para (x, y) suficientemente cercano a (a, b), f (x, y) puede ser aproximada por el plano: el cual es tangente a la superficie: z f (a, b) = (a, b) (x a) + (a, b) (y b) y S : z = f (x, y) en una vecindad de (a, b). Así, tenemos la siguiente definición: Definición 2.4. Sea f : U R 2 R una función diferenciable en (a, b) U. Se define el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en (a, b) al plano dado por la ecuación: z f (a, b) = (a, b) (x a) + (a, b) (y b) y Ejemplo 2.9. Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie S dada por la gráfica de la función: en el punto (1, 1, 0). Ejemplo Verifique si el cono: y la esfera: z = (x + y) 2 2x x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2 x 2 + y 2 + (z b2 + c 2 ) 2 = b2 ( b 2 c c 2 + c 2) son tangentes entre sí en los puntos (0, ±b, c). Teorema 2.2. Sean U R n un conjunto abierto y f : U R una función diferenciable en a U, entonces f es continua en a. 13

14 Demostración. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que: n f (a + h) f h i ε h para todo h < δ. Entonces, por la desigualdad triangular, tenemos que: n f (a + h) f ε h + h i { } donde A = máx : i = 1, 2,..., n obtiene que: i=1 i=1 ε h + h (ε + n A) h n i=1. Ahora bien, eligiendo δ = mín h < δ = f (a + h) f < ε { } ε δ, ε+n A se Observación Como ya es sabido desde el cálculo diferencial en una variable, el teorema anterior dice que la continuidad es una condición necesaria para la diferenciabilidad, pero no es suficiente. En efecto, considere: Ejemplo Verifique que f : R 2 R definida por: x y 3/2 f (x, y) = x 2 + y 2, si (x, y) (0, 0) 0, si (x, y) = (0, 0) es continua, pero no diferenciable en (0, 0). Solución. La continuidad es inmediata. En efecto, considere: x y 3/2 x 2 + y 2 = xy x 2 + y 2 y 1 x 2 + y 2 y = 2 x 2 + y 2 y donde la última expresión converge a 0, cuando (x, y) (0, 0). Ahora bien, por el Teorema del Sandwich, se obtiene que: (x,y) (0,0) x y 3/2 x 2 = 0 = f (0, 0) + y2 Por tanto, f es continua en (0, 0). Por otro lado, es fácil ver que: (0, 0) = (0, 0) = 0 y 2 14

15 Luego: (h,k) (0,0) f (h, k) f (0, 0) (0, 0) h y (0, 0) k h 2 + k 2 = (h,k) (0,0) = (h,k) (0,0) f (h, k) h 2 + k 2 h k 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 Al tomar la recta de aproximación h = k en el último ite se observa que no existe. Por tanto, la función f no es diferenciable en el (0, 0). Teorema 2.3 (Álgebra de funciones diferenciables). Sean f, g : U R n R funciones diferenciables en a U y α R una constante, entonces αf, f +g, f g, fg son diferenciables en a. Si, además, g 0, entonces f/g también es diferenciable en a. Teorema 2.4. Sean U R n un conjunto abierto, a U y f : U R una función tal que: : U R n R son continuas en a, para cada i = 1, 2,..., n. Entonces, f es diferenciable en a. Observación La condición anterior sobre las derivadas parciales se reconoce diciendo que f es una función de clase C 1 sobre U. Debe quedar muy claro que la condición en el teorema anterior es sólo suficiente, mas no necesaria como puede verse con el siguiente ejemplo: Ejemplo Verifique que f : R 2 R definida por: ( ) ( x 2 + y 2) 1 sin, si (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0, si (x, y) = (0, 0) 2.4. Derivadas de orden superior y funciones de clase C n Observación Sean U R n un conjunto abierto no vacío y f : U R una función tal que las derivadas parciales existen para todo a U. Entonces, podemos definir la función derivada parcial de f como la función : U R n R dada por a. Las derivadas parciales de orden superior son, entonces, derivadas parciales de la función R n R. Más precisamente: : U Definición 2.5. Sean U R n un conjunto abierto no vacío y f : U R una función tal que las derivadas parciales existen para todo a U. Se define la derivada parcial de segundo orden para f como: Más precisamente: 2 f j = j ( ) 2 { f 1 = (a + t e j ) } j t 0 t 15

16 Además, si i j la derivada 2 f j recibe el nombre de derivada parcial mixta. Si i = j, anotamos 2 f. 2 i La derivada parcial de tercer orden para f se define como: considerando 2 f j 3 f = 3 f k j k ( 2 f j ) : U R n R, en donde U corresponde al conjunto de puntos de U para los cuales la segunda derivada parcial está definida. En particular, si i = j = k, anotamos entonces: 3 f 3 i Finalmente, las derivadas parciales de orden superior se definen como las derivadas parciales sucesivas de : U R n R. Ejemplo Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función: f (x, y) = arctan x y Ejemplo Hallar 3 z y 2, si: Ejemplo Sean r > 0, g (x, t) = z = sin xy x 2 y la función: rt Demuestre que: f (x, t) = g(x,t) 0 r 2 f 2 = t e u2 du Definición 2.6. Sean U R n un conjunto abierto no vacío. Diremos que la función f : U R es de clase C n sobre U, o bien que f C n (U) si todas las derivadas parciales hasta el orden n ésimo son funciones continuas. Observación A modo de resumen, tenemos que: y las implicancias son estrictas. f C 1 = f es diferenciable = f es continua Observación El siguiente teorema nos permitirá generalizar -en su momento- el criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos del cálculo de una variable a funciones de varias de varias variables. Se conoce como Teorema de Schwarz: Teorema 2.5 (Schwarz). Sean U R n un conjunto abierto no vacío y f C 2 (U), entonces: para todo a U. 2 f j = 2 f j 16

17 Observación La continuidad de las derivadas parciales de segundo orden es fundamental en el teorema anterior. Esto se puede ilustrar considerando el siguiente ejemplo: Ejemplo Sea f : R 2 R la función definida por: f (x, y) = xy x2 y 2 x 2 + y 2, si (x, y) (0, 0) 0, si (x, y) = (0, 0) Verifique que: 2 f y (0, 0) 2 f (0, 0) y 17