MATEMÁTICAS (Grado en Química) PRÁCTICA 8 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Transcripción

1 MATEMÁTICAS (Grado en Química) PRÁCTICA 8 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1.- GRÁFICOS TRIDIMENSIONALES ü CÓMO DIBUJAR FUNCIONES EN TRES DIMENSIONES El comando que se necesita para dibujar funciones de dos variables en tres dimensiones es Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]. El primer argumento es la expresión que se va a dibujar. El segundo argumento es el intervalo de variación para " x". El tercer argumento es el intervalo de variación para " y". Por defecto la función se dibuja en una caja de 15x15 y cada cuadrícula se colorea de acuerdo a un modelo simple de reflejo de luz. Ejemplo 1. Representar gráficamente la función f(x,y) = y 2 seniy + 1 M en los intervalos -1 x 1 y -1 y 1. x Plot3DBy 2 SinBy + 1 F, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<F x Ejemplo 2. Mathematica dibuja las gráficas en un cubo tridimensional, por eso es interesante rotular los ejes mediante la opción AxesLabel, que nos ayudará a situarnos en la orientación del gráfico. Plot3D@Sin@x yd, 8x, 0, π<, 8y, 0, 2 π<, AxesLabel 8x, y, z<d Ejemplo 3. Para mirar la gráfica desde diferentes puntos del espacio es suficiente mantener pulsado el ratón sobre la gráfica mientras se mueve el cursor sobre la pantalla. Observar la gráfica de la función f(x,y) =-x 2 + y 2 desde diferentes puntos del espacio. Plot3DA x 2 + y 2, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<, AxesLabel 8Eje x, Eje y, Eje z< E ü CÓMO REALIZAR CURVAS DE NIVEL Las curvas de nivel son la herramienta que permite representar, en el plano, gráficos tridimensionales de funciones de dos variables. La técnica consiste en mostrar algunas de las curvas del plano cuyos puntos toman el mismo valor z para la función f(x,y). Por ello éstas son denominadas "curvas de nivel", ya que a modo de mapa topográfico "muestran" el relieve de la correspondiente superficie. Así pues, cada una de estas curvas de nivel es la proyección sobre el plano XY de una sección horizontal, a una determinada altura o nivel, de la gráfica z=f(x,y. La orden del Mathematica que sirve para este propósito es ContourPlot.

2 2 Práctica 8.nb Ejemplo. a) Mostrar la gráfica de la función g(x,y) = x 2 y 2. b)con el comando ContourPlot mostrar las curvas de nivel. g@x_, y_d = x 2 y 2 x 2 y 2 Plot3D@g@x, yd, 8x, 10, 10<, 8y, 10, 10<D ContourPlot@g@x, yd, 8x, 10, 10<, 8y, 10, 10<D 2.- DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES ü DERIVADAS PARCIALES Mathematica permite el cálculo de las derivadas parciales en un punto cualquiera mediante las siguientes órdenes: D[f[x,y],x] calcula la derivada parcial de la función f(x,y) respecto a la variable x. D[f[x,y],y] calcula la derivada parcial de la función f(x,y) respecto a la variable y. Ejemplo 5. Considerar la función f(x,y) = Ln J x2 - x+3 y 2-5 x+6 N. a) Calcular las derivadas parciales. b) Evaluar las funciones derivadas parciales en el punto (, 5). a) f@x_, y_d = LogB x2 x + 3 F y 2 5 x + 6 LogB 3 x+x2 6 5x+y 2F D@f@x, yd, xd I6 5 x+y 2 M K 5 H3 x+x2 L H6 5 x+y 2 L 2 3 x+x x 6 5 x+y 2O Simplify@%D 9+5 x 2 + y 2 2 x I6+y 2 M I3 x+x 2 M I 6+5 x y 2 M D@f@x, yd, yd 2 y 6 5 x+y 2 b)

3 Práctica 8.nb 3 D@f@x, yd, xd ê. 8x >, y > 5< D@f@x, yd, yd ê. 8x >, y > 5< Ejemplo 6. Realizar el cálculo de las derivadas parciales de la función del ejemplo anterior utilizando la paleta. x f@x, yd I6 5 x + y 2 M K 5 H3 x+x2 L H6 5 x+y 2 L 2 3 x + x 2 I6 5 x + y 2 M 5I3 x+x2 M I6 5 x+y 2 M 2 3 x + x x 6 5 x+y 2O + +2 x 6 5 x+y 2 y f@x, yd 2 y 6 5 x+y 2 ü DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS Para calcular la derivada parcial sucesiva de la función f, n veces respecto de x, m veces respecto de y, la orden es D[f[x,y],{x,n},{y,m}]. Ejemplo 7. Sea g(x,y) = x6 g@x_, y_d = x6 x 6 y 2 y 2. Calcular la derivada parcial de tercer orden respecto de x y de segundo orden respecto de y. y2 D@g@x, yd, 8x, 3<, 8y, 2<D 720 x 3 y Ejemplo 8. Calcular para la función del ejemplo anterior las derivadas parciales que se indica utilizando la paleta. a) Derivadas parciales de primer orden. b) Todas las derivadas parciales de segundo orden. c) La derivada parcial de orden tres en x y orden dos en y. Evaluarla en el punto (1, 2).

4 Práctica 8.nb a) x g@x, yd 6 x 5 y 2 y g@x, yd 2 x6 y 3 b) c) x,x g@x, yd 30 x y 2 y,y g@x, yd 6 x 6 y Simplify@%D 6 x 6 y x,y g@x, yd 12 x5 y 3 y,x g@x, yd 12 x5 y 3 8x,3<,8y,2< g@x, yd 720 x 3 y % ê. 8x > 1, y > 2< 5

5 Práctica 8.nb EXTREMOS RELATIVOS ü EXTREMOS RELATIVOS LIBRES Para realizar el estudio de los extremos relativos de una función escalar tenemos que calcular los puntos críticos (que son los posibles máximos o mínimos) que son los puntos donde se anulan todas las derivadas parciales primeras. Se utilizan dos criterios para analizar los puntos criticos. 1) Criterio de las segundas derivadas parciales: consiste en el estudio del determinante de la matriz hessiana, H, matriz de derivadas parciales segundas, en los puntos críticos. Considérese el determinante de la matriz hessiana en el punto critico (a, b): d = x,x fha, bl y,y fha, bl - ( x,y fha, bl) 2. a) Si d > 0 y x,x fha, bl > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (a, b). b) Si d > 0 y x,x fha, bl 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b). c) Si d < 0 entonces (a, b, f(a,b)) es un punto de silla. 2) Mediante los valores propios. a) Si todos los valores propios de H en el punto critico (a, b) son positivos, entonces f tiene un mínimo relativo (a, b). b) Si los valores propios de H en (a, b) son negativos, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b). c) Si los valores propios de H en (a, b) son positivos y negativos hay un punto de silla en (a, b). Ejemplo 9. Determinar los extremos relativos de f(x,y) = Clear@f, x, yd - x x 2 +y f@x_, y_d = x 1+x 2 + y 2 x x 2 + y Calculamos ahora las derivadas parciales de primer orden. x f@x, yd 8 x 2 I1 + x 2 + y 2 M 2 1+x 2 + y 2 y f@x, yd 8 x y I1 + x 2 + y 2 M 2 Nos interesa ver dónde se anulan las derivadas parciales para tener los puntos criticos de esta función. Solve@8 x f@x, yd == 0, y f@x, yd == 0<, 8x, y<d 88x 1, y 0<, 8x 1, y 0<<

6 6 Práctica 8.nb Por tanto los puntos críticos son (-1, 0), (1, 0). Para buscar los extremos relativos de f adoptamos el criterio de las segundas derivadas. La matriz Hessiana la calculamos de la siguiente forma: H = x,x f@x, yd x,y f@x, yd y,x f@x, yd y,y f@x, yd 32 x 3 :: + 2 x, 32 x 2 y + I1+x 2 + y 2 M 3 I1+x 2 + y 2 M 2 I1+x 2 + y 2 M 3 32 x 2 y : + 8 y, 32 x y 2 + I1+x 2 + y 2 M 3 I1+x 2 + y 2 M 2 I1+x 2 + y 2 M 3 8 y I1+x 2 + y 2 M 2>, 8 x I1+x 2 + y 2 M 2>> A continuación estudiamos el signo de x,x f@x, yd en el primer punto critico,(-1, 0). x,x f@x, yd 32 x x I1+x 2 + y 2 M 3 I1+x 2 + y 2 M 2 % ê. 8x 1, y 0< 2 Tenemos que estudiar el determinante de la matriz Hessiana en el punto crítico (-1, 0). d1 = Det@HD ê. 8x 1, y 0< Por lo tanto en (-1, 0, f(-1, 0)) hay un máximo. Estudiamos el determinante de la matriz Hessiana en el segundo punto critico, (1, 0). Clear@dD d2 = Det@HD ê. 8x 1, y 0< También, estudiamos el signo de x,x f@x, yd en el segundo punto critico,(1, 0). x,x f@x, yd 32 x x I1+x 2 + y 2 M 3 I1+x 2 + y 2 M 2 % ê. 8x 1, y 0< 2

7 Práctica 8.nb 7 Por el criterio aplicado, en (1, 0, f(1, 0)) hay un mínimo. Observemos la gráfica desde varios puntos del espacio. Plot3D@f@x, yd, 8x, 5, 5<, 8y, 7, 7<, AxesLabel 8Eje x, Eje y, Eje z<d Ejemplo 10. Calcular los extremos relativos de f(x, y) = 2 x 2 - x y + x utilizando el segundo criterio. Clear@f, x, y, HD f@x_, y_d = 2 x 2 x y + y 2 x 2 x y+y Calculamos sus puntos críticos, es decir, resolvemos el sistema formado igualando sus derivadas parciales a cero. Solve@8 x f@x, yd == 0, y f@x, yd == 0<, 8x, y<d ::x 1 16, y 1 >, 8x 0, y 0<, :x 1 16, y 1 >> Por tanto los puntos críticos son (- 1 16,- 1 1 ), (0,0), ( 16, 1 ). Calculamos la matriz Hessiana. H = x,x f@x, yd x,y f@x, yd y,x f@x, yd y,y f@x, yd 98, 1<, 9 1, 12 y 2 == Tenemos que calcular los autovalores de la matriz Hessiana en los puntos críticos. Comenzamos con (- 1 16, - 1 ). EigenvaluesBH ê. :x 1 16, y 1 >F êê N , < Por tanto en (- 1 16, - 1, f(- 1 16,- 1 )) tenemos un mínimo relativo. Estudiamos el determinante en el segundo punto critico, (0, 0). Eigenvalues@H ê. 8x 0, y 0<D êê N , < Según este criterio, en el punto (0, 0, f(0,0)) hay un punto de silla.

8 8 Práctica 8.nb Por último estudiamos la función en el punto ( 1 16, 1 ). EigenvaluesBH ê. :x 1 16, y 1 >F êê N , < Como los dos autovalores son positivos, en ( 1 16, 1, f( 1 16, 1 )) tenemos en mínimo relativo. Dibujamos la función y la observamos seleccionando diferentes puntos de vista. Plot3D@f@x, yd, 8x, 0.3, 0.3<, 8y, 0.5, 0.5<, AxesLabel 8Eje x, Eje y, Eje z<d ü EXTREMOS RELATIVOS CONDICIONADOS Se trata ahora de extremar una función sujeta a ciertas condiciones. Este problema se puede resolver de diferentes formas. Aquí abordaremos una de ellas, a saber despejando de las ecuaciones que dan las condiciones y sustituyendo en la función; resulta así un extremo relativo de una función sin condiciones, el cual se estudiará como lo hemos hecho en el apartado anterior. Veámoslo mediante un ejemplo: Ejemplo 11. Calcular los extremos de la función f(x,y,z) = 2x 2 + y 2 + z 2, sujeta a la condición x + y + z = 1. Clear@"Global` "D f@x_, y_, z_d = 2 x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 + y 2 + z 2 Solve@x + y + z == 1, 8x, y, z<d Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. 88x 1 y z<< x = 1 y z 1 y z f@x, y, zd y H1 y zl 2 + z 2 g@y_, z_d = f@x, y, zd y H1 y zl 2 + z 2 Esta función es de dos variables (y, z) y no tiene ninguna condición, por lo que el estudio de sus extremos sería: Solve@8 y g@y, zd == 0, z g@y, zd == 0<, 8y, z<d ::y 2 5, z 2 5 >>

9 Práctica 8.nb 9 H = y,y g@y, zd y,z g@y, zd z,y g@y, zd z,z g@y, zd 886, <, 8, 6<< Det@%D 20 x ê. :y 2 5, z 2 5 > 1 5 Como el elemento (1, 1) y el determinante son mayores que cero, la forma cuadrática es definida positiva; en el punto (1/5, 2/5, 2/5) habrá un mínimo relativo. ü EXTREMOS RELATIVOS CONDICIONADOS: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Nos planteamos ahora el estudio de los extremos relativos de funciones restringidas a un determinado conjunto siguiendo el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange. Ejemplo 12. Cálcular los máximos y/o mínimos de la función f(x,y,z) = x y z sujeta a al restricción x + y + z = 9 siguiendo el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange. Definimos en primer lugar la función f y la función Lagrangiana L Clear@f, x, y, z, LD f@x_, y_, z_d = x y z x y z L@x_, y_, z_, λ_d = x y z + λ Hx + y + z 9L x y z+h 9+x+y+zL λ Calculamos a continuación los puntos críticos. Gradiente@LD@x_, y_, z_, λ_d = 8 x L@x, y, z, λd, y L@x, y, z, λd, z L@x, y, z, λd, λ L@x, y, z, λd< 8y z+λ, x z+λ, x y+λ, 9+x+y+z< pc = Solve@Gradiente@LD@x, y, z, λd 80, 0, 0, 0<, 8x, y, z, λ<d 88λ 9, x 3, y 3, z 3<, 8λ 0, x 0, y 0, z 9<, 8λ 0, x 0, y 9, z 0<, 8λ 0, x 9, y 0, z 0<< f@x, y, zd ê. pc@@1dd 27

10 10 Práctica 8.nb y, zd ê. 0 y, zd ê. 0 y, zd ê. 0 La función posee un máximo en el punto (3, 3, 3). EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1.- a) Representar gráficamente en el dominio -2π x 2π, -2π y 2π, las siguientes funciones. b) Mostrar las curvas de nivel para cada función. I) f(x, y) = x 2 + y 2. II) g(x, y) = x sen y. Ejercicio 2.- Hallar los extremos de la función f(x, y) = x 3 + x 2 y + y 2 + 2y Ejercicio 3.- Dada la función f(x, y) = x 2-3xy - 9y 2 + 5x + 15y a) Estudiar la existencia de extremos relativos. b) Representar gráficamente. Ejercicio.- Calcular los extremos relativos de la función f(x, y) = x - 3y - xy restringida a x + y = 6. Ejercicio 5.- Calcular el volumen máximo de una caja rectangular cerrada (cuatro paredes, fondo y tapa), de forma que el área de su superficie sea de 8 m 2.