Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 7

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1 Tema 7 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones definidas en intervalos, las funciones convexas. Haremos una discusión breve de estas funciones, empezando por la interpretación geométrica de la convexidad, que nos llevará fácilmente a su definición. Para funciones que sean derivables, o dos veces derivables, en un intervalo, obtendremos útiles caracterizaciones de la convexidad Definición de función convexa La noción de función convexa es muy intuitiva y fácil de entender geométricamente. Si I es un intervalo no trivial, una función f : I R es convexa cuando la gráfica de la restricción de f a cualquier intervalo cerrado y acotado [a,b] I, queda siempre por debajo del segmento que une los puntos ( a, f (a) ) y ( b, f (b) ). Enseguida convertimos esta sencilla idea geométrica en una definición concreta. Para cualesquiera a,b I con a < b, la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ( a, f (a) ) y ( b, f (b) ) tiene ecuación y = f (a) + f (b) f (a) b a (x a) Por tanto f será convexa cuando, para cualesquiera a, b I con a < b, se tenga que o equivalentemente, f (z) f (a) + f (b) f (a) b a (z a) z [a,b] f (z) b z b a f (a) + z a f (b) z [a,b] (1) b a Obsérvese que esta desigualdad es obvia para z = a y para z = b, de hecho en ambos casos se da la igualdad. Bastaría por tanto exigirla para todo z ]a,b[. Pero vamos a expresarla de forma más cómoda y fácil de recordar. 69

2 7. Funciones convexas 70 Dado t [0,1] podemos tomar z = a + t (b a) [a,b] y (1) nos dice que f ( (1 t)a + t b ) (1 t) f (a) + t f (b) t [0,1] (2) Pero recíprocamente, dado z [a, b] podemos tomar t = z a b z, que verifica t [0,1] y 1 t = b a b a con lo que al aplicar (2) obtenemos directamente (1). Nótese que ahora se da obviamente la igualdad en (2) para t = 0 y t = 1. En resumen, f será convexa cuando verifique (2) para cualesquiera a, b I con a < b y para todo t [0,1]. Ahora bien, observamos que cuando a = b se tiene siempre la igualdad en (2). Pero es que además, en el caso a > b, podemos aplicar (2) intercambiando los papeles de a y b, pero sustituyendo t por 1 t, con lo que obtenemos exactamente la misma desigualdad. Así pues, en (2) podemos tomar como a y b dos puntos cualesquiera del intervalo I. Hemos llegado así a la definición cómoda de función convexa que buscábamos. Si I es un intervalo no trivial, una función f : I R es convexa cuando verifica: f ( (1 t)x + t y ) (1 t) f (x) + t f (y) x,y I, t [0,1] (3) Aunque esta es la forma más conveniente de expresar la convexidad de una función, hay algo en la discusión anterior que no conviene olvidar: para probar (3), no se pierde generalidad suponiendo que x < y y que 0 < t < 1. Tampoco conviene olvidar la interpretación geométrica de la convexidad, con la que hemos iniciado la discusión. Como ejemplo, la función valor absoluto es convexa, pues evidentemente, (1 t)x + t y (1 t) x + t y x,y R, t [0,1] Conviene comentar que lo ocurrido en este sencillo ejemplo es bastante excepcional. Rara vez se prueba que una función es convexa usando la definición, pues incluso para funciones muy sencillas, no suele ser fácil comprobar la desigualdad (3). Lo habitual es, sabiendo que una función es convexa gracias a alguna de las caracterizaciones que vamos a estudiar, deducir que se verifica (3), obteniendo así desigualdades nada evidentes. Al cambiar de signo una función convexa se obtiene una función cóncava. Así pues, si I es de nuevo un intervalo no trivial, decimos que una función f : I R es cóncava cuando f es convexa, es decir, cuando se verifica que f ( (1 t)x +ty ) (1 t) f (x) + t f (y) para cualesquiera x,y I y para todo t [0,1]. Obsérvese que la convexidad o concavidad de una función, como ocurre con la monotonía, es una propiedad bastante restrictiva. Es frecuente que una función f : I R no sea convexa ni cóncava, pero podamos expresar I como una unión finita de intervalos no triviales, de forma que la restricción de f a cada uno de esos subintervalos sí tenga una de las dos propiedades. Para tratar cómodamente estas situaciones, cuando I,J sean intervalos no triviales con J I, diremos que una función f : I R es convexa en J cuando f J sea convexa. Lógicamente, f será cóncava en J cuando f J sea cóncava, es decir, cuando f sea convexa en J. En lo sucesivo trabajaremos preferentemente con las funciones convexas, pues cualquier resultado que obtengamos dará información sobre una función cóncava, sin más que aplicarlo a la función opuesta.

3 7. Funciones convexas Continuidad y derivabilidad Para obtener propiedades importantes de las funciones convexas, conviene deducir de la definición de función convexa, o más directamente de la condición (1), una doble desigualdad que relaciona las pendientes de tres rectas secantes a la gráfica de la función. Sea pues I un intervalo no trivial, f : I R una función convexa y tomemos x 1,x 2,x 3 I tales que x 1 < x 2 < x 3. Aplicando (1) con a = x 1, b = x 3 y z = x 2 tenemos f (x 2 ) x 3 x 2 f (x 1 ) + x 2 x 1 f (x 3 ) (3) Restando en ambos miembros f (x 1 ) y dividiendo luego por x 2 x 1 > 0 obtenemos f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 3) f (x 1 ) Por otra parte, si en (3) cambiamos de signo ambos miembros invirtiendo la desigualdad, sumamos f (x 3 ) a ambos y después dividimos por x 3 x 2 > 0 obtenemos f (x 3 ) f (x 2 ) x 3 x 2 f (x 3) f (x 1 ) Enlazando las dos desigualdades obtenidas, hemos probado que f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 3) f (x 1 ) f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2 (4) A poco que se piense, esta relación entre las pendientes de tres rectas secantes a la gráfica de una función convexa tiene una interpretación geométrica muy clara. Podemos ya probar fácilmente la primera propiedad clave de las funciones convexas: su cociente de incrementos, tomando cualquier punto como origen, es una función creciente. Sea I un intervalo no trivial y f : I R una función convexa. Entonces, para cada a I f (x) f (a) la función f a : I \ {a} R, dada por f a (x) = para todo x I \ {a}, es x a creciente. En efecto, dados a I y x,y I \ {a} con x < y, distinguimos los tres casos posibles, para probar siempre que f a (x) f a (y). Si a < x < y, usamos la primera desigualdad de (4) con x 1 = a, x 2 = x, x 3 = y, obteniendo directamente que f a (x) f a (y). Si x < y < a, usamos la segunda desigualdad de (4) con x 1 = x, x 2 = y, x 3 = a, obteniendo la misma conclusión. Finalmente, si x < a < y, usamos la desigualdad entre el primer y último miembro de (4) con x 1 = x, x 2 = a, x 3 = y, obteniendo de nuevo f a (x) f a (y). Deducimos ahora fácilmente que toda función convexa admite derivadas laterales, y por tanto es continua, en todo punto interior de su intervalo de definición:

4 7. Funciones convexas 72 Sea I un intervalo no trivial y f : I R una función convexa. Entonces f es derivable por la izquierda y por la derecha, y por tanto es continua, en todo punto a I. De hecho, se tiene f (a ) = sup{ f a (x) : x I, x < a} f (5) (a+) = ínf{ f a (y) : y I, y > a} Fijado a I, la comprobación de (5) es bien sencilla, usando solamente que f a es una función creciente. Tomando b I con b > a, que existe porque a I, para x I con x < a se tiene f a (x) f a (b), luego el conjunto { f a (x) : x I, x < a} está mayorado y, llamando s a a su supremo, veremos enseguida que f (a ) = s a. Dado ε > 0, por definición de supremo existirá x 0 I con x 0 < a tal que f a (x 0 ) > s a ε. Tomando δ = a x 0 > 0, para a δ < x < a tendremos s a ε < f a (x 0 ) f a (x) s a, de donde f a (x) s a < ε. Esto prueba que lím f a(x) = s a, como se quería. El cálculo de la derivada x a por la derecha es análogo. Merece la pena resaltar que en general no podemos asegurar que una función convexa sea derivable en todos los puntos interiores de su intervalo de definición. Por ejemplo, la función valor absoluto es convexa pero no es derivable en 0. Cuando el intervalo de definición tiene mínimo o máximo, tampoco podemos asegurar que una función convexa sea continua en tales puntos. Por ejemplo, tomando f (x) = 0 para todo x ]0, 1[ y f (0) = f (1) = 1, obtenemos una función convexa f : [0, 1] R que no es continua en 0 ni en Caracterizaciones de las funciones convexas Podemos ya caracterizar la convexidad de funciones que sean derivables en un intervalo: Sea I un intervalo y f D 1 (I). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f es convexa. (ii) f es creciente. (iii) Para cualesquiera a,x I se tiene que f (x) f (a) + f (a)(x a). (i) (ii). Para a,b I con a < b deberemos probar que f (a) f (b). Para ello fijamos c ]a,b[ I y usamos las dos expresiones de f (c) calculadas anteriormente, obteniendo que f c (a) f (c) f c (b). Si ahora tomamos x,y I en la situación a < x < c < y < b, usando que f a y f b son crecientes, tenemos: f a (x) f a (c) = f c (a) f (c) f c (b) = f b (c) f b (y) de donde deducimos claramente que f (a) = lím x a+ f a(x) f (c) lím y b f b(y) = f (b). (ii) (iii). Para a,x I con a x, usando el Teorema del Valor Medio podemos escribir f (x) = f (a) + f (c)(x a) donde c es un punto del intervalo abierto de extremos a y x, luego bastará comprobar que f (c)(x a) f (a)(x a).

5 7. Funciones convexas 73 En efecto, si a < c < x, al ser f creciente tendremos f (c) f (a), y basta multiplicar ambos miembros por x a > 0. En otro caso será x < c < a luego f (c) f (a) pero la desigualdad se invierte al multiplicar ambos miembros por x a < 0. (iii) (i). Para ver que f es convexa, fijamos x,y I con x < y, junto con t ]0,1[ y, tomando a = (1 t)x +ty, bastará comprobar que f (a) (1 t) f (x) +t f (y). Anotemos que t = a x y x y 1 t = y a y x Aplicando (iii) tenemos f (x) f (a) + f (a)(x a), así como f (y) f (a) + f (a)(y a). Teniendo en cuenta que y a > 0 y x a < 0, enlazamos ambas desigualdades: f (x) f (a) x a f (a) f (y) f (a) y a Basta ya operar con la desigualdad anterior para obtener f (a) y a y x f (x) + a x f (y) = (1 t) f (x) + t f (y) y x Nótese la clara interpretación geométrica de la condición (iii) anterior: para cada punto a I, la gráfica de la función f se mantiene siempre por encima de la recta tangente a dicha gráfica en el punto ( a, f (a) ). Pero usemos ahora, cuando exista, la segunda derivada: Sea I un intervalo no trivial y f D 2 (I). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f es convexa. (ii) f (x) 0 para todo x I. Por supuesto, los dos resultados anteriores se traducen inmediatamente para tener sendas caracterizaciones de la concavidad. Concretamente, si I es un intervalo no trivial, una función f D 1 (I) será cóncava si, y sólo si, f es decreciente y, cuando f D 2 (I), ello equivale a que f (x) 0 para todo x I Ejemplos Veamos que las caracterizaciones anteriores permiten encontrar fácilmente intervalos de convexidad o de concavidad para diversas funciones. Empecemos con un ejemplo obvio: todo polinomio P de primer orden define una función que es simultáneamente convexa y cóncava en R, bien porque su primera derivada es constante, bien porque su segunda derivada es idénticamente nula. En realidad esto se puede comprobar directamente con las definiciones: es claro que P ( (1 t)x + ty ) = (1 t)p(x) + tp(y) para cualesquiera x,y,t R. Tenemos lo que suele denominarse una función afín. Una función dada por un polinomio de grado 2, P(x) = ax 2 + bx + c para todo x R, es convexa cuando a > 0 y cóncava cuando a < 0, puesto que P (x) = 2a para todo x R.

6 7. Funciones convexas 74 Fijado p N con p 2, consideremos la función potencia, f (x) = x p para todo x R. Tenemos f (x) = p(p 1)x p 2 para todo x R. Por tanto, si p es par, f es convexa. Si p es impar, entonces f no es convexa ni cóncava, más concretamente, es convexa en R + 0 y cóncava en R 0. Usando la definición de función convexa, obtenemos por ejemplo las siguientes desigualdades: [ ] 4 (1 t)x + t y (1 t)x 4 + t y 4 x,y R, t [0,1] [ ] 3 (1 t)x + t y (1 t)x 3 + t y 3 x,y R +, t [0,1] Comprobar directamente estas desigualdades no es del todo fácil. Para la función potencia de exponente impar p > 1, el origen es lo que suele denominarse un punto de inflexión. De manera más general, sea I un intervalo, f : I R una función y a I. Se dice que f tiene en a un punto de inflexión, cuando existe un δ > 0 tal que ]a δ,a+δ[ I, f es convexa en ]a δ,a] y cóncava en [a,a + δ[, o bien, f es cóncava en ]a δ,a] y convexa en [a,a + δ[. Si f D 2 (I), esto implica, obviamente que f (a) = 0. Para tener más ejemplos interesantes, consideremos la función raíz q-ésima, g(x) = q x para todo x R +, con q N fijo, q > 1. Tenemos entonces g (x) = 1 q q x q 1, g (x) = (1 q) q x q 2 x 2 x R + De la primera igualdad deducimos claramente que g es decreciente, luego g es cóncava. La segunda derivada nos hubiera llevado a la misma conclusión, pues g (x) < 0 para todo x R Ejercicios 1. Probar que la suma de dos funciones convexas es una función convexa. 2. Dar un ejemplo de dos funciones convexas cuyo producto no sea una función convexa. 3. Sean I,J intervalos no triviales, f : I J una función convexa y g : J R una función convexa y creciente. Probar que entonces g f es convexa. 4. Sea I un intervalo no trivial y f : I R una función convexa. Supongamos además que f es continua e inyectiva, luego estrictamente monótona. Probar que, si f es creciente, f 1 es cóncava, mientras que, si f es decreciente, entonces f 1 es convexa. 5. Encontrar intervalos de convexidad o concavidad para la función f : R R en cada uno de los siguientes casos: (a) f (x) = x 5 5x 4 + 5x x R (b) f (x) = x2 + 3x + 1 x x R