Práctica 3. Derivadas parciales

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1 Práctica 3. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- DERIVADAS PARCIALES Dada f@x, yd una función de dos variables se definen las derivadas parciales como Derivada parcial con respecto a la variable x : Derivada parcial con respecto a la variable y : x f@x 0,y 0 D = lim h 0 y f@x 0,y 0 D = lim h 0 f@x 0 + h, y 0 D f@x 0,y 0 D h f@x 0,y 0 + hd f@x 0,y 0 D h Mathematica permite el cálculo de las derivadas parciales de una función f: 2 ö en un punto cualquiera (x,y) mediante las órdenes: D[f[x,y],x] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable x. D[f[x,y],y] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de la variable y. También podemos utilizar la paleta BasicInput para las dos derivadas parciales en un punto (x,y) x f@x, yd Calcula la derivada parcial con respecto a la variable x y f@x, yd Calcula la derivada parcial con respecto a la variable y Ejemplo 1. Calcular las derivadas parciales de f(x,y)=x 2 y 3 x y 2 In[1]:= f@x_, y_d := x^2 y 3 x y^2 Calculamos la derivada parcial con respecto a x In[3]:= D@f@x, yd, xd Out[3]= 2xy 3y 2 In[4]:= x f@x, yd Out[4]= 2xy 3y 2 Calculamos la derivada parcial con respecto a y

2 2 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[5]:= yd, yd Out[5]= In[6]:= Out[6]= x 2 6xy y f@x, yd x 2 6xy Ejemplo 2. Calcular las derivadas parciales de f(x,y)=x 2 sen HyL + I3 x + y 2 M cos HxL y evaluarlas en el punto H0, pl. In[7]:= f@x_, y_d := x^2 Sin@yD + I3 x + y 2 M Cos@xD Calculamos las derivadas parciales In[9]:= Out[9]= In[10]:= Out[10]= x f@x, yd 3 Cos@xD I3 x+ y 2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD y f@x, yd 2 y Cos@xD + x 2 Cos@yD Las evaluamos en el punto H0, pl In[11]:= x f@x, yd ê. 8x 0, y π< Out[11]= 3 In[12]:= y f@x, yd ê. 8x 0, y π< Out[12]= 2 π 1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Las derivadas parciales x f y y f en el punto (a,b) representan las pendientes de la superficie definida por la gráfica de f(x,y) en el punto (a,.b,f(a,b)) en las direcciones de x e y, respectivamente. Ejemplo 3. Calcular la pendiente de la gráfica de f(x,y)=sen HxL + x 2 + y 2 en el punto (1,0,f(1,0)) en las direcciones de x e y, respectivamente. In[13]:= f@x_, y_d := Sin@xD + x 2 + y 2

3 Practica3_Derivadas_Parciales.nb 3 Representamos la gráfica In[15]:= g1 = Plot3D@f@x, yd, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD Out[15]= Al intersecar la gráfica con el plano y=0 se obtiene una curva.

4 4 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[16]:= g2 = ContourPlot3D@y 0, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<, 8z, 0, 45<D Show@g1, g2d Out[16]= Out[17]= La curva intersección tiene como ecuación z=f(x,0) In[18]:= Out[18]= f@x, 0D x 2 + Sin@xD

5 Practica3_Derivadas_Parciales.nb 5 In[19]:= Plot@f@x, 0D, 8x, 0, 2<D Out[19]= La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto x=1 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto (1,0,f(1,0)) en la dirección de x. Su valor es precisamente x f H1, 0L In[20]:= Out[20]= In[21]:= x f@x, yd 2x+ Cos@xD x f@x, yd ê. 8x 1, y 0< êê N Out[21]= De forma análoga, al intersecar la gráfica con el plano x=1 se obtiene una curva. In[22]:= g3 := ContourPlot3D@x == 1, 8x, 5, 5<, 8y, 5, 5<, 8z, 0, 45<D Show@g1, g3d Out[23]= La curva intersección tiene ahora como ecuación z=f(1,y)

6 6 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[24]:= yd Out[24]= 1 + y 2 + Sin@1D In[25]:= Plot@f@1, yd, 8y, 1, 1<D Out[25]= La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto y=0 se denomina pendiente de la gráfica de f(x,y) en el punto (1,0,f(1,0)) en la dirección de y. Su valor es precisamente y f H1, 0L In[26]:= Out[26]= In[27]:= y f@x, yd 2y y f@x, yd ê. 8x 1, y 0< êê N Out[27]= DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS Mathematica permite también el cálculo de las derivadas parciales sucesivas mediante la instrucción: D[f,{x,n},{y,m},...] Calcula la derivada parcial de la función f respecto de x, n veces, de y, m veces,... También podemos utilizar la paleta BasicInput para las derivadas parciales sucesivas en un punto (x,y) x,y f@x, yd Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y y,x f@x, yd Calcula la derivada cruzada con respecto a x y con respecto a y Ejemplo 4. Calcular las derivadas parciales segundas de la función f: 2 ô definida por f(x,y) =x 2 sen y + I3 x + y 2 M cos x, (x,y)œdã 2, dada en el ejemplo anterior y evaluarlas en el punto (p/2,p). In[28]:= f@x_, y_d := x^2 Sin@yD + H3 x + y^2l Cos@xD Derivadas parciales de primer orden

7 Practica3_Derivadas_Parciales.nb 7 In[30]:= x f@x, yd Out[30]= In[31]:= Out[31]= 3 Cos@xD I3 x+ y 2 M Sin@xD + 2 x Sin@yD y f@x, yd 2 y Cos@xD + x 2 Cos@yD Derivadas parciales de segundo orden In[32]:= Out[32]= In[33]:= Out[33]= In[34]:= Out[34]= In[35]:= Out[35]= x,x f@x, yd I3 x+ y 2 M Cos@xD 6 Sin@xD + 2 Sin@yD x,y f@x, yd 2 x Cos@yD 2 y Sin@xD y,x f@x, yd 2 x Cos@yD 2 y Sin@xD y,y f@x, yd 2 Cos@xD x 2 Sin@yD Las evaluamos en el punto (p/2,p) In[36]:= x,x f@x, yd ê. 8x π ê 2, y π< Out[36]= In[37]:= Out[37]= In[38]:= Out[38]= In[39]:= 6 x,y f@x, yd ê. 8x πê 2, y π< 3 π y,x f@x, yd ê. 8x πê 2, y π< 3 π y,y f@x, yd ê. 8x πê 2, y π< Out[39]= 0 Ejemplo 5. Calcular las derivadas parciales segundas de la función f(x,y,z)=x 2 yz 3 + senhx - y + yzl. In[40]:= f@x_, y_, z_d := x 2 yz 3 + Sin@x y + yzd Derivadas parciales de primer orden In[42]:= Out[42]= In[43]:= Out[43]= x f@x, y, zd 2xyz 3 + Cos@x y + yzd y f@x, y, zd x 2 z 3 + H 1 + zl Cos@x y + yzd

8 8 Practica3_Derivadas_Parciales.nb In[44]:= z f@x, y, zd Out[44]= 3x 2 yz 2 + y Cos@x y + yzd Derivadas parciales de segundo orden In[45]:= Out[45]= In[46]:= Out[46]= In[47]:= Out[47]= In[48]:= Out[48]= In[49]:= Out[49]= In[50]:= Out[50]= In[51]:= Out[51]= In[52]:= Out[52]= In[53]:= Out[53]= x,x f@x, y, zd 2yz 3 Sin@x y + yzd x,y f@x, y, zd 2xz 3 H 1 + zl Sin@x y + yzd x,z f@x, y, zd 6xyz 2 y Sin@x y + yzd y,x f@x, y, zd 2xz 3 H 1 + zl Sin@x y + yzd y,y f@x, y, zd H 1 + zl 2 Sin@x y + yzd y,z f@x, y, zd 3x 2 z 2 + Cos@x y + yzd y H 1 + zl Sin@x y + yzd z,x f@x, y, zd 6xyz 2 y Sin@x y + yzd z,y f@x, y, zd 3x 2 z 2 + Cos@x y + yzd y H 1 + zl Sin@x y + yzd z,z f@x, y, zd 6x 2 yz y 2 Sin@x y + yzd 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1. Calcular las pendientes de la gráfica de f(x,y)=senhxl - senhyl en las direcciones de x e y en el punto (p/2,p,f(p/2,p)). Ejercicio 2. Dada la función f(x,y)=lnix 2 + y 2 M comprobar que se cumple 2 f Hx,yL x f Hx,yL = 0. y 2 Ejercicio 3. Calcular las derivadas parciales de tercer orden de la función f(x,y)=e x2 +y - x lnix - y 3 M. Cuáles son iguales? Ejercicio 4. Dada f(x,y)=x Ix 2 + y 2 M 3ê2 e sen Ix2 ym calcular x f H1, 0L utilizando la definición. Ejercicio 5. En un estudio de la penetración de la escarcha en las heladas, se encontró que la temperatura T en el tiempo t (medido en días) a una profundidad x (en metros),

9 Practica3_Derivadas_Parciales.nb 9 puede describirse mediante la función T(t,x)=T 0 + T 1 e -l x senhwt-lxl, donde w = 2 p 365 y l es una constante positiva. Calcular t T, cuál es su significado físico? Calcular x T, cuál es su significado físico? Demostrar que T satisface la ecuación del calor t T = k x,x T, para cierta constante k. Si l=0.2, T 0 = 0 y T 1 = 10 representar la gráfica de la función T(t,x).