MATEMÁTICAS II 2013 OPCIÓN A

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II 013 OPCIÓN A Ejercicio 1: Sea g la función definida por para a) Halla m y n sabiendo que la recta es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen. Solución: Apartado a). Sabemos que es una asíntota de la función g. Además la función g presenta en el numerador un grado superior al del denominador, por tanto, tiene una asíntota oblicua que es. En consecuencia, la pendiente de la recta es el siguiente límite:. El término independiente es - y es el límite:. Luego lim x x 3 ( x n) x = lim x x 3 x n + n x x = lim x 3 ( x nx + n ) x x n + n = x = lim x 3 3 x + x n n x x n + n = n = n = 1. Apartado b). Veamos si la gráfica de g(x) es simétrica respecto al origen.

2 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Para ello comprobaremos que g(x) = g(-x).. Como no coinciden, concluimos que la gráfica de g no es simétrica respecto al origen. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para empezar, aprenderemos a calcular un límite. Para ello, insertaremos un esquema que es imprescindible para la operación pinchando en la pestaña Análisis y después en el icono señalado que se llama Límite. Entonces nos aparecerá lo siguiente: Figura 1.. El siguiente paso, para facilitar los cálculos, es escribir la función con la que trabajaremos y darle un nombre. El nombre será g(x), y para escribirlo usamos el teclado de manera normal. A continuación, escribimos la función (para insertar una fracción y una potencia, pinchamos en sus respectivos iconos que se encuentran en la pestaña Operaciones. Figura. 3. En este caso, no queremos calcular solamente un límite, sino igualarlo a un número. Para lograrlo, pinchamos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Después rellenamos con nuestra ecuación ambos términos del esquema que aparece.

3 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 En el primero de ellos, insertaremos el límite (lo haremos como en el paso 1, sólo que rellenando los huecos del esquema con nuestros datos). En el segundo sólo escribiremos un número. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono = para conocer la solución. Figura 3.. Repetimos el paso anterior, con la salvedad de que los datos que introducimos en la ecuación son diferentes. Tendremos en cuenta, que hemos escrito una función diferente incorporando el resultado del paso anterior. Escribimos la función para que cuando calculemos la solución de la ecuación, no tengamos que insertar toda la función, lo que simplifica mucho el procedimiento. Recordaremos que tenemos que escribir las órdenes que se refieren a un nombre siempre en el mismo bloque. Figura. 5. De nuevo, cambiamos la función a la que nos referiremos y calcularemos g(-x), lo que significa que queremos que donde se encuentre x en la función, lo sustituya por x. Para ello, escribimos el nombre, pero con un signo negativo antes de la variable. Recordamos, puesto que es imprescindible, que escribamos la función de origen con el nombre, en el mismo bloque que la orden que nombra dicha función. 3

4 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 5. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : De la función definida por se sabe que alcanza un máximo relativo en x=1, que la gráfica tiene un punto de inflexión en (0, 0) y que Solución: - Conocemos que la función alcanza su máximo relativo en x = 1 y es una función polinómica, por tanto, continua y derivable en. Entonces Derivando obtenemos f ( x) = 3ax f + bx + c ( 1) = 3a + b + c = 0 - Por otro lado, la gráfica tiene un punto de inflexión en (0, 0) y la función, como hemos dicho, es polinómica, es decir, continua y derivable en. Derivando obtenemos: f ( x) = 6ax + b f ( 0) = b = 0 b = 0. - La función pasa por el punto (0, 0), luego - Sustituyendo el valor b = 0 en la ecuación que hemos obtenido:

5 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 3a + b + c = 0 c = 3a. - Finalmente, sabemos también que Como la función es polinómica y continua, es integrable, es decir Sustituyendo por los valores obtenidos: En consecuencia: Como c = -3a, obtenemos que c = 3. Los valores que obtenemos son a = -1, b = 0, c = 3 y d = 0. Es decir: - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, escribimos la función y le damos un nombre. El nombre será f(x) y lo escribiremos antes de un signo igual y de la función. Para escribir correctamente la función, necesitaremos pinchar en el icono Potencia que se encuentra en la pestaña Operaciones. Cuando lo tengamos planteado, podremos seguir con el ejercicio. Figura 6.. Ahora, calcularemos la primera derivada haciendo referencia a la función original con su nombre. Para ello, en el mismo bloque, escribimos f (x), que es la orden que damos para pedir el cálculo. Pinchamos = y obtenemos la solución. 5

6 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura Ahora sustituiremos x por un valor asignado, en la función derivada. Para ello, escribimos la órden de cálculo de la primera derivada y en lugar de x, escribimos el valor, que en este caso, será x=1. Pulsamos el botón = y solucionamos. Figura 8.. El siguiente paso es calcular la segunda derivada. Para ello, siempre en el mismo bloque que la función sin derivar con el nombre, escribimos el nombre con dos apóstrofes: f (x). Pinchamos en el icono = y conoceremos el resultado. Figura 9. 6

7 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año De nuevo, sustituimos un valor en la función. Para ello, escribimos la orden para calcular la segunda derivada y en lugar de x, el valor 0. Pulsamos en el botón = y obtenemos la solución. Figura Este paso consiste en resolver una ecuación. Para ello, pinchamos en el icono Resolver ecuación, que se encuentra en la pestaña Operaciones. Entonces, nos aparecerá un esquema de la ecuación en el que rellenaremos con nuestros datos. En este caso, en un miembro, escribimos la orden para calcular la segunda derivada en x=0 y en el segundo, sólo un valor. Figura Ahora, repetimos el proceso, pero cambiando uno de los miembros de la ecuación como podemos ver. Pinchamos en = para conocer el resultado. 7

8 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura De nuevo resolveremos una ecuación, pero esta vez no nos referiremos al nombre de la función, sino que escribiremos directamente lo que queremos igualar. Figura En este paso, aprenderemos a calcular una integral definida. Pinchamos en la pestaña Análisis y dentro de ella, en el icono Integral definida. Entonces nos aparecerá el siguiente esquema que deberemos rellenar para completar el cálculo. 8

9 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Figura Rellenamos como hemos dicho, y pinchamos en el icono = para ver el resultado. Figura Volveremos ahora a resolver una ecuación. Para ello pinchamos en Resolver ecuación, dentro de la pestaña Operaciones. Entonces rellenamos con nuestros datos y obtenemos el resultado pinchando en el icono =. Figura 16. 9

10 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] 1. Ahora indicaremos los valores de nuestras incógnitas (los que hemos obtenido en el transcurso del ejercicio). Les daremos un nombre y el valor correspondiente a cada uno. Figura Por último, escribiremos el nombre de la función (siempre en el mismo bloque) y al pinchar en el icono = nos aparecerá la función con los valores que hemos planteado en el paso anterior sustituidos. Con esto, concluimos nuestro ejercicio. Figura

11 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 3: Considera las matrices a) Halla. b) Calcula la matriz X que satisface ( es la matriz traspuesta de B) c) Halla el determinante de Solución: Apartado a). Sabemos que si el determinante de la matriz A es nulo, la matriz no admite inversa. Entonces comprobemos que el valor del determinante de A es distinto de cero para calcular la matriz inversa: Apartado b). Para resolver la ecuación despejaremos X: denota la matriz identidad de orden 3. Sustituyendo obtenemos: 11

12 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Apartado c). La matriz B y, en consecuencia, su traspuesta no son matrices cuadradas, es decir, no podemos calcular su determinante. Sin embargo el producto de ambas sí es una matriz cuadrada de orden 3, como la matriz A y su inversa. Veámoslo: Por las propiedades de los determinantes sabemos que. De igual forma: Por otro lado, Por tanto: - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para este ejercicio, trabajaremos bastante con la pestaña Matrices, en la que encontramos iconos para: crear matrices, determinantes y transponer, invertir y elevar matrices. Para utilizar cualquiera de estas funciones, sólo tenemos que pinchar en su icono. En el caso de las matrices y los determinantes, al pinchar, nos aparece una pequeña ventana en la que debemos seleccionar el número de filas y columnas que queremos que tenga. Cuando lo escribamos, pinchamos en el icono Aceptar y nos aparecerá el esquema de esta, que es lo que debemos rellenar con los datos. 1

13 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Figura 19.. Plantearemos las tres matrices con sus respectivos nombres. Para darle nombre a una matriz, debemos escribir el nombre (con una letra es suficiente) y después de un signo igual, la matriz. Después de eso, siempre que nos refiramos a dicha matriz, podremos sólo escribir el nombre o la letra que le hayamos asignado, aunque siempre en el mismo bloque. Figura Para calcular la inversa, como hemos dado nombre a todas las matrices, escribimos (dentro del mismo bloque) el nombre de la matriz y a continuación, pinchamos en el icono Inverso. Al pinchar en el icono =, obtenemos la solución. 13

14 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 1.. Ahora, realizaremos una operación con las matrices que ya hemos escrito. Para conseguirlo, escribimos la operación tal cual la tenemos. Recordamos que para transponer, escribimos el nombre de la matriz y después pinchamos en Transponer. El signo de multiplicación es el asterisco del teclado (*) y para conocer el resultado, pinchamos en el icono =. Figura. 1

15 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año Ahora, calcularemos el determinante de una operación. En primer lugar, escribiremos la operación de una manera similar a la anterior. La única diferencia es que deberemos usar potencias, para lo que usamos su respectivo icono en la pestaña Matrices. Cuando tengamos la operación planteada, pinchamos en el icono Determinante, que se encuentra también en la pestaña Matrices. Pincharemos en el icono = para resolverlo. Figura 3. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Calcula la distancia entre las rectas Solución: Tenemos dos rectas, la recta r pasa por el punto A(0, 0, 0) y tiene por vector director u = (1, 1, 1) y la recta s que pasa por el punto B(1,, 3) y tiene por vector director v = (1, 1, 1). Al tener el mismo vector director son dos rectas paralelas. Con estos datos podemos construir un paralelogramo, donde la distancia que hay entre las dos rectas es la altura del mismo. 15

16 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura. s B(1,, 3) d(r, s) r A(0, 0, 0) u (1, 1, 1) Conocidos los dos vectores u = (1, 1, 1) y área del paralelogramo queda determinada por, sabemos que el y además el área es igual a base por altura. Por tanto, Sabemos que la distancia AB xu i j k = 1 3 = i + k + 3 j k 3i j = i + j k = ( 1,, 1) En consecuencia, la distancia entre las rectas r y s es de unidades de longitud. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso que seguiremos es aprender a plantear un determinante. Para hacerlo, pinchamos en el icono Determinante y entonces nos aparecerá una pequeña ventana como la que vemos en la siguiente imagen. En ella, indicaremos cuántas filas y columnas necesitamos que tenga. Cuando lo tengamos relleno, pinchamos en el icono Aceptar y aparecerá el esquema del determinante que deberemos rellenar con nuestros datos. 16

17 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Figura 5.. Cuando tengamos el esquema que hemos planteado en el paso anterior, y hayamos rellenado con los datos, pinchamos en el icono = para ver la solución. Figura Ahora resolveremos dos raíces, para lo que necesitaremos varias funciones que encontramos en la pestaña Operaciones. Estas son: paréntesis, potencia y raíz cuadrada. Cuando necesitemos insertar alguna de esas utilidades, pinchamos en el icono que le corresponda y aparecerá el hueco correspondiente en el espacio en blanco. Rellenamos como en el determinante y pinchamos en el icono = para conocer el resultado. 17

18 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 7.. Por último, resolveremos una fracción. Para insertar una, pinchamos en el icono Fracción, que se encuentra en la pestaña Operaciones. Entonces, aparecerá un hueco para el numerador y otro para el denominador. Como hemos dado nombre a las operaciones del paso anterior, si queremos referirnos a ellas (como se encuentran en el mismo bloque), sólo tenemos que escribir el nombre como términos de la fracción y pinchar en el icono = para ver la solución del ejercicio. Figura 8. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 18

19 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 OPCIÓN B Ejercicio 1: Sea la función definida por Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de tiene abscisa x = 1 y que tiene un mínimo relativo en x = de valor -9. Calcula a, b y c. Solución: Sabemos que la gráfica de la función tiene un punto de inflexión en x = 1 y un mínimo relativo en x =, de valor -9. Es una función polinómica y, por tanto, continua y derivable en. Dado que tiene un punto de inflexión en x = 1,. Como la función tiene un mínimo relativo en x =, de valor -9 entonces. Sustituyendo obtenemos. Como, entonces Por otro lado: Como b = 0,. Entonces En consecuencia, - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, escribiremos la función con la que queremos trabajar. Esto lo hacemos para no tener que escribirla cada vez que queramos referirnos a ella. Escribimos el nombre, que en este caso es f(x), y después de un signo =, la función. Para los signos de suma utilizamos el del teclado (+) y para los de multiplicación, el asterisco (*). Si queremos utilizar una potencia, pincharemos en el icono Potencia que se encuentra señalado en la siguiente imagen en la pestaña Operaciones. 19

20 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 9.. Ahora, aprenderemos a resolver una ecuación. Para conseguirlo, pinchamos en el icono Resolver ecuación, que vemos en la pestaña Operaciones. En ese momento, aparecerá el siguiente esquema que deberemos rellenar con nuestros datos. Figura Cuando trabajamos con el nombre de la función, sólo tenemos que escribir este nombre para que Wiris sepa que nos estamos refiriendo a ella. Para calcular la primera derivada, escribimos f (x), para la segunda f (x) mientras que para sustituir el punto x=1 en la función derivada dos veces, f (1). Los calculamos para que podamos comprobar los resultados con el ejercicio resuelto a mano, ya que con Wiris, podemos saltarnos todos estos pasos. Figura 31.. Como hemos dado nombre a la función al comenzar el ejercicio, y hemos aprendido a calcular primeras y segundas derivadas y a sustituir puntos en funciones, hemos 0

21 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 simplificado mucho los cálculos. Ahora introducimos la segunda derivada en x=1 (no hace falta introducir el resultado, con la orden es suficiente) en el primer miembro de la ecuación y en el otro, escribimos un 0. Al pinchar en = obtendremos la solución. Figura Ahora escribiremos de nuevo la función, como en el paso 1, pero en otro bloque, incorporando la nueva información, que a=-3. Figura De nuevo, resolvemos una ecuación. En el primer término, podremos la función derivada en x= como hemos aprendido (f ()) y en el segundo un 0. Pinchamos en = y lo resolvemos. Figura De nuevo, calcularemos la derivada y la derivada en x= para comprobar los resultados. 1

22 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura Por tercera vez, escribimos la función sustituyendo b por el valor que hemos calculado. A continuación, la función original en x= a -9 como hemos hecho en pasos anteriores. Obtendremos el resultado pinchando en el icono =. Figura Para terminar, calcularemos cuánto vale la función en x= para comprobar nuestros resultados. Figura 37.

23 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Calcula Solución: Tenemos que calcular una integral racional donde tanto el numerador como el denominador tienen el mismo grado. Reduzcamos la fracción entre denominador: en fracciones simples. Para ello dividiremos numerador La fracción se puede expresar de la siguiente forma: Operando: Calculemos ahora.una vez calculada esta nueva integral, resolveremos la integral principal (*). Descomponiendo en fracciones simples: 3

24 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Sustituyendo: 6x 5 ( x 5)( x 1) dx = 5 dx + x 5 1 dx = x 1 5 L x 5 1 L x 1 = = ( L 1 L 3 ) ( L 3 L1) = ( L(1) L(3) ) ( L(3) L(1) ) = ( L(3) ) ( L(3) ) = = 5 L(3) 1 L(3) = 6 13 L(3) = L(3). Volviendo a la integral de partida, obtenemos: (*) = Es decir: - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para calcular una integral, seguiremos un procedimiento muy sencillo. Pinchamos en la pestaña Análisis y después en Integral definida. En ese momento nos aparecerá un esquema como el que aparece en la siguiente imagen. Figura 38.. A partir del esquema anterior construiremos la integral rellenando los huecos con nuestros datos. Pinchamos en el icono = para obtener el resultado del cálculo.

25 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Figura 39. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 3: Sabiendo que el determinante de la matriz es, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) b) Solución: Apartado a). Si A es una matriz cuadrada de orden n, Utilizando esa propiedad: Por otro lado,, siendo la matriz identidad de orden n. Usando ahora esta propiedad: 5

26 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Apartado b). (Si intercambiamos dos filas o dos columnas en el determinante de una matriz, éste cambia de signo) =. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, le diremos a Wiris cuánto vale el determinante de A. Para no confundirlo con un cálculo, le daremos el nombre: det(a). Escribimos el nombre, un signo = y el valor. A continuación, en el mismo bloque, el cálculo que queramos hacer. En este caso, necesitaremos utilizar paréntesis y potencias. Cuando nos refiramos al determinante de A, escribiremos el nombre como si fuera un número más. Al pinchar en el icono =, obtendremos la solución. Figura 0. 6

27 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013. De la misma manera que en el paso anterior y también dentro del mismo bloque, resolveremos la siguiente operación. Para insertar una fracción, pinchamos en el icono Fracción que se encuentra en la pestaña Operaciones. Rellenamos con nuestros datos y pinchamos = para solucionar el cálculo. Figura En el apartado b, resolveremos también dos operaciones, multiplicaciones en este caso. Sólo tenemos que escribirlas de la misma manera que en el ejercicio desarrollado y pinchar en el icono =. Debemos recordar que para introducir un signo de multiplicación usamos el asterisco (*) y que tenemos que tener cuidado con los paréntesis, que insertaremos pinchando en el icono Paréntesis que se encuentra en la pestaña Operaciones. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 7

28 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio : Considera las rectas Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t. Solución: El vector director de la recta t es w = (, 3, 1) y buscamos una recta h paralela a t con lo cual la recta h tiene el mismo vector director que la recta t, es decir w = (, 3, 1). Tenemos que buscar un punto H(a, b, c) de la recta h. La ecuación de la recta sería la siguiente: Con los datos del ejercicio calculamos las coordenadas del punto H(a, b, c). De la recta r tomamos el punto A(0, 0, 0) y el vector director (1, 1, 1). Como la recta que buscamos corta a la recta r, sabemos que el determinante De la recta s tomamos el punto B(, 1,0) y el vector director v. Tenemos que hallar el vector v como producto vectorial de los vectores normales de cada plano que determina la recta: Como la recta buscada corta a la recta s sabemos que el determinante Luego: 8

29 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD] Año 013 Resolvemos el sistema de las ecuaciones obtenidas: Es un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, es decir, tiene infinitas soluciones que serán infinitos puntos de la recta. El punto que hemos obtenido es H(0, -, ) y la recta será: - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso será insertar dos determinantes de tres filas y tres columnas. Para ello, pinchamos en el icono Determinante que encontramos en la pestaña Análisis. Después nos aparecerá la siguiente ventana en la que indicaremos las filas y las columnas que queremos que tenga y pinchamos en Aceptar. A continuación nos aparecerá el esquema del determinante que rellenaremos para tenerlo planteado. Figura 3.. Recordamos que para resolver un sistema de ecuaciones pinchamos en el icono Resolver sistema, en la ventana que aparecerá indicamos que debe tener dos ecuaciones y pinchamos en Aceptar. Entonces rellenaremos los miembros de las ecuaciones con nuestros datos. En este caso, dos de los miembros serán determinantes, que insertaremos pinchando en el cuadro de dicho miembro y 9

30 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] ejecutando el paso anterior. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el símbolo = y obtenemos la solución. Figura. 3. El último paso es obtener la ecuación h sustituyendo los valores que hemos obtenido. Para conseguirlo, escribimos los valores de las tres incógnitas (a, b y c) seguidos de = y del valor. Es muy importante que pongamos los valores en el mismo bloque que la ecuación para que Wiris entienda que se refiere a esos valores y no sólo a las incógnitas. Después escribimos la función recordando que las fracciones las insertamos pinchando en el icono Fracción en la pestaña Operaciones. Cuando lo tengamos planteado, si pinchamos en el símbolo = nos devuelve la ecuación con los términos sustituidos. Figura 5. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 30