Órdenes y funciones básicas (segunda parte) Práctica 2.

Transcripción

1 Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) Operaremos con matrices, resolveremos ecuaciones y Objetivos: sistemas y calcularemos límites, derivadas e integrales Una matriz es una lista de vectores (sus filas). La matriz se escribirá (puede escribirse sin espacios y sin ): QMatriz={ {-2,3,7}, {4,-1,0}, {5,9,6} } Para referirnos a una fila, por ejemplo a la tercera, escribimos QMatriz[[3]]. Si deseamos usar, por ejemplo, el elemento (3,4) (de la fila tercera el cuarto elemento) ponemos QMatriz[[3,4]]. Introduce la anterior matriz y genera con Table una lista formada con los elementos de la diagonal. Usa Table para definir una nueva matriz formada por los cuadrados de los elementos de la matriz QMatriz. (Observa la Tabla I y verás otra forma de hacerlo). Las operaciones y funciones más usuales con matrices se recogen en la tabla I. Úsala para realizar los siguientes ejercicios Introduce la matriz Amat= 3 7 4, y forma una nueva matriz usando Table llamada Bmat con dos filas formadas con la se- gunda y tercera columna de Amat Con las matrices anteriores realiza los siguientes cálculos: (a) Amat por la traspuesta de Bmat (b) Amat 3 (c) -5Amat-3Amat 3 (d) Amat (e) Inversa de Amat si existe.

2 Tabla I: Operaciones y funciones con matrices. A.B producto de la matriz A por B A.v matriz A por vector v u.v producto escalar de u por v Transpose[A] traspuesta de A Inverse[A] inversa de A Det[A] determinante de A Minors[A,m] da la lista con todos los menores de orden m de la matriz A MatrizPower[A,n] A n =A A A^n cada elemento de A lo eleva a n y es distinto de lo que entendemos por IdentityMatrix[n] DiagonalMatrix[lista ].... A n matriz identidad de orden n forma una matriz diagonal poniendo en la diagonal los elementos de la lista Como sabrás, si dado un sistema de ecuaciones Ax = b se verifica que A es una matriz cuadrada y A 0, entonces la solución del sistema es x = A 1 b. Usa lo anterior para resolver el sistema de ecuaciones siguiente 2x + y + z = 6 x + 3y + 2z = 2 2x + y + 2z = 4 Para cualquier sistema de ecuaciones lineales Ax = b es posible hallar sus soluciones usando LinearSolve[A,b] y NullSpace[A]. El primero de ellos te da una única solución, tanto si el sistema es compatible determinado (una única solución) como si es indeterminado (infinitas soluciones), pero si es incompatible (carece de soluciones) nos da un mensaje en el que nos informa de que no existe solución. Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 2

3 Para saber si el sistema tiene más soluciones, a parte de la dada por LinearSolve, es necesario encontrar una base del subespacio definido por el sistema homogéneo Ax = 0. Esta base nos la proporciona el comando NullSpace[A]. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Sea el sistema x y = 1 2x 2z = 2 4x 3y z = 2 Llamemos Coefic a la matriz del sistema y Term={-1,2,-2} el vector de los términos independientes. Ejecutamos: LinearSolve[Coefic,Term] El programa nos devuelve la solución {1,2,0}. El sistema es entonces compatible. Para saber si la solución es única o no usamos NullSpace NullSpace[Coefic] El programa devuelve {1,1,1}. El sistema es, por tanto, indeterminado y la solución será (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 1); esto es, x = 1 + λ y = 2 + λ z = λ λ R Usa el anterior procedimiento para encontrar, si existen, las soluciones del sistema: x + 2y + z t = 6 2x 3y + z + t = 2 x + 9y + 2z 4t = 4 1. Resolviendo ecuaciones y sistemas. Solve[ecua ==0,var ]: NSolve[ecua ==0,var ]: Los comandos para resolver ecuaciones son los siguientes: Da las soluciones algebraicas de forma exacta, tanto reales como complejas, de la ecuación ecua=0, lo cual es siempre posible cuando la ecuación es polinómica hasta el grado 4. Para las polinómicas de mayor grado no da la solución si no las encuentra algebraicas, pero se prepara para darla de forma aproximada. Para obtenerla basta con escribir a continuación N[%] Da las soluciones de forma aproximada de ecuaciones algebraicas. FindRoot[ecua ==0,{var,valor }]: Esto será necesario para ecuaciones que contienen funciones trascendentes (trigonométricas, exponenciales, etc.) aunque también puede ser usada para cualquier otra. En este caso es necesario indicar Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 3

4 un valor inicial cercano a la solución y que podemos obtener mediante la gráfica de ecua. También puede ponerse un intervalo que contiene a la solución {var,valor,valmin,valmax }. Para sistemas de ecuaciones podemos usar esos mismos comandos usando listas de ecuaciones y listas de variables. Encuentra los valores de a R tales que 2 a a 24 = a Observa que las soluciones de las ecuaciones se dan en forma de lista como x -> {x1, x -> x2,... }, esto nos resultará muy útil para asignar variables. Como recordarás, Cuando detrás de una expresión ponemos /. x -> x1, se sustituye la variable x por el valor x1. Así pues, si escribo sol = y /. Solve[y^2-5y+6, y] Sustituirá la variable y por las dos soluciones de la ecuación y dará la lista {2,3}. Ya que sol=y será sol={2,3}. Y como ya sabemos sol[[1]] será la primera solución y sol[[2]] será la segunda. Ya puedes imaginar cómo conseguir dar nombres distintos a cada una de las soluciones: {sol1,sol2} = y /. Solve[y^2-5y+6, y] Usa FindRoot para encontrar una solución de la ecuación cos x = x. Representa las funciones x y cos x para tomar un valor inicial. Usa /. para sustituir la solución en la ecuación y comprobar que se verifica. Encuentra una solución del sistema { sen x + sen y = 3/2 cos x + cos y = 3/2 2. Cálculo de límites. x 2 Para hallar el límite lim x 3x 2 5x + 4 escribimos: Limit[x^2/(3x^2-5x+4), x -> Infinity] El límite por la izquierda lim x 0 e 1 x se calcula así Limit[Exp[1/x], x -> 0, Direction -> 1] Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 4

5 Igualmente, el límite por la derecha lim x 0 + e 1 x se calcula Limit[Exp[1/x], x -> 0, Direction -> -1] Calcula los anteriores límites. Demuestra que las sucesiones n! y ( ) n n 2πn son asintóticamente e equivalentes; esto es, el límite del cociente (cuando n tiende a infinito) es uno. Como recordarás una función f(x) es derivable en x = x 0 si existe el límite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h Para que ello ocurra en funciones definidas a trozos debemos comprobar si coinciden los límites por la derecha y por la izquierda: f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim h 0 h h 0 + h Estudiar si es posible asignar un valor a f(1) para que la siguiente función sea derivable { x 2 1 f(x) = x 1 si x < 1 sen(x 1) x 1 si x > 1 3. Cálculo de derivadas. Para calcular la derivada de la función D[x^2/(x-1),x] x2 x 1 escribimos Si deseamos calcular, por ejemplo, la tercera derivada en el punto x = 2 ponemos entonces D[x^2/(x-1),{x,3}] /. x -> 2 Calcula las anteriores derivadas. Dada una función f(x) sabemos que la recta tangente a esta función en el punto x 0 viene dada por y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 5

6 4. Cálculo de integrales. Halla la recta tangente a f(x) = (x2 4) 5 3 en x = 1. Representa 2x 7 1 ambas en un mismo gráfico y halla los puntos de intersección de la tangente y la gráfica de f(x). Calcula los máximos y mínimos de la función f(x) del ejercicio anterior. Dada una función f(x, y) de dos variables, se denominan puntos críticos o estacionarios a los puntos (x, y) que anulan la derivada respecto a x y la derivada respecto a y. Los máximos y mínimos relativos se encuentran entre estos puntos. Si un punto crítico no es ni máximo ni mínimo recibe el nombre de punto de silla. Halla los puntos críticos de la función f(x, y) = x 3 +3xy 2 15x 12y. Usa ContourPlot o Plot3D para saber si son máximos, mínimos o puntos de silla. Para hallar una primitiva de la función x2 + 1 x 2 1 escribimos Integrate[(x^2 + 1)/(x^2-1), x] π [ πx El cálculo de la integral definida 2 0 sen 2πx 4 ] dx se efectúa Integrate[ Pi x/2 - Sin[2 Pi x]/4, {x,0,pi} ] La integral doble x 2 1 x 2 1 x 2 y 2 dy dx se calcula Integrate[ Sqrt[ 1-x^2-y^2 ], {x,-1,1}, {y,-sqrt[1-x^2],sqrt[1-x^2]} ] Halla el valor de las tres integrales anteriores. Cuando el programa Mathematica no encuentra la primitiva es necesario hacer el cálculo de las integrales de forma aproximada usando NIntegrate en vez de Integrate. Por ejemplo, para hallar NIntegrate[ Exp[-x^2], {x,0,1} ] Halla de forma aproximada el valor de 1 0 π 0 e x2 dx escribimos [ πx 2 ] sen 2πx dx 4 + n Ya que f(x) dx = lim f(x) dx conocemos las órdenes necesarias a n + a para calcular este tipo de integrales impropias. Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 6

7 + 1 Calcula el valor de x 2 dx Hallar el área de la superficie encerrada entre las gráficas de las 1 funciones f(x) = x 2 + x + 1 y 1 x2 x + 2. Usa Plot para representar ambas funciones y ver la superficie pedida. Puedes usar la opción PlotStyle para que cada una aparezca de un color diferente; por ejemplo, con PlotStyle >{RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]} pintará la primera de rojo y la segunda de azul. Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) 7