Derivación de funciones de varias variables.

Transcripción

1 Derivación de funciones de varias variables. En este apartado se presentan los conceptos básicos que aparecen en la derivación de funciones de varias variables. La idea es establecer un método para estudiar sus variaciones también definir el concepto de diferenciabilidad. Por último, se presenta la forma de resolver algunos problemas de optimización, en varias variables, sencillos. Derivadas parciales. Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la forma f :I, donde I es un intervalo abierto, x 0 I un punto de dicho intervalo, se define la derivada de f en x 0 como el límite: f ( x + h) f ( x ) '( x0) lim h 0 h f 0 0 Desde el punto de vista geométrico, f '( x0) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto ( x 0, f ( x0)) por tanto, mide la maor o menor inclinación de la gráfica de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de la tangente del ángulo que forma con la horizontal. Así, en la figura anterior se cumple que la recta tangente a la gráfica de f ( x), en el punto ( x 0, f ( x0)), forma un ángulo α que satisface la condición: tg( α ) f '( x0) En el caso de las funciones de varias variables este concepto se complica. Así, en campos escalares de dos variables, si se supone un punto de su gráfica esto es, un punto de la forma 0)) - se pretende calcular, de una forma análoga a la de las funciones de una variable, la pendiente en ese punto se encuentra que es necesario determinar una dirección, a partir de dicho punto, para poder establecer esta analogía. En este contexto, para extender este concepto a funciones de varias variables, parece lógico elegir, en primer lugar, las direcciones más sencillas de estudiar. Estas direcciones corresponden obviamente a las paralelas a los ejes coordenados. Así, cuando a partir de un punto concreto 0) D, se quiere estudiar la variación de la función en la dirección paralela al eje X, se deja fijo el valor de 0 se estudia la función de una variable f ( x, 0). Análogamente, la variación en la dirección del eje Y supone estudiar la función ). 1

2 El proceso que se sigue para este estudio, en campos escalares de dos variables, es definir las curvas coordenadas en un punto de la gráfica ( x 0, 0)) como aquellas que resultan de mantener fijo el valor de una variable hacer variar la otra. De esta forma se obtienen dos curvas coordenadas que se definen como: Definición. Sea f :D, con D abierto, sea el punto ( x 0, 0) D. Se denomina curva coordenada para x x0 a la curva formada por los puntos: C x { ) / ( x 0, ) D} 0 De forma análoga se define la curva coordenada para 0 a la curva: C {( x, f ( x, 0)) / ( x, 0 ) D} 0 La siguiente figura representa gráficamente estas curvas coordenadas en un punto. Es obvio que ambas curvas son planas dependen sólo de una variable. Entonces, para cada una de ellas es posible definir la pendiente de su recta tangente en el punto ( x 0, 0)). El valor de esta pendiente recibe el nombre de derivada parcial de la función f ( x, ) en el punto ( x0, 0). La definición es la siguiente: Definición: En las condiciones anteriores sea la curva coordenada C x 0 se define la derivada parcial de la función f ( x,, con respecto a la variable en el punto ( x 0, 0) D como la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto ( x 0, 0)). Esta pendiente se calcula como el límite: se simboliza por la expresión: ( x 0, 0) x 0 f ( x, h) f ( x, ) lim h 0 h De manera análoga, por medio de la curva coordenada C 0 se define la derivada parcial de la función f ( x,, con respecto a x, en el punto ( x 0, 0) D como: ( x 0, f ( x h, ) f ( x, ) 0) lim h 0 h

3 NOTAS: 1ª. Si no se especifica el punto concreto ( x 0, 0) D se obtiene la función derivada parcial, que también es un campo escalar de dos variables ( x, que tiene la siguiente expresión: f ( x + h, f ( x, ( x, limh 0 siendo h f :D ª. Otras formas de simbolizar la derivación parcial, aparte de las expresiones respectivamente: f x, f ó D 1 f, D f, son, ª. De forma análoga, en campos escalares de n variables f :D n se define la derivada parcial con respecto a la variable x i, en el punto x0 ( x1,0, x,0,..., x n,0), como: ( x1,0, x,0,..., xn, 0) lim i h 0 f ( x, x,..., x + h,..., x ) f ( x, x,..., x,..., x ) 1,0,0 i,0 n,0 1,0,0 i,0 n,0 4ª. La forma práctica de cálculo de ( x, es derivar la función f ( x, con respecto a la variable x, considerando la variable como constante. Análogamente, dado el campo escalar de n variables f ( x1, x,..., xn), la derivada parcial ( x1, x,..., xn), se obtiene derivando i f ( x1, x,..., xn) respecto de x i considerando x 1, x,..., xi 1, xi+ 1,..., xn como constantes. h EJEMPLOS: 1º. Sea el campo escalar de dos variables: f ( x, x + 6x, entonces: ( x, 6x + 6, ( x, 6x º. Dado el campo escalar de tres variables: g ( x, x sen( z ). En este caso se tiene: ( x, xsen( z ), ( x, z x cos( z ), ( x, z x cos( z ) Interpretación geométrica vector normal. Sea un campo escalar de dos variables de la forma f ( x,. Sea ( x 0, 0)) un punto de su gráfica en el que existen las dos derivadas parciales ( x 0, 0) ( x 0, 0), Si se considera la curva C x 0 se tiene que, como se ha visto anteriormente, la derivada parcial ( x 0, 0) es la pendiente de la recta r x tangente a la curva C x en el punto ( x,, (, )) f x0 0. Suponiendo que r x forma un ángulo α con la horizontal, dicha pendiente se expresara como tg( α ) : Si además se

4 tiene en cuenta que r x es paralela al plano YZ, un vector director de r x tendrá por coordenadas u ( 0, u, u z ), tal como se muestra en la figura: Además se cumplirá la relación ( x 0, 0) tg( α ) u z, con lo cual u 0) uz u por tanto u ( 0, u u z ) ( 0, u, u ( x 0, 0)). Este vector será paralelo a x r para cualquier valor de u, en concreto, para el valor u 1. Con lo cual se conclue que el vector u ( 0,1, ( x 0, 0)) también es paralelo a r x. De un modo análogo, se puede construir el vector director v de la recta r tangente a en el punto ( x 0, 0)). En este caso se obtiene: v ( 1,0, ( x 0, 0)). La obtención de estos vectores tiene la ventaja de que mediante el producto vectorial v u es posible determinar un vector normal a la superficie de la gráfica en el punto ( x 0, 0)). Esto es, el vector: n v u ( ( x 0, 0 ), ( x 0, 0 ), 1). es un vector normal a la gráfica de f ( x, en el punto ( x 0, 0)). NOTA: Se dice UN VECTOR NORMAL no se dice EL VECTOR NORMAL pues de todos los posibles vectores normales se reserva el nombre de el vector normal para el único unitario. C 0 EJEMPLO: Sea en campo escalar: Teniendo en cuenta que: z x + x +, se el punto (,-1,-5) de su gráfica. ( x, x + ( x, x + 4

5 Un vector normal en ese punto es: ( (,1), (,1),1) ( 6,1,1) Plano tangente recta normal. Dado un campo escalar de dos variables f ( x, un punto ( x 0, 0)) de su gráfica en el que existen las dos derivadas parciales ( x 0, 0) ( x 0, 0), es posible obtener la ecuación del plano tangente la recta normal a la gráfica de f ( x, en dicho punto. El plano tangente es el plano que pasa por el punto 0)) es normal al vector n ( 0), 0),1). La ecuación de este plano será: ( x x0, z 0)) ( 0), 0),1) 0 que puede escribirse como: ( x0, 0) x 0) + z + 0) x0 + 0) 0 0) 0 Para hallar la expresión de la recta normal es importante darse cuenta de que pasa por el punto ( x 0, 0)) lleva la dirección del vector n. Su ecuación puede expresarse de muchas maneras. Una de las más comunes es la forma continua: x x0 0 z 0) ( x, ) (, ) x0 0 Sin embargo, esta forma de expresar la recta normal puede tener problemas cuando alguna de las derivadas parciales es nula. En ese caso otra opción es expresar la recta es mediante sus ecuaciones paramétricas: x x0 λ 0) 0 λ 0) z z0 + λ EJEMPLO. Hallar el plano tangente la recta normal a la gráfica de la superficie: z x + 1 en el punto (,-1,-9). 5

6 Una buena costumbre es cerciorarse de que efectivamente el punto está en la gráfica. Así cuando x 0, 0 1, f (, 1) 9, con lo cual el punto está realmente en la superficie. Calculando las derivadas parciales se obtiene: 0) 6x0 0 1 ( x0, 0) x0 10 con lo cual un vector normal es n (1,-10,1). Por lo tanto la ecuación del plano tangente es: (1,-10,1) ( x, + 1, z + 9 )0, esto es 1x 10 + z La ecuación continua de la recta normal es: x + z Vector gradiente. Definición: Dado un campo escalar de dos variables f :D un punto ( 0, 0) en el cual existen las derivadas parciales ( 0, 0 ) ( x 0, 0), se define el gradiente de f en un punto concreto ( 0, 0) como el vector grad( f )( x 0, 0) ( 0), 0)) EJEMPLO: Dado el campo escalar f ( x, x + x calcular el vector gradiente en el punto concreto (-,). Las derivadas parciales de esta función, en un punto genérico, son: particularizando en (-,) ( x, 6x + ; ( x, 9x + x (,) 18 ; (,) 0 por lo cual el vector gradiente en ese punto concreto es: grad( f )(,) ( 18,0) NOTAS: 1ª. Se debe destacar que para campos escalares de dimensión dos el vector gradiente es de dimensión dos está, lógicamente, en. En cambio, los vectores ( 1,0, ( x 0, v 0)), u ( 0,1, ( x 0, 0)) n ( 0), 0),1), vistos en el apartado anterior, son de tres dimensiones están en. Es mu importante darse cuenta de esto pues, aunque están relacionados entre si, viven en mundos diferentes. 6

7 ª. Esta definición de gradiente se puede extender a campos escalares de cualquier dimensión. Así, dado f :D n x 0 ( x1,0, x,0,..., xn, 0) D. Si existen todas las derivadas parciales ( x 0 ), ( x 0 ),..., ( x 0 ) en el punto x 0, se define el vector gradiente como: 1 n grad( f ) ( x 0 ) ( ( x 0 ), ( x 0 ),..., ( x 0 ) ) 1 n x + EJEMPLO: Dada la función f ( x, x + hallar la expresión de su vector gradiente z en cualquier punto ( x,. En este caso: grad( f ) ( x, z ) ( 1 x + +, x +, ) z z z 1 ª.- Dado un campo escalar f :D n de dimensión n es posible definir un campo vectorial asociado que asigne a cada vector x D su vector gradiente. Obviamente, ese campo vectorial tendrá dimensión n dependerá de n variables. Su expresión es: grad( f ) : D n n con grad( f ) ( x ) ( ( x), ( x),..., (x) ) 1 n Dicho campo vectorial recibe el nombre de campo gradiente o, simplemente, gradiente. El campo escalar de partida recibe, a su vez, el nombre de campo potencial o, sencillamente, potencial. EJEMPLO: Dado el campo escalar es: grad( f ) (x,( 4 + z,4 x,xz ) 5 f ( x, x + x( + z ) su campo gradiente asociado 4ª. Se hace notar que el vector gradiente ha sido definido como un vector fila. Podría también haber sido expresado, sin ninguna pérdida de generalidad, mediante un vector columna. Sin embargo, a partir de ahora, esta definición como vector fila impondrá un tratamiento por filas en el resto de los vectores matrices como la matriz jacobiana o la matriz hessiana- que aparecerán en el estudio de las funciones de varias variables. 5ª. El gradiente también se suele representar mediante la letra griega nabla : f ( x,. Derivación parcial en campos vectoriales. Dado un campo vectorial de la forma: f :D n m donde para ( x1, x,..., xn) n : f ( x1, x,..., xn ) ( f 1( x1, x,..., xn), f ( x1, x,..., xn),, f m( x1, x,..., xn) ) 7

8 siendo f i, i 1,..., m campos escalares de n variables. En este caso aparecen m n derivadas parciales de la forma: f x i j ( x, x,..., x 1 n ), con i 1,..., m, j 1,..., n. Todas estas derivadas parciales se distribuen en una matriz, de m filas n columna, denominada matriz jacobiana que, en un punto genérico 1 ( x) 1 ( x) J ( f )( x) 1 m ( x) 1 1 ( x) ( x) m ( x) x n, tiene la siguiente expresión: 1 ( x) n ( x) n m ( x) n NOTA: Se puede observar que cada una de las filas de la matriz jacobiana es el gradiente del campo escalar correspondiente. EJEMPLO: Sea el campo vectorial f :D de la forma: f ( x, ( x + x, x + 4, x + 5) Hallar su matriz jacobiana en un punto genérico ( x,. En este caso x f1( x, x +, f( x, x + 4, f( x, x + 5 con lo cual: 1 1 x 1 x 6x + x J ( f )( x, x x Regla de la cadena. La regla de la cadena a se ha estudiado para la derivación de la composición de funciones reales de variable real. En este caso, dadas dos funciones: g :I f :J con g (I) J, se construe la función f g :I definida por la expresión ( f g )(x) f (g (x)). Entonces, la regla de la cadena aseguraba que dado un punto x 0 I tal que la función g(x) es derivable en dicho punto además, f( también es derivable en 0 g( x 0 ) J, se tenía que la función compuesta f g también es derivable en x 0 I su derivada es: 8

9 ( f g ) ( x 0 ) f (g ( x 0 )) g ( x 0 ) En funciones de varias variables también se puede establecer la misma regla para la derivación de funciones compuestas. Sin embargo en este caso, en vez de la función derivada, habrá que utilizar el vector gradiente, cuando se trate de un campo escalar, o la matriz jacobiana si se trata de un campo vectorial. Así, dado el campo escalar f :D m, de la forma f ( f ( 1,,..., m ) z que se compone con el campo vectorial g :H n m, de la forma g( x) g( x1, x,..., n n) para dar la función compuesta: h f g : H n, g ( x), g ( x),..., g ( x) ) ( 1 la regla de la cadena establece que: Sí g (x) tiene todas sus derivadas parciales en el punto x 0 D también f ( tiene todas sus derivadas parciales en el punto g( x 0 ) g (H) D, entonces h f g también tiene todas sus derivadas parciales en dicho punto estas vienen expresadas por la relación: grad( h ) ( x 0 ) grad( f g) ( x 0 ) grad( f ) ( g ( x 0 )) J( g )( x 0 ) donde simboliza el producto de matrices. Esto es: g1 ( x0) h h 1 ( ( x 0 ),..., ( x 0 ) )( ( g( x0)),..., ( g( x0)) ) 1 n 1 m gm ( x0) 1 m g1 ( x0) n gm ( x0) n NOTAS: 1ª. En el caso de otra configuración de campos dimensiones la regla de la cadena se extiende de manera natural. ª. A veces interesa solamente la derivada parcial de la función compuesta h f g con respecto a una sola de sus variables x i, i1,,n, en tal caso se tiene que: h ( x 0 ) i g ( g( x0)) 1 ( x 0 ) ( g( x0)) 1 i m gm n ( x 0 ) EJEMPLO: Sean el campo vectorial f : de la forma f ( x, x el campo vectorial g : de la forma g ( u, v) ( u + v, u v). Entonces la función compuesta h( u, v) ( f g)( u, v) f ( g( u, v)) f ( u + v, u v) ( u + v) ( u v), tiene como gradiente: 9

10 g1 g1 h h u v 1 (, ) (, ) (6 x x ) u v x g g 1 (6x + 9 x,1x x ) u v recuperando las variables de la función h(u,v) (esto es teniendo en cuenta que x g 1 ( u, v) u + v, e g ( u, v) u v ) se obtiene: grad( h h h) (u,v) (, ) u v (7u + 66uv + 4 v, u + 48uv 6 v ) También es posible obtener directamente el gradiente de h( u, v ) a partir de la expresión de la función a que: h( u, v) f g( u, v) ( u + v) ( u v) 9u + u v + 4uv 1v h h 7u + 66uv + 4 v ; u + 48uv 6 v ) u v Derivación de funciones definidas implícitamente. Hasta ahora se ha presentado el cálculo de las derivadas parciales de campos escalares, en dos dimensiones, expresados en forma explícita z f ( x,. Sin embargo, en muchas ocasiones la función que los define viene dada en forma implícita por expresiones de la forma F( x, z )0 donde se admite que existe una relación funcional z f ( x, implícita en esa fórmula (aunque en muchas ocasiones no pueda obtenerse de forma explícita). En esta situación se debe destacar que, en las condiciones de regularidad adecuadas, el conjunto de puntos de que satisfacen la condición F( x, z )0 forman una superficie que podría interpretarse como la superficie de nivel, para el valor e 0 de una función F :D, de la forma w F( x, En este contexto es interesante averiguar cuales son las condiciones bajo las cuales se puede asegurar que una expresión de la forma F( x, z )0 supone una dependencia funcional z f ( x, aunque, en muchas ocasiones, no pueda ser conocida. La respuesta a esta cuestión viene dada por el teorema de la función implícita que, para campos escalares de dos variables, tiene el siguiente enunciado. Teorema de la función implícita. Sea el campo escalar de tres variables w F( x,, sea un punto concreto tal que F ( x0, 0, z0 ) 0. Supóngase también que las F derivadas parciales, existen son continuas en alguna bola abierta de centro ( x 0, que, además, 0. Entonces es posible establecer una relación funcional de la forma z f ( x, en alguna bola abierta centrada en ( x 0, e incluso se pueden calcular las derivadas parciales de dicha función f ( x, ) en el punto ( x0, 0) como: 10

11 z ) 0 0) ; 0) z EJEMPLO: Sea la expresión F( x, e + x + z Según el teorema anterior esta función define implícitamente a la variable z como función de x e esto es z f ( x,, en todos los puntos en los que: e z esto es, en este caso, en todos los puntos. Por otro lado: x x Por lo tanto, es posible calcular las derivadas parciales de la función z f ( x,, definida por la expresión F( x, z ) 0, en cualquier punto de ( x,, mediante las expresiones: / x / z z e + 1 / x / z z e + 1 NOTAS: 1ª. ha que destacar que este teorema solamente asegura la existencia de la dependencia funcional z f ( x, sin establecer ningún mecanismo para calcularla. ª. Sin embargo, resulta curioso que a pesar de no poder expresar z f ( x, de forma explícita, sea posible conocer sus derivadas parciales. ª. Otro detalle de este teorema es su carácter local limitado un entrono abierto del punto ( x 0,. 4ª. La generalización a campos escalares de cualquier número de variables se hace de forma natural. 5ª. La obtención de las expresiones anteriores podría haberse obtenido aplicando la regla de la cadena a las funciones de varias variables: F:H g :D con g ( x, ( x, f ( x, ) Que compuestas dan lugar a la función h F g :D, con h ( x, F( g( x, ) F( x, f ( x, ) Entonces aplicando la regla de la cadena a la expresión h ( x, 0, en un punto genérico (que se omite) en el que se cumplan las condiciones del teorema de la función implícita, se tiene: 11

12 g1 g1 g1 h h h F F F g (,, )(,, ) g g g g g h h Si ahora se tiene en cuenta que ( h,, ) (0,0,0) puesto que h ( x, 0 que g 1 ( x, x, g ( x, g ( x, f ( x, se conclue que: h con lo cual g 1 + g + z g F + z f de la misma forma, que f 0 f Plano tangente recta normal en superficies implícitas. Tal como se ha visto antes, una expresión de la forma F( x, z )0 que además establece una dependencia funcional implícita de la forma z f ( x, es, bajo ciertas condiciones de regularidad, una superficie en. En el caso de que fuese posible despejar la variable z de la expresión F( x, z )0, esta superficie también podría interpretarse como el conjunto de puntos en que satisfacen la condición z f ( x,. Es sabido que este conjunto de puntos constitue la gráfica del campo escalar de dos variables expresado mediante la misma relación z f ( x,. Por tanto cualquier vector normal a la gráfica de z f ( x, en un punto ( x 0,, será también normal a la superficie en el mismo punto F( x, z )0. Se sabe que el vector normal a la gráfica de z f ( x, en el punto ( x 0, es: ( 0), 0),1). Aplicando el teorema de la función implícita: ( ( 0, 0), ( 0, 0),1) ( x x x,,1) F F ( x,, z ) 0 con Por lo tanto, multiplicando por ( x 0, 0, z 0) se obtiene que el vector (,, ) también es perpendicular a la gráfica de z f ( x, en el punto ( x 0, por tanto, a la superficie F( x, z )0 en dicho punto. 1

13 Este hecho permite determinar la ecuación del plano tangente la recta normal a la superficie F( x, z )0 en el punto x0 en cualquier punto x ( x, que satisfaga ( x,, z ) 0. La ecuación del plano tangente será: ( x x,, z z ) ( ( ), ( ), ( )) x0 x0 x0 que puede escribirse como: ( x0 ) x + ( x0) + ( x0) z ( x0 ) x0 ( x0 ) 0 ( x0 ) z0 0. Y, de la misma forma la ecuación continua de la recta normal será: x x0 0 z z0 ( x0) ( x0 ) ( x0 ) EJEMPLO: Sea la superficie del ejemplo anterior expresada mediante la ecuación: z F( x, e + x + z + 5 0, sea el punto x0 (-,1,0) de esa superficie. Un vector perpendicular a la misma, en dicho punto, es: z0 ( ( x0 ), ( x0 ), ( x0 )) ( x0 x0, e + 1) (-4,4,) Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la superficie en dicho punto es: ( x x,, z z ) ( ( ), ( ), ( )) x0 x0 x0 Que se expresa como: 4x z 1 0 Y la ecuación continua de la recta normal es: x + z 4 4 ( x +, 1, ( 4,4,) 0 NOTA: Mu importante. Sea un campo escalar de tres variables w f ( x,, sea la superficie de nivel de valor e 0, f ( x, z ) 0 sea un punto concreto x0 de dicha superficie de nivel, esto es z 0) 0, en el cual. ( x0 ) 0. Entonces: 1. Por un lado, se tiene que el vector gradiente de f ( x, z ) en el punto x0 es: f ( x0) ( ( x0 ), ( x0), ( x0)) x z 1

14 . Por otro lado se tiene que la superficie de ecuación f ( x, z ) 0 es la gráfica de la función z g( x, definida implícitamente, en el punto x0, que el vector es normal a dicha superficie. ( ( x0), ( x0 ), ( x0)) Teniendo en cuenta las dos cuestiones anteriores se conclue que: el vector gradiente de la función en un punto es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por dicho punto. NOTA: Este resultado se ha establecido para un campo escalar de tres variables, pero se puede trasladar para campos escalares de cualquier número de variables. Derivadas parciales de orden superior. Como es sabido, dado un campo escalar de dos variables de la forma: f :D se pueden definir los campos escalares, también de dos variables, correspondientes a sus derivadas parciales, de la forma: x :D :D cada uno de estos campos tendrá, a su vez, sus derivadas parciales correspondientes. Estas derivadas parciales reciben el nombre de derivadas parciales segundas de f se expresan como: f ; f ; f ; f En este caso las derivadas f f se denominan derivadas cruzadas EJEMPLO: Sea la función de dos variables: f xe + x e x+ x+ las derivadas segundas de f se obtienen como: x f ( x, x e + ;. Sus derivadas parciales son: f x e x+ f ( xe + x e ) e + 4xe + x e x + x + x + x + x + f ( xe + x e ) xe + x e x + x + x + x + f ( x e ) xe + x e x+ x+ x+ 14

15 f ( x x e ) x e + x+ Obsérvese la igualdad de las derivadas cruzadas. NOTAS: 1ª. De la misma forma, las derivadas segundas de f también son campos escalares de dimensión dos tienen derivadas parciales, éstas són las derivadas parciales terceras de f. Algunas de ellas pueden ser: f f x ; f f ; f f ; 15 f f ª. Esta definición se puede extender de forma natural a campos escalares de más de dos variables. Así, dado: f :D n las derivadas parciales segundas serán de la forma: caso, las derivadas cruzadas son terceras serán: i f j f f f, con i, j, k 1,..., n. ki j k i j j i f xi x j x i x, con i, j 1,..., n en este j siguiendo con la derivación, las derivadas ª. Es necesario destacar la importancia del orden de escritura de las variables en el f denominador de la expresión de la derivada parcial. Así: significa derivar la función f ( x, ) primero con respecto a la variable el resultado con respecto a la variable x. En f cambio significa derivar primero con respecto a x, después con respecto a. 4ª. Existen otras formas para expresar las derivadas parciales de una función f ( x, ) que son extensiones de las vistas anteriormente. Así, a partir de f, f se definen f ( f ), f ( f ), f ( f ), f ( f ). x xx x x x x x x Y a partir de las expresiones D1 f, D f se obtienen las siguientes: D11 f D1( D 1 f ), D1 f D1( D f ), D1 f D( D 1 f ), D f D( D f ). Estas expresiones se extienden, de forma análoga, a derivadas de órdenes superiores al caso de más variables. 5ª. Matriz Hessiana. Las derivadas segundas de un campo escalar de n variables de la forma f ( x) f ( x1, x,..., x n ) se suelen escribir distribuidas en una matriz cuadrada de n filas n columnas denominada matriz Hessiana, simbolizada por H ( f ) cua expresión es:

16 f f f ( x) ( x) ( x) 1 1 n1 f f f ( x) ( x) ( x) H ( f )( x) 1 n f f f ( x) ( x) ( x) 1n n n EJEMPLO: Obtener la matriz Hessiana del campo escalar cualquier punto genérico x ( x,. f ( x, x z + z en z 6x z x H ( f )( x) 6x z 6x z x + 1 x x Si se calcula en un punto concreto (1, 1,) se obtiene: 4 1 H ( f )(1, 1,) Obsérvese la simetría de ambas matrices. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas. En el ejemplo anterior se observa que la matriz Hessiana es simétrica. Eso significa que las derivadas parciales cruzadas, en este caso, son iguales. En este contexto, es interesante enunciar el Teorema de Schwarz que establece las condiciones en que se da esta situación. Teorema de Schwarz: Sea el campo escalar de dos variables: f :D, siendo D un abierto. Sea el punto genérico ( x, D en el cual las derivadas cruzadas f ( x, existen son continuas. Entonces ambas derivadas son iguales. Esto es: f ( x, f ( x, f ( x, NOTAS: 1ª.- Obsérvese que las funciones presentadas en los ejemplos anteriores están en las condiciones del teorema de Schwarz. ª. Este teorema se extiende, de forma natural, a campos escalares de n variables. 16