Ejercicios... Julio Yarasca

Transcripción

1 Ejercicios... Julio Yarasca 4 de junio de 2015

2 Capítulo 1 Productos Notables 1.1. Teoría Tenemos los siguientes productos notables 1. Binomio al cuadrado 2. Identidades de Lagrange 3. Diferencia de Cuadrados (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1.1) (a b) 2 = a 2 2ab b 2 (1.2) (a + b) 2 + (a b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) (1.3) (a + b) 2 (a b) 2 = 4ab (1.4) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (1.5) 4. Binomio al cubo (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) (1.6) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = a 3 b 3 3ab(a b) (1.7) 5. Suma y diferencia de cubos a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) (1.8) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) (1.9) 1

3 Problema 2 Si x + 1 x = 4, hallar: R = (x 2 + x 2 )(x 3 + x 3 ) 6. Trinomio al cuadrado (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac) (1.10) 7. Trinomio al cubo (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) (1.11) 8. Otras: Si a + b + c = 0, se cumple a 2 + b 2 + c 2 = 2(ab + bc + ac) (1.12) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (1.13) Problema 1 Si x 3 + y 3 = 20 y xy = 5, calcular : M = (x + y) 3 15(x + y) + 15 Reemplazando (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y) = (x + y) 3 = (x + y) M = (x + y) 3 15(x + y) + 15 = (x + y) 15(x + y) + 15 = 35 x + x 1 = 4 = (x + x 1 ) 2 = 16 = x 2 + 2xx 1 + x 2 = 16 x 2 + x 2 = 14 2

4 Remplazando x + x 1 = 4 = (x + x 1 ) 3 = 64 = x 3 + 3xx 1 4 (x + x 1 ) + x 3 = 16 x 3 + x = 64 x 3 + x 3 = 52 R = (x 2 + x 2 )(x 3 + x 3 ) = = 728 Problema 3 Si x + 1 x = a, hallar: U = x x 2 Por lo tanto x + x 1 = a = (x + x 1 ) 2 = a 2 = x 2 + 2xx 1 + x 2 = a 2 U = x x 2 = a2 2 x 2 + x 2 = a 2 2 Problema 4 Si ( a + 1 a) 2 = 3, hallar W = a a 3 Ahora (a + a 1 ) 2 = 3 = a 2 + 2aa 1 + a 2 = 3 = a 2 + a 2 = 1 (a + a 1 )(a 2 + a 2 ) = 3,1 a 3 + a a + a 1 = 3 a 3 + a 3 = 0 3

5 Por lo tanto W = 0 Problema 5 Si x + y + z = 1, calcular M = x3 + y 3 + z 3 1 xy + yz + zx xyz x + y + z = 1 = (x + y + z) 3 = 1 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(x + z) = 1 x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(x + z) = 1 3(x + y)(y + z)(x + z) = x 3 + y 3 + z 3 1 3(1 z)(1 x)(1 y) = x 3 + y 3 + z 3 1 Reemplazando M = x3 + y 3 + z 3 1 xy + yz + zx xyz = 3(1 z)(1 x)(1 y) xy + yz + zx xyz (1 z x + xz)(1 y) = 3 xy + yz + zx xyz 1 z x + xz y + zy + xy xyz = 3 xy + yz + zx xyz xz + zy + xy xyz = 3 xy + yz + zx xyz = 3 Problema 6 Si a + b + c = 0, reducir: W = a2 + b 2 c 2 a + b2 + c 2 a 2 b + c2 + a 2 b 2 c 4

6 Reemplazando a + b + c = 0 = a + b = c = a 2 + b 2 + 2ab = c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 2ab a + c = b = a 2 + c 2 + 2ac = b 2 = a 2 + c 2 b 2 = 2ac b + c = a = b 2 + c 2 + 2bc = a 2 = b 2 + c 2 a 2 = 2bc W = a2 + b 2 c 2 a 2ab a + 2bc b = 2b 2c 2a = 2(a + b + c) = 0 + b2 + c 2 a 2 b + 2ac c + c2 + a 2 b 2 c Problema 7 Si b 3 1 = 0 y b 1, calcular: Q = 1 + b5 b 4 Tenemos Multiplicando por b 3 tenemos b 3 1 = 0 = (b 1)(b 2 + b + 1) = b 2 + b + 1 = 0 Por lo tanto Q = 1 b 5 + b 4 + b 3 = 0 = b 5 + b = 0 = b 4 = b = 1 + b5 b 4 = 1 Problema 8 Si a + 1 b = 1 y b + 1 c = 1, determine el valor de W = abc 5

7 Tenemos a + 1 b = 1 = ab + 1 = b b + 1 c = 1 = bc + 1 = c = bc c = 1 Entonces multiplicando por c a ab + 1 = b tenemos Por lo tanto W = 1 abc + c = bc = abc = bc c = 1 6

8 Capítulo 2 División 2.1. Teoría Recordems el algoritmo de la división D(x) = d(x)q(x) + R(x) donde D(x): dividendo d(x): divisor Q(x): cociente R(x): residuo 2.2. Problemas Problema 9 Encontrar el residuo y cociente de la siguiente división: 6x 4 7x 3 4x x 3 3x 2 + x 2 7

9 Tenemos que el dividendo y el divisor estan completos y ordenado entonces Entonces Q(x) = 2x 2 3x + 1 y R(x) = 3x Problema 10 Encuentre el cociente de dividir x 5 + 5x x x 3 + 5x + 1 x + 1 Tenemos Entonces el cociente Q(x) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x Problema 11 El residuo de dividir: es 5x x + 7, calcular U.N.I 8x 5 + 4x 3 + Ux 2 + Nx + I 2x 3 + x

10 Utilizando el metodo de horner Entonces Por lo tanto U.N.I = U N I U 12 3 = 5 = U = 20 N + 6 = 11 = N = 5 I 9 = 7 = I = 16 Problema 12 Si la división es exacta, encontrar A + B. 6x x x 2 + Ax + B 3x 2 + 2x + 1 Utilizando el metodo de horner Entonces Por lo tanto A + B = A B A = 0 = A = 6 B + 5 = 0 = B = 5 Problema 13 Calcular el residuo de dividir (x 2 3x 1) 4 + 2(x 3) 5 + x x 4 9

11 Aplicando el teorema del resto tenemos x 4 = 0 = x = 4 Reemplazando en (x 2 3x 1) 4 + 2(x 3) 5 + x, tenemos R(x) = = 87 Problema 14 Hallar el resto de dividir (x 4) 7 + (x 5) 11 por x 2 9x Tenemos x 2 9x + 20 = (x 4)(x 5) y el resto es de la forma ax + b, entonces algoritmo de la división es Para x = 4 tenemos Para x = 5 tenemos Por lo tanto a = 2 y b = 9, el resto R(x) = 2x 9. (x 4) 7 + (x 5) 11 = Q(x)(x 4)(x 5) + ax + b 1 = 4a + b 1 = 5a + b 10

12 Capítulo 3 Cocientes Notables 3.1. Teoría Si es un cociente notable se cumple x m ± y n x a ± y b m a = n = número de términos b Sea N :número de términos, el término k-ésimo es t k = ±(x a ) N k (y b ) k Problemas Problema 15 Sea el cociente notable tiene 10 términos, hallar m + n x 30 y m x 2 y 2 11

13 Como es un cociente notable tenemos Entonces n = 3 y m = 20, la suma es 23. x 30 y m x n y 2 30 n = m 2 = 10 Problema 16 Sea el cociente notable tiene 9 términos, hallar m + n x m 2 y n+5 x 3 y 2 Como x m 2 y n+5 x 3 y 2 es un cociente notable tenemos m 2 = n + 5 = Entonces m = 29 y n = 13 por lo tanto m + n = 42. Problema 17 La siguiente división es un cociente notable x m2 +81 y 2m x 27 y 3 Hallar el número de términos de dicho cociente notable. Sea N el número de términos, tenemos N = m = 2m 3 12

14 Luego Por otro lado m = 2m 3 = m = 18m = (m 9) 2 = 0 = m = 9 N = 2m 3 = N = 6 Por lo tanto el número de términos es 6. Problema 18 Si m n = 27, y x m y n x 7 y 4 es un cociente notable, hallar el grado absoluto del sexto terminio del desarrollo. Como es un cociente notable tenemos m 7 = n 4 = m = 7n 4 Reemplazando 7n n = 27 = n = 36 4 Entonces m = 63, tambien el número de términos es 9,p por lo tanto t 6 = (x 7 ) 9 6 (y 4 ) 6 1 = x 21 y 20 13

15 Capítulo 4 MCD y MCM 4.1. Regla 1. Se factorizan los polinomios dados. 2. El MCD estará formado por la multiplicación de todos los factores primos comunes de los polinomios dados, considerados con su menor exponente. 3. El MCM está formado por la multiplicación de factores primos no comunes y comunes, a los polinomios dados, considerados con su mayor exponente. Sean p, q polinomios, se cumple MCD(p, q) MCM(p, q) = p q 4.2. Problemas Problema 19 Sean Calcular MCD, MCM M(x) = (x + 6) 2 (x + 7) 3 (x 9) 4 N(x) = (x + 10) 3 (x + 7) 2 (x + 6) 3 14

16 Tenemos MCD = (x + 6) 2 (x + 7) 2 MCM = (x + 10) 3 (x 9) 4 (x + 6) 3 (x + 7) 3 Problema 20 Sean F (x) = x 3 + x 2 + x + 1 P (x) = x 3 + 6x x + 6 Hallar el MCD. Tenemos que F ( 1) = 0 entonces (x ( 1)) es un factor de F, Entonces Ahora notemos Por lo tanto Entonces MCD = x + 1 F (x) = (x + 1)(x 2 + 1) P ( 1) = 0 P ( 2) = 0 P ( 3) = 0 P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) 15