Límites y Derivadas 2d. Matemáticas para Ingeniería I Otono 2016 Lilia Meza Montes IFUAP

Transcripción

1 Límites y Derivadas d Matemáticas para Ingeniería I Otono 016 Lilia Meza Montes IFUAP

2 Función de una variable Función : regla que asocia un único valor a cada elemento de un conjunto. R y() R 0 Dominio: Conunto de números donde se evalúa la unción 0 Rango o Codominio: Conjunto de valores asignados y

3 lim a Límite () L δ > 0 ε > 0 tal que () L < ε si a < δ () VECINDAD () L < ε L ε δ VECINDAD a a < δ

4 Teoremas sobre límites 0 ; / )] ( )]/[lim ( [lim )] ( ) / ( )lim[ )] ( )][lim ( [lim )] ( ) ( )lim[ ) ( lim ) ( lim )] ( ) ( )lim[ ) ( lim ; ) ( lim ± ± ± l l l c l l b l l a l l a a a a a a a a a a a

5 (,y):r à R Límites en R VECINDAD alrededor de (a,b) VECINDAD alrededor de L

6 Deinición de límite Sea una unción de dos variables cuyo dominio incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). El límite de (,y) cuando (,y) se aproima a (a,b) es L lim (,y) (a,b) (, y) L Si para cada ε>0 eiste δ>0 tal que si (,y) está en el dominio de y entonces

7 VECINDAD alrededor de L Intervalo abierto alrededor de L de longitud ε>0 VECINDAD alrededor de (a,b) Bola abierta alrededor de (a,b) de radio δ>0

8 Teorema sobre eistencia de límite Se aplican teoremas de límites Teorema. Si (,y) à L 1 cuando (,y)à (a,b) a lo largo de la trayectoria C 1 y (,y) à L cuando (,y)à (a,b) a lo largo de la trayectoria C, donde L 1 L, entonces el límite no eiste. Solo sirve para demostrar que no eiste el límite.

9 Continuidad Una unción (,y) es continua en (a,b) si lim (,y) (a,b) (, y) (a, b) Una unción (,y) es continua en la región D si es continua en cada punto de D

10 Teorema Si k es un número real y,g son unciones continuas en ( 0,y 0 ), las unciones siguientes son continuas en ( 0,y 0 ) 1. Producto k 3. Producto g. Suma ±g 4. Cociente /g si g(( 0,y 0 ) 0

11 Teorema. Funciones compuestas Si h es continua en ( 0,y 0 ) y g es continua en h(( 0,y 0 ), la unción compuesta (g h)(,y) es continua en ( 0,y 0 ). Es decir lim (,y) ( 0,y 0 ) g(h(, y)) g(h( 0, y 0 ))

12 Ejemplo unción discontinua y 1/ 1 Discontinua En 0

13 Derivadas

14 derivada de y() y() dy d lim Δ 0 Δy Δ y + Δy Δy y Δ 0 + Δ

15 Derivadas parciales

16 Límites L ( 0,y 0 )

17 Deinición de derivada parcial Dos variables. Sea (,y) una unción de dos variables, la derivada parcial con respecto a es (, y) ( + Δ, y) (, y) lim Δ 0 Δ Interpretación: Es una medida de la razón de cambio de la unción cuando la variable y permanece constante al variar. Similarmente (, y + Δy) (, y) y (, y) lim Δ y 0 Δy Notación: D D 1

18 Una variable varía, las demás Ejemplo. Una unción de dos variables,y (, y) 9 y ijas Para un valor ijo de y deine una curva en el espacio

19 Una variable varía, las demás ijas La unción se comporta como una unción de una sola variable cuando y toma el valor ijo 3 (, y 3) 9 (3) 9 9

20 La derivada en un punto de la curva La derivada en un punto da la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Derivada (, y) 18 Evaluada en 3,y3 ( 3, y 3) 54 tanθ 54 θ tan * Programa en Matlab derivada_parcial_.m

21 Similarmente para y Se ija el valor de 3, se obtiene una curva al variar y Ojo: notar cambio de escala en z(,y)

22 Similarmente para parcial respecto a y La derivada en un punto da la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Derivada respecto a y y (, y) y Evaluada en 3, y3 y (3,3) *3 6 tanθ 6 θ tan 1 ( 6) ( ) Programa en Matlab derivada_parcial_y.m Nota: Las escalas en,y son dierentes, por eso el ángulo no corresponde en la gráica con el calculado

23 Deinición: Dierencial total d d + y Si del punto (,y) pasamos al punto (+Δ,y+Δy), la unción cambia del valor (,y) a (+Δ,y+Δy). Si Δ,Δy son pequeños, podemos aproimar el cambio de la unción por dy Δ d Δ + y Δy

24 DERIVADA DIRECCIONAL

25 Gráicamente: el cambio de puntos en el plano (,y) y y+δy y P(,y) Δ Q(+Δ,y+ Δy) Δy +Δ

26 Cambio de la unción a lo largo del vector unitario (al cambiar de P a Q) Valores que toma la unción a lo largo de PQ, al variar t z(,y) θ (P) P û P(,y) Q (+t cosθ, y+ t sen θ) Δ (Q) (P) t α (Q) Δ Q y En triángulo deinido por Δ y t tanα ( Q) Δ t t ( P) Tomamos el límite cuando t tiende a cero

27 Triángulo en el plano y Cambio a lo largo de una dirección dada, la cual se especiica por un vector unitario y uˆ cosθ iˆ + senθ ˆj y+δy y P(,y) û t θ Δ t cosθ Q(+Δ,y+ Δy) Δ y t sen θ +Δ Q(+Δ,y+ Δy) Q(+t cosθ, y+ t sen θ)

28 Razón de cambio de a lo largo de t z(,y) (Q) Sustituimos Q en el triángulo deinido por Δ y t θ (P) P û P(,y) Q (+t cosθ, y+ t sen θ) Δ (Q) (P) t α Δ y Δ tanα t ( Q) ( P) t ( + t cosθ, y + tsenθ ) t Tomamos el límite cuando t tiende a cero (, y)

29 Derivada direccional Deinición. Sea una unción de dos variables e y,! sea u cosθ iˆ + senθˆ j un vector unitario, la derivada direccional de en la dirección de u! D! u (, y) lim0 t ( + t cosθ, y + tsenθ ) t (, y) si el límite eiste. Teorema. Si es una unción dierenciable de e y, su derivada direccional en la dirección de D! u (, y) (, y)cosθ + (, y) senθ y

30 Ejemplo 4 / 4 ), ( y y j i j sen i u ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ 3 / θ θ π θ P (-1,) P (-1,) u Plano y y curvas de nivel (escala de colores y rellenas) θ

31 Gráica de la unción

32 Gráica de la unción a lo largo de u

33 Derivada direccional da pendiente de la línea tangente a la unción en el punto dado, es decir, ahora (t) (t) t

34 Procedimiento para calcular la derivada direccional Datos. Función (,y) un vector unitario! u cosθ iˆ + senθˆ j (Note que no necesitamos conocer θ para el cálculo, solo las componentes de ) u! 1. Calcular parciales de. Sustituir en D! u (, y) (, y)cosθ + (, y) senθ y Nota: Es una unción escalar y da la pendiente de la línea tangente a la unción en el punto (,y)