y+3z=1 (a 2 -a-2)x-y-3z=-1 (a 2 -a-2)x+(a 2-2a)z=2-a -3 a 2-2a -1 3 a 2-2a 1 2-a ~ a ~3 0 a=2, a=-1 a 2-2a=0 a(a-2)=0 a=0, a=2 z=1 y=1-3z

Transcripción

1 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: Aplicamos el método de Gauss: ~ a -a- a -a- a -a- - - y+z= (a -a-)x-y-z=- (a -a-)x+(a -a)z=-a a-a- - a -a - -a ~ a -a- - - a-a- a -a+ -a ~ a -a -a ~ - - a -a -a 4 a ± +8 ± -a-= a= = a=, a=- a -a= a(a-)= a=, a= Estudiamos los distintos casos: ( PUNTOS) º) Si a=-, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: ~5 - º) Si a=, el sistema es incompatible: - - -y-z=- z= y=-z z= x=α y=- z= º) Si a=, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de dos parámetros: ~ x=α -y-z=- y=-z y=-β z=β 4º) Si a -, a y a, el sistema es compatible determinado: (a -a-)x-y-z=- y+z= (a -a)z=-a -a z= a(a-) = -(a-) a(a-) z=- a y=-z=+ a a+ y= a a+ (a-)(a+)x=-+y+z=-+ a - a = -a+a+- a = x= ªf ªf. ªf-ªf. ªf-ªf. 4 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar. 5 ªf+ªf. --

2 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Encuentra la ecuación general del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s: r x+y-z-= ; s x-y-z= x+ = y- = z- Puede seguirse uno de los dos métodos siguientes: ( PUNTOS) PRIMER MÉTODO: Hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta r: x+y-z= x-y-z= x-y-z= y+z= ~ - x=y+z=y+-y=-y z=-y - - ~ - 6 x=-α y=α z=/-α/ - 4 ~ - - P(,,/) u (-,,-/) Como v (,,) es un vector direccional de la recta s, la ecuación del plano π es 4 : x- -4 y- z-/ - = (x-)+5y-(z-/)= (x-)+y-(z-/)= x-+y-z+= x+y-z-= SEGUNDO MÉTODO: Como el plano π contiene a la recta r, pertenece al haz de planos de arista r: α(x+y-z-)+β(x-y-z)= 5 (α+β)x+(α-β)y+(-α-β)z-α= Como π y s son paralelos, el vector característico de π y el vector direccional de s son perpendiculares. Por tanto: (α+β,α-β,-α-β) (,,)= α+β+6α-β-4α-4β= 5α-5β= β=α 6 π 4αx+αy-4αz-α= 7 π x+y-z-= ªf ªf. ªf- ªf. ªf /. 4 Hemos multiplicado por dos al vector direccional de r para evitar fracciones. 5 Escribimos la ecuación del plano en su forma general para ver el aspecto de su vector característico. 6 Sustituimos β por α en la ecuación del haz. 7 Dividimos por α (α, ya que α y β no pueden ser simultáneamente nulos). --

3 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Dada la función f(x)=x x-4x+7, demuestra que existe un valor α (,) tal que f'(α)=4. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( PUNTOS) Aunque la función f es una función potencial-exponencial, puede escribirse como una función exponencial: f(x)= x x -4x+7 = e x -4x+7 ln x Como la ecuación x -4x+7= no tiene solución, el polinomio x -4x+7 es siempre positivo. Por tanto : Dom(f)=(,+ ). Por otro lado: f'(x)= e x -4x+7 ln x ( x -4x+7 ln x)' = = x x -4x+7 x-4 x -4x+7 ln x+ -4x+7 x x = Evidentemente: Dom(f')=(,+ ). = x x -4x+7 (x-) ln x x -4x+7 + x -4x+7 x * * * Como la función f satisface las condiciones del teorema de Lagrange, existe α en (,) tal que: f'(α)= f()-f() 9- - = = 8 =4 9 En efecto: ª) f es continua en [,] por ser derivable en (,+ ). ª) f es derivable en (,) por serlo en (,+ ). f O α Ya que al sustituir la x por un valor cualquiera sale positivo. Ya que solo existe el logaritmo de los números positivos. Si no modificas la función, como es una función potencial-exponencial, recuerda que la base debe ser necesariamente positiva. También podría hacerse el problema probando que la función f' cumple las condiciones de la propiedad de Darboux o que la función g(x)=f'(x)-4 cumple las del teorema de Bolzano o que la función g(x)=f(x)-4x cumple las del teorema de Rolle. --

4 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A4. Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=x - y g(x)= π cos( x). Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f y g. ( Puntos) º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: y=x - y=cos( π x) π x -=cos( x) x=- x= º) Averiguamos entre - y qué función está por encima y qué función está por debajo: x y y - º) Calculamos el área: A= - cos( π x)-x + dx= cos(π x) dx+ - (-x ) dx = - = π sen(π x) + - x x - = - π - π (-) = = π + π + + = 4 π + 4 = +4π π Esta ecuación se resuelve a ojo. La primera integral es casi inmediata de tipo seno. La segunda integral es inmediata. -4-

5 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Dadas las matrices A= - y B= -, calcula AB y BA. ( puntos) Como AB = A B y BA = B A, ambos resultados coinciden. Por tanto : AB = BA = A B = - - = (-) (-)=4 Otro modo de hacer el ejercicio consiste en calcular las matrices AB y BA y hallar luego sus determinantes, pero es más largo. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. -5-

6 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Encuentra la ecuación continua de la recta r que corta perpendicularmente a la recta s sabiendo además que cada punto de la recta r equidista de los puntos P(-,,) y Q(,-,): s x+y-z-= x+y+z-4= º) Hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta s: ( PUNTOS) x+y-z= x+y+z=4-4 ~ - 4 ~ ~ 4 x+y+z=4 y+z= x=4-y-z=4-4+z-z=z y=-z º) Si X(x,y,z) es un punto de la recta r: x=α y=-α z=α R(,,) u (,-,) d(x,p)=d(x,q) (x+) +(y-) +(z-) = x +(y+) +(z-) x +4x+4+y -y++z -6z+9=x +y +y++z -z+ 4x-4y-4z+= π x-y-z+= Esto significa que los puntos de la recta r están en el plano 4 π. º) Sea Z el punto de corte de las dos rectas. Por estar en la recta s, Z(α,-α,α); y por estar en r, pertenece al plano 5 π: α-+α-α+= α=- Z(-,,-) 4º) Como el vector direccional de la recta s, u (,-,), y el vector característico del plano π, v (,-,-), son ambos perpendiculares a la recta buscada, un vector direccional de ésta es: i w = j - - k =i +j =(i +j ) - Luego la ecuación continua de la recta buscada es: x+ r = y- = z+ ªf ªf. ªf- ªf. ªf (-/). 4 Este plano es el plano mediador del segmento PQ, esto es, el plano perpendicular al segmento en su punto medio. Su ecuación puede obtenerse también de este modo. 5 Dicho de otro modo, Y es la intersección de s y π. -6-

7 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Halla las integrales indefinidas: dx x+ x y x sen(x) dx ( PUNTOS) PRIMERA INTEGRAL: dx t dt x+ x = t +t = t dt t(t+) = = t+ dt ln t+ +C= ln + x +C Comprobación: x)' ( ln + x )'= (+ + x = x + x = x (+ x) = x+x SEGUNDA INTEGRAL: x sen(x) dx = x cos(x)+ x sen(x)+ 4 cos(x)+c S D I + x sen(x) - x -cos(x)/ + -sen(x)/4 - cos(x)/8 Comprobación: - x cos(x)+ x sen(x)+ 4 cos(x) ' = =-x cos(x)+x sen(x)+ sen(x)+x cos(x)- sen(x)=x sen(x) Hacemos el cambio x=t, dx=t dt. Se trata de una integral casi inmediata de tipo logarítmico. Esta integral se hace por partes. Las integrales efectuadas en la columna I son casi inmediatas de tipo seno y coseno. Se pueden simplificar estas integrales haciendo primero el cambio x=t, dx=dt. -7-

8 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B4. Calcula los extremos absolutos de la función f(x)=ln(x +x+)-x en el intervalo [-,]. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( Puntos) º) Estudiamos la continuidad de la función en el intervalo: x+ f'(x)= x +x+ -= x+-x -x- x-x x +x+ = x +x+ = x(-x) x +x+ Dom(f')=Dom(f)=R f es continua en R f es continua en [-,] Por el teorema de Weierstrass la función f alcanza en dicho intervalo sus extremos absolutos. Éstos se encuentran en los extremos del intervalo o entre sus extremos relativos. º) Calculamos los valores de f en los extremos del intervalo: f(-)=ln +=+= f()=ln 7-- -,54 º) Hallamos los extremos relativos de la función en el intervalo: Como la condición necesaria de extremo relativo es que la derivada valga cero: f'(x)= x(-x) x +x+ = x(x-)= x=, x= Estudiamos el signo de f' en el intervalo: Como f es continua en x= y x=, por el criterio de la variación del signo de la derivada primera f tiene un mínimo relativo en x= que vale y=f()=ln -=, y un máximo relativo en x= que vale y= =f()=ln --,986. 4º) Conclusión: La función f tiene en x=- un máximo absoluto que vale y=; y en x= un mínimo absoluto que vale y=ln 7-: ln - - O ln 7- f Ya que la ecuación x +x+= no tiene soluciones reales y x +x+>. -8-