S-25: Extremos Absolutos

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1 S-25: Extremos Absolutos

2 P3) Estudia los extremos absolutos y relativos de la función f x, y = x 4 + xy 2 y 3 en el conjunto A = x, y R 2 : y 2, y x 2 Solución Frontera de A y 2 Interior de A A y x La frontera es parte del propio conjunto, A contiene todos sus puntos frontera y por tanto es cerrado. También es acotado. La función es continua en A y por el teorema de Weierstrass, alcanza valores máximo y mínimo en puntos del conjunto. Buscamos extremos relativos en el interior de A. La frontera consta de dos subconjuntos que estudiamos por separado.

3 D 2 f x, y Extremos relativos en el interior de A = 2xy 3y 2 = y 2x 3y = y =, y = 2x 3 en la frontera de A, es punto critíco D 1 f x, y = 4x 3 + y 2 = 4x 3 + 4x2 9 = x2 x = x =, x = 1 9 x = 1 9 y = 2x 3 y = , 2 27 es punto critíco fuera del conjunto A. Tenemos 2 puntos críticos, en la frontera de A y 1, consecuencia la función no tiene extremos relativos en A. fuera de A, en

4 Extremos en la frontera de A La parábola Restringiremos la superficie f x, y = x 4 + xy 2 y 3 para valores de y = x 2 : f x, x 2 = x 4 + x 5 x 6 para x 2, 2 Los puntos críticos candidatos a extremos absolutos: Los extremos del intervalo 2, 2 y 2, 2. Los que resulten de hacer f x, x 2 =. f x, x 2 = x x 6x 2 = x 3 2x x x = ; x = 1 2 ; x = 4 3 Luego los puntos críticos son, ; 1, 1 ; 4, La recta Restringiremos la superficie f x, y = x 4 + xy 2 y 3 para valores de y = 2: f x, 2 = x 4 + 4x 8 para x 2, 2 Los puntos críticos candidatos a extremos absolutos: Los extremos del intervalo 2, 2 y 2, 2. Los que resulten de hacer f x, 2 =.

5 f x, 2 = x 4 + 4x 8 f x, 2 = 4x = x 3 = 1; Entonces se trata del punto crítico de abscisa 2 sobre la recta y = 2: 1,2 Para determinar el máximo y el mínimo absoluto, evaluamos f en todos los puntos: 2, 2 ; 2, 2 ;, ; 1 2, 1 4 ; 4 3, 16 9 ; 1,2 f x, y = x 4 + xy 2 y 3 f 2, 2 = 9.65 f 2, 2 = 1.65 f, = f 1 2, 1 4 = 1 64 f 4 3, 16 = 128 = f 1,2 = 11 4, es máximo absoluto 1, 2 es mínimo absoluto

6 P5) Halla los valores máximos y mínimos que alcanza la función f x, y = xy sobre los puntos de la curva cerrada 2x 2 + 2y 2 2xy = 1. Solución Se trata de Minimizar/maximizar f x, y = xy Sujeto a la condición: g x, y = 2x 2 + 2y 2 2xy 1. Para resolver el problema seguiremos los siguientes pasos: I) Construimos la función auxiliar U x, y = f x, y + λg x, y : II) Planteamos el sistema: U x, y = xy + λ 2x 2 + 2y 2 2xy 1 D 1 U x, y = : y + 4λx 2λy = D 2 U x, y = : x + 4λy 2λx = g x, y = : 2x 2 + 2y 2 2xy 1 = III) Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x, y, λ : Multiplicamos la primera ecuación por x, la segunda por y y si las restamos obtenemos que: 4λx 2 4λy 2 = 4λ x 2 y 2 = λ =, x 2 = y 2

7 Si λ = : y + 4λx 2λy = y = x + 4λy 2λx = x = 2x 2 + 2y 2 2xy 1 = 1 = Absurdo, por lo que descartamos λ =. Si x 2 = y 2 x = ±y Si y = x: Si y = x: Tenemos 4 puntos: 2x 2 + 2y 2 2xy 1 = 4x 2 2x 2 1 = 2x 2 = 1 x = ± 1 2 = y 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 2x 2 + 2y 2 2xy 1 = 4x 2 + 2x 2 1 = 6x 2 = 1 x = ± 1 6 = y 1 6, 1 6, 1 6, , 1 2, 1 2, 1 2, 1 6, 1 6, 1 6, 1 6 Como los puntos que cumplen g(x, y) = forman un conjunto cerrado y acotado en R 2 y la función f(x, y) = xy es continua, por el Teorema de Weierstrass f alcanza su máximo y su mínimo en ese conjunto, y tendrán que estar entre estos puntos. Como además: f 1 2, 1 2 = 1 2 = f 1 2, 1 2 ; f 1 6, 1 6 = 1 6 = f 1 6, 1 6 ; Los 2 primeros son máximos y los dos segundos son mínimos.

8 P5) Halla los puntos críticos de f x, y = x y 2 y clasifícalos. Solución Teorema 63 (Condición suficiente) Sea f: A R 2 R una función con derivadas parciales hasta segundo orden continuas en A. Sea x, y punto interior de A tal que: D 1 f x, y = D 2 f x, y = ( punto crítico). Sea la matriz: A = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) 1) Si D 11 f(x, y ) > y Det A >, entonces x, y es mínimo local de f. 2) Si D 11 f(x, y ) < y Det A >, entonces x, y es máximo local de f. 3) Si Det A < no es máximo ni mínimo local de f. (Punto de Silla). 4. En otro caso (Det A = ), no sabemos si x, y es máximo o mínimo local de f (habría que estudiar las derivadas parciales de orden superior). A(x, y) = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) = 12x2 4 2

9 Calculamos los puntos críticos resolviendo el sistema formado por: f x, y = x y 2 D 1 f x, y = D 2 f x, y = D 1 f x, y = 4x x 2 4 = D 2 f x, y = 2y = x =, x = 2, x = 2 y = Tenemos tres puntos críticos: (,);(2,);( 2,) Para clasificarlos, es decir saber si es máximo local, mínimo local o punto de silla, calculamos la matriz: A(x, y) = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) = 12x x, y = (, ): A x, y = 16 2 D 11 f x, y = 16 < y Det A(x, y ) = 32 < x, y = (,) es punto de silla x, y = (2, ): A x, y = 32 2 D 11 f x, y = 32 > y Det A(x, y ) = 64 > x, y = (2,) es un mínimo local x, y = ( 2, ): A x, y = 32 2 D 11 f x, y = 32 > y Det A(x, y ) = 64 > x, y = (2,) es un mínimo local

10 Entonces tenemos dos mínimos locales y un punto de silla: Dos mínimos locales y un punto de silla data1 4 z=x 4-8x y y x 2 4

11 P9) Halla los puntos críticos de f x, y = x 3 + 3x 2 y 3x 2 3y y clasifícalos. Solución D 1 f x, y = 3x 2 + 6xy 6x = D 2 f x, y = 3x 2 6y = Tenemos tres puntos críticos: (,);(1, 1 2 );( 2,2) y = x2 2 3x 2 + 3x 3 6x = x x 2 + x 2 = Para clasificarlos, es decir saber si es máximo local, mínimo local o punto de silla, calculamos la matriz: A(x, y) = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) x, y = (, ): A x, y = 6 6 x =, x = 1, x = 2 y =, y = 1 2, y = 2 6x + 6y 6 6x = 6x 6 D 11 f x, y = 6 < y Det A(x, y ) = 36 > x, y = (,) es máximo local. x, y = (1, 1 2 ): A x, y = D 11 f x, y = 3 > y Det A(x, y ) = 54 < x, y = (1, 1 ) es punto de silla. 2 x, y = ( 2, 2): A x, y = D 11 f x, y = 6 > y Det A(x, y ) = 18 < x, y = ( 2,2) es punto de silla.

12 Entonces tenemos dos puntos de silla y un máximo local: 1, 1 2 2,2 1 X: Y: Z: Y X

13 1, ,2 X: Y: Z: X

14 OTRA PERSPECTIVA 1 5 Z Y

15 P1) Prueba que f x, y = x 2 y 2 x 2 + y 2 1 toma el valor mínimo 1 27 máximo en,. Solución y tiene un D 1 f x, y = 2xy 2 x 2 + y x 2 y 2 2x = 2xy 2 2x 2 + y 2 1 = D 2 f x, y = 2x 2 y x 2 + y x 2 y 2 2y = 2x 2 y x 2 + 2y 2 1 = x = El eje OY y = El eje OX Ó 2x2 + y 2 1 De la primera y 2 = 1 2x 2 x 2 + 2y 2 1 Substituyendo en la 2ª x x 2 1 = x x 2 1 = 3x 2 = 1 x 2 = 1 3 x = ± 1 3 = ± 3 3 y 2 = 1 2x 2 = = 1 3 y = ± 1 3 = ± 3 3 Tenemos 4 puntos críticos 3, 3 3 3, 3, 3 3 3, 3, 3 3 3, 3, y los puntos de la forma, y El eje OY y los puntos de la forma x, El eje OX.

16 Para clasificarlos, es decir saber si es máximo local, mínimo local o punto de silla, calculamos la matriz: A(x, y) = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) = 12x2 y 2 + 2y 4 2y 2 8x 3 y + 8xy 3 4xy 8x 3 y + 8xy 3 4xy 2x x 2 y 2 2x 2 x, y = 3, : A x, y = D 11 f x, y = 8 > y Det A(x 9, y ) = x, y = ( 3 x, y = 3 3, 3 3 : A x, y = , D 11 f x, y = 8 9 > y Det A(x, y ) = > x, y = ( 3, ) es mínimo local. ) es mínimo local. x, y = 3 3, 3 3 Y x, y = 3, también son mínimos locales

17 Los puntos de la forma, y : A(x, y) = D 11f(x, y) D 12 f(x, y) D 12 f(x, y) D 22 f(x, y) = 12x2 y 2 + 2y 4 2y 2 8x 3 y + 8xy 3 4xy 8x 3 y + 8xy 3 4xy 2x x 2 y 2 2x 2 A, y = 2y4 2y 2 det A = no sabemos si es máximo o mínimo local de f. Los puntos de la forma x, : A x, = 2x 4 2x2 det A = no sabemos si es máximo o mínimo local de f.