Álgebra Matricial y Optimización Ma130
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- Carmen Sandoval Soriano
- hace 8 años
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1 Álgebra Matricial y Optimización Ma130 Elementos de Cálculo en Varias Variables Departamento de Matemáticas ITESM Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 1/47
2 En esta lectura se dará una revisión rápida a algunos conceptos importantes en cálculo en varias variables que se requieren para el trabajo de optimización. Dos sobre todo de mucha importancia: el concepto del de una función real y el de la matriz Hessiana de una función real. El es la generalización del concepto de primera derivada ya visto en cálculo pero en una variable, mientras que el de matriz Hessiana corresponde a la generalización de la segunda derivada parcial también en una variable. Al final de este resumen de conceptos viene un resultado teórico sobre el desarrollo de de una función en varias variables. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 2/47
3 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
4 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a 1,a 2,...,a n > un punto en el interior de D. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
5 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a 1,a 2,...,a n > un punto en el interior de D. Suponga que se elije una de las variables x i (1 i n) si existe el límite s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
6 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a 1,a 2,...,a n > un punto en el interior de D. Suponga que se elije una de las variables x i (1 i n) si existe el límite lím h 0 f(a + he i ) f(a) h s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
7 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a 1,a 2,...,a n > un punto en el interior de D. Suponga que se elije una de las variables x i (1 i n) si existe el límite lím h 0 f(a + he i ) f(a) h entonces se dice que f tiene derivada parcial respecto a x i en el punto a. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
8 parcial Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a 1,a 2,...,a n > un punto en el interior de D. Suponga que se elije una de las variables x i (1 i n) si existe el límite lím h 0 f(a + he i ) f(a) h entonces se dice que f tiene derivada parcial respecto a x i en el punto a. Ésta se representa por f(a) x i s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 3/47
9 Ejemplo Sea la función f : R 3 R 2 definida por la fórmula f(< x, y, z >) =< x y, x 2 + y z > y sea P =< 1, 2, 1 >. De acuerdo a la definición, determine f(p) x y f(p) z. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
10 Ejemplo Sea la función f : R 3 R 2 definida por la fórmula f(< x, y, z >) =< x y, x 2 + y z > y sea P =< 1, 2, 1 >. De acuerdo a la definición, determine f(p) x y f(p) z. Solución Como f(p) = f(< 1, 2, 1 >) =< 2, 1 >: s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
11 Ejemplo Sea la función f : R 3 R 2 definida por la fórmula f(< x, y, z >) =< x y, x 2 + y z > y sea P =< 1, 2, 1 >. De acuerdo a la definición, determine f(p) x y f(p) z. Solución Como f(p) = f(< 1, 2, 1 >) =< 2, 1 >: f(p) f(< 1 + h, 2, 1 >) f(< 1, 2, 1 >) = lím x h 0 h < (1 + h)2, (1 + h) 2 + 2( 1) > < 2, 1 > = lím h 0 h < 2 h, 2 h + h 2 > = lím h 0 h = lím < 2, 2 + h > h 0 = < lím 2, lím 2 + h > h 0 h 0 = < 2, >=< 2, 2 > s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 4/47
12 En forma análoga, f(p) f(< 1, 2, 1 + h >) f(< 1, 2, 1 >) = lím z h 0 h < 2, 1 + 2( 1 + h) > < 2, 1 > = lím h 0 h < 0, 2 h > = lím h 0 h = lím < 0, 2 > h 0 = < lím 0, lím 2 > h 0 h 0 = < 0, 2 > s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 5/47
13 En forma análoga, f(p) f(< 1, 2, 1 + h >) f(< 1, 2, 1 >) = lím z h 0 h < 2, 1 + 2( 1 + h) > < 2, 1 > = lím h 0 h < 0, 2 h > = lím h 0 h = lím < 0, 2 > h 0 = < lím 0, lím 2 > h 0 h 0 = < 0, 2 > s Total Nota La regla importante sobre límites en el caso de vectores dice que el límite de un vector es el vector con el límite de cada componentee: lím h h o x =< lím h h o x 1,..., lím h h o x n > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 5/47
14 Ejercicio 1 Sea la función f : R 3 R 3 definida por la fórmula f(< x,y,z >) =< x 2 z,x 2 y,y + z > y sea P =< 1, 2, 1 >. De acuerdo a la definición, determine f(p) y f(p). x z s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 6/47
15 Nota En lo siguiente, ya no utilizaremos la definición de derivada parcial sino que utilizaremos las siguientes reglas básicas de derivación parcial: La derivada parcial de un vector es el vector formado por las derivadas parciales de las componentes. La derivada parcial de una expresión se calcula como una derivada tradicional de una función respecto a una variable considerando las variables restantes como constantes. Para calcular una derivada parcial en un punto, se obtiene la derivada parcial en cualquier punto y posteriormente se evalua en el punto dado. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 7/47
16 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
17 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f(x) = f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
18 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
19 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
20 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) = x 2 2 f(x) x 2 = Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
21 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) = x 2 2 f(x) x 2 = x 2 (x 1 x x 2 x 3 2 ) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
22 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) = x 2 2 f(x) x 2 = x 2 (x 1 x x 2 x 3 2 ) = 2x 1 x 2 + x 3 3 f(x) x 3 = Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
23 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) = x 2 2 f(x) x 2 = x 2 (x 1 x x 2 x 3 2 ) = 2x 1 x 2 + x 3 3 f(x) x 3 = x 3 (x 1 x x 2 x 3 2 ) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
24 Ejemplo Si f : R 3 R y Determine f(x) x i para i = 1, 2, 3. Solución Tenemos: f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 2 x 3 3 f(x) = (x 1 x x 2 x 3 2 ) = (x 1 x 2 2 ) + (x 2 x 3 2 ) = x 2 2 f(x) x 2 = x 2 (x 1 x x 2 x 3 2 ) = 2x 1 x 2 + x 3 3 f(x) x 3 = x 3 (x 1 x x 2 x 3 2 ) = 3x 2 x 3 2 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 8/47
25 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
26 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
27 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = < x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
28 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
29 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > f(x) x 2 = Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
30 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
31 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 2 (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > x 2 (x 2 + x 3 2 ) > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
32 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 2 (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > x 2 (x 2 + x 3 2 ) >=< x 1, 1 > f(x) x 3 = Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
33 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = f(x) x 3 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 2 (x 1 x 2 ), x 3 < x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > x 2 (x 2 + x 3 2 ) >=< x 1, 1 > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
34 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = f(x) x 3 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 2 (x 1 x 2 ), x 3 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 3 (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > x 2 (x 2 + x 3 2 ) >=< x 1, 1 > x 3 (x 2 + x 3 2 ) > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
35 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 x 2, x 2 + x 3 2 > Determine las fórmulas de f(x) x i Solución Tenemos: para i = 1, 2, 3 en cualquier punto. f(x) = f(x) x 2 = f(x) x 3 = < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< (x 1 x 2 ), x 2 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 2 (x 1 x 2 ), x 3 < x 1 x 2, x 2 + x 2 3 >=< x 3 (x 1 x 2 ), (x 2 + x 3 2 ) >=< x 2, 0 > x 2 (x 2 + x 3 2 ) >=< x 1, 1 > x 3 (x 2 + x 3 2 ) >=< 0, 2 x 3 > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 9/47
36 Ejercicio 2 Sea la función f : R 2 R 2 definida por la fórmula f(< x,y >) =< e x y cos(x 2 +y 2 ), log(x 2 sen(2πy)) > y sea P =< 2, 1 >. Determine las fórmulas para las derivadas parciales de f en cualquier punto y posteriormente calcule f(p) x y f(p) y. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 10/47
37 Ejemplo Considere la función f : R 2 R definida por f(x,y) = (1 ( 0.42x y 1 (0.73x y)2 ) 2 ) (1 + (0.73x y) 2 + ( 0.42x y 1) 2 ) 2 Grafique las derivadas parciales de f en (1, 2). Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 11/47
38 -1 x y 3 4 s Total 3 Figura 1: Gráfica de f(x, y) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 12/47
39 3 x y s Total Figura 2: Parcial de f(x, y) respecto a x Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 13/47
40 x y s Total 3 Figura 3: Parcial de f(x, y) respecto a y Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 14/47
41 Ejercicio 3 Sea la función f : R 2 R 2 definida por la fórmula f(< x,y >) =< e x y cos(x 2 +y 2 ), log(x 2 sen(2πy)) > y sea P =< 2, 1 >. Grafique la función para 1.5 x 2.5 y 0.5 y 1.5 y posteriormente grafique las líneas en el espacio que corresponden a las rectas tangente referentes a las derivadas parciales en el punto. Como sugerencia utilice Maple y los archivos de apoyo del curso. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 15/47
42 El de una Función Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
43 El de una Función Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x un punto en el interior de D, s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
44 El de una Función Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x un punto en el interior de D, y además suponga que f =< f 1,f 2,...,f m > s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
45 El de una Función Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x un punto en el interior de D, y además suponga que J f (x) = f =< f 1,f 2,...,f m > El jacobiano de f en x es la matriz f 1 (x) x 2 f 1 (x) f 2 (x). f m (x) f 2 (x) f 1 (x) x n f 2 (x) x n x f m (x) x 2 f m (x) x n s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
46 El de una Función Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x un punto en el interior de D, y además suponga que J f (x) = f =< f 1,f 2,...,f m > El jacobiano de f en x es la matriz f 1 (x) x 2 f 1 (x) f 2 (x). f m (x) f 2 (x) f 1 (x) x n f 2 (x) x n x f m (x) x 2 f m (x) x n s Total En la columna i de J f (x) aparece f(x) x i. Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 16/47
47 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1,x 2,x 3 >) =< x 1 x 2,x 2 + x 2 3 > Determine J f (x). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 17/47
48 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1,x 2,x 3 >) =< x 1 x 2,x 2 + x 2 3 > Determine J f (x). Solución Por los cálculos realizados en un ejemplo anterior, tenemos: J f (x) = [ x 2 x x 3 ] s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 17/47
49 Ejercicio 4 Si f : R 3 R 2 y f(< x 1,x 2,x 3 >) =< x 2 1 cos(x 2 ),e x 2 1+x 3 > Determine el de f. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 18/47
50 s Las derivadas parciales de orden superior así como derivadas cruzadas se definen similarmente al caso de funciones en una variable. También la notación es similar: 2 f(a) x i 2 ó f xi x i (a), 2 f(a) x i x j ó f xi x j (a) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 19/47
51 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1, x 2, x 3 >) =< x 1 2 x 2, x 2 + x 2 3 > Determine 2 f(x) x 2 1 Solución y f x2 x 3 (x). Directamente de la definición de 2 f(x) x 2 1 = 2 f(x) = 2 < x 2 x 2 1 x 2 1 x 2, x 2 + x 2 3 > 1 = < 2 (x 2 x 2 1 x 2 ), 2 (x 1 x x 2 3 ) >=< 2 x 2, 0 > 1 2 f(x) x 2 x 3 = 2 x 2 x 3 f(x) = = < 2 x 2 x 3 (x 1 2 x 2 ), 2 x 2 x 3 (x 2 + x 3 2 ) >= = < 2 x 2, 0 > 2 x 2 x 3 < x 1 2 x 2, x 2 + x 3 2 > Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 20/47
52 Total Definición Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x 1,x 2,...,x n ). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
53 Total Definición Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x 1,x 2,...,x n ). Suponga que las variables x 1,x 2,...,x n son funciones de t: x i = x i (t) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
54 Total Definición Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x 1,x 2,...,x n ). Suponga que las variables x 1,x 2,...,x n son funciones de t: x i = x i (t) Entonces, f es también una función de t. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
55 Total Definición Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x 1,x 2,...,x n ). Suponga que las variables x 1,x 2,...,x n son funciones de t: x i = x i (t) Entonces, f es también una función de t. La derivada ordinaria de f en este caso se llama la derivada total de f. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
56 Total Definición Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x 1,x 2,...,x n ). Suponga que las variables x 1,x 2,...,x n son funciones de t: x i = x i (t) Entonces, f es también una función de t. La derivada ordinaria de f en este caso se llama la derivada total de f. Esta derivada se puede calcular por la fórmula: df n dt = i=1 f(x) x i dx i dt. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 21/47
57 Ejemplo Si f : R 2 R y f(< x 1,x 2 >) = x 1 2 x 2 2 y x 1 = x 1 (t) = t cos(t) y x 2 = x 1 (t) = cos(t) + sin(t). Determine df dt. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 22/47
58 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
59 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x 1,x 2,...,x n ) un punto en el interior de D s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
60 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x 1,x 2,...,x n ) un punto en el interior de D, y sea v un vector unitario en R n. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
61 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x 1,x 2,...,x n ) un punto en el interior de D, y sea v un vector unitario en R n. La derivada direccional de f en el punto x y en la dirección v s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
62 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x 1,x 2,...,x n ) un punto en el interior de D, y sea v un vector unitario en R n. La derivada direccional de f en el punto x y en la dirección v se define, si existe el límite, como: lím h 0 f(x + hv) f(x) h s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
63 Definición Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x 1,x 2,...,x n ) un punto en el interior de D, y sea v un vector unitario en R n. La derivada direccional de f en el punto x y en la dirección v se define, si existe el límite, como: lím h 0 f(x + hv) f(x) h Por resultado matemático, la derivada direccional puede ser calculada como: s Total J f (x)v Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 23/47
64 Ejemplo Si f : R 3 R 2 y f(< x 1,x 2,x 3 >) = ( x x x 2 3 x 2 1 x 1 x 2 + x 2 3 Determine la derivada direccional de f en a =< 1, 2, 1 > en la dirección v =< 1 2, 1 2, 0 >. ) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 24/47
65 El de una Función Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
66 El de una Función Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
67 El de una Función Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D, el vector ( f/, f/ x 2,..., f/ x n ) es llamado el gradiente de f en el punto x y es simbolizado por f(x) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
68 El de una Función Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D, el vector ( f/, f/ x 2,..., f/ x n ) es llamado el gradiente de f en el punto x y es simbolizado por f(x) Note que el gradiente es un vector en R n ; no está precisamente en D, pero, por aquello de que los vectores son trasladables s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
69 El de una Función Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D, el vector ( f/, f/ x 2,..., f/ x n ) es llamado el gradiente de f en el punto x y es simbolizado por f(x) Note que el gradiente es un vector en R n ; no está precisamente en D, pero, por aquello de que los vectores son trasladables, es posible trasladarlo y visualizarlo en el punto x. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 25/47
70 Ejemplo Si f : R 2 R y Determine f(x). f(< x 1,x 2 >) = x 2 1 x 1 x 2 + x 2 2 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 26/47
71 -1 x y 3 4 s Total 3 Figura 4: de f(x, y) en (1, 2) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 27/47
72 x y s Total 3 Figura 5: Curva de corte en la dirección del gradiente Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 28/47
73 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
74 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Entonces, f : D R n. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
75 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Entonces, f : D R n. La matriz Jacobiana de f es llamada la matriz Hessiana de f s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
76 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Entonces, f : D R n. La matriz Jacobiana de f es llamada la matriz Hessiana de f y se simboliza por H f (x). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
77 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Entonces, f : D R n. La matriz Jacobiana de f es llamada la matriz Hessiana de f y se simboliza por H f (x). Así, H f (x) = J f (x) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
78 El Definición Sea f : D R una función definida en un dominio D R n. Entonces, f : D R n. La matriz Jacobiana de f es llamada la matriz Hessiana de f y se simboliza por H f (x). Así, H f (x) = J f (x) y H f (x) = 2 f(x) 2 f(x) x 2. 2 f(x) x n 2 f(x) x 2 2 f(x) x 2 x 2 2 f(x) x n 2 f(x) x n x f(x) x 2 x n 2 f(x) x n x n s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 29/47
79 Ejemplo Si f : R 2 R y Determine H f (x). f(< x 1,x 2 >) = x 2 1 x 2 1 x 2 + x 3 2 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 30/47
80 Ejemplo Si f : R 2 R y f(< x 1,x 2 >) = x 2 1 x 2 1 x 2 + x 3 2 Determine H f (x). Solución Como f = 2x 1 2x 1 x 2, f x 2 = x x 2 2 s Total 2 f 2 = 2 2x 2, Por tanto: H f (x) = [ 2 f x 2 = 2x 1, 2 2x 2 2x 1 2x 1 6x 2 2 f x 2 2 = 6x 2 ] Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 30/47
81 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
82 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
83 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. Y sea x 0 un punto interior a D 1 tal que f(x 0 ) es un punto interior de D 2. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
84 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. Y sea x 0 un punto interior a D 1 tal que f(x 0 ) es un punto interior de D 2. Si existe la matriz jacobiana m n J f (x 0 ) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
85 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. Y sea x 0 un punto interior a D 1 tal que f(x 0 ) es un punto interior de D 2. Si existe la matriz jacobiana m n J f (x 0 ), y si existe la matriz jacobiana p m J g (f(x 0 )) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
86 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. Y sea x 0 un punto interior a D 1 tal que f(x 0 ) es un punto interior de D 2. Si existe la matriz jacobiana m n J f (x 0 ), y si existe la matriz jacobiana p m J g (f(x 0 )) entonces existe la matriz jacobiana p n J h (x 0 ) para la función compuesta h = g f s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
87 de Funciones s Sea f : D 1 R m una función definida en un dominio D 1 R n. Sea g : D 2 R p una función definida en un dominio D 2 R m. Y sea x 0 un punto interior a D 1 tal que f(x 0 ) es un punto interior de D 2. Si existe la matriz jacobiana m n J f (x 0 ), y si existe la matriz jacobiana p m J g (f(x 0 )) entonces existe la matriz jacobiana p n J h (x 0 ) para la función compuesta h = g f y J h (x 0 ) = J g [f(x 0 )]J f (x 0 ) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 31/47
88 Ejemplo Si f : R 2 R 3 definida como f(< x 1,x 2 >) = y si g : R 3 R definida como Determine J g f (x). x 2 1 x 2 cos x 1 x 1 x 2 x x 3 2 g(< ξ 1,ξ 2,ξ 3 >) = ξ 1 ξ ξ 3 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 32/47
89 Solución Tenemos que: J g ((ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) ) = [1, 2ξ 2, 1] Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
90 Solución Tenemos que: J g ((ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) ) = [1, 2ξ 2, 1] J g (f(x 1,x 2,x 3 )) = [1, 2x 1 x 2, 1] Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
91 Solución Tenemos que: y J f ((x 1,x 2,x 3 ) ) = J g ((ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) ) = [1, 2ξ 2, 1] J g (f(x 1,x 2,x 3 )) = [1, 2x 1 x 2, 1] 2x 1 + x 2 sin(x 1 ) x 2 cos(x 1 ) x 2 x 1 2 3x 1 2 3x 2 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
92 Solución Tenemos que: y J f ((x 1,x 2,x 3 ) ) = J g ((ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) ) = [1, 2ξ 2, 1] J g (f(x 1,x 2,x 3 )) = [1, 2x 1 x 2, 1] 2x 1 + x 2 sin(x 1 ) x 2 cos(x 1 ) x 2 x 1 2 3x 1 2 3x 2 Por tanto J g f ((x 1,x 2,x 3 ) ) = J g (f((x 1,x 2,x 3 ) )) J f ((x 1,x 2,x 3 ) ) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 33/47
93 J g f ((x 1,x 2,x 3 ) ) = [1, 2x 1 x 2, 1] = [ 2x 1 + x 2 sin(x 1 ) x 2 cos(x 1 ) x 2 x 1 2 3x 1 2 3x 2 2x 1 + x 2 sin(x 1 ) 2x 1 x x 1 2 x 2 cos(x 1 ) 2x 1 2 x 2 + 3x 2 2 ] T Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 34/47
94 El Teorema de : Requisitos Sea x = (x 1,x 2,...,x n ), se define el operador diferencial de primer orden x como: n x = x i x i i=1 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
95 El Teorema de : Requisitos Sea x = (x 1,x 2,...,x n ), se define el operador diferencial de primer orden x como: n x = x i x i i=1 La aplicación del operador x a una función f(x) sería: n (x f )f(x) = x i x i i=1 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
96 El Teorema de : Requisitos Sea x = (x 1,x 2,...,x n ), se define el operador diferencial de primer orden x como: n x = x i x i i=1 La aplicación del operador x a una función f(x) sería: n (x f )f(x) = x i x i i=1 Por notación (x )f(x 0 ) representa (x )f(x) evaluando sólo las parciales en x 0. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 35/47
97 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
98 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). Solución Como f = 1, f x 2 = 2x 2, f x 3 = 1 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
99 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). Solución Como Tenemos: f = 1, (x )f(x) = f x 2 = 2x 2, f x 3 = 1 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
100 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). Solución Como Tenemos: f = 1, f x 2 = 2x 2, f x 3 = 1 (x )f(x) = x 1 (1) + x 2 ( 2x 2 ) + x 3 (1) (x )f(x 0 ) = s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
101 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). Solución Como Tenemos: f = 1, f x 2 = 2x 2, f x 3 = 1 (x )f(x) = x 1 (1) + x 2 ( 2x 2 ) + x 3 (1) (x )f(x 0 ) = x 1 (1) + x 2 ( 4) + x 3 (1) s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
102 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0, 2, 1) ). Solución Como f = 1, f x 2 = 2x 2, f x 3 = 1 s Total Tenemos: (x )f(x) = x 1 (1) + x 2 ( 2x 2 ) + x 3 (1) (x )f(x 0 ) = x 1 (1) + x 2 ( 4) + x 3 (1) = x 1 4x 2 + x 3 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 36/47
103 El operador x se define para órdenes superiores: ( x )m = k 1,k 2,...,k n m k 1, k 2,..., k n x k 1 1 x k 2 2 x k n n m x k 1 1 xk 2 2 xk n n Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
104 El operador x se define para órdenes superiores: ( x )m = k 1,k 2,...,k n m k 1, k 2,..., k n x k 1 1 x k 2 2 x k n n m x k 1 1 xk 2 2 xk n n Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplas para las cuales n k i = m i=1 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
105 El operador x se define para órdenes superiores: ( x )m = k 1,k 2,...,k n m k 1, k 2,..., k n x k 1 1 x k 2 2 x k n n m x k 1 1 xk 2 2 xk n n Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplas para las cuales n k i = m y ( m i=1 k 1,k 2,...,k n ) = m! k 1!k 2! k n! Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 37/47
106 La aplicación del operador x a f(x) resulta en: ( x )m f(x) = k 1,k 2,...,k n m k 1, k 2,..., k n x k 1 1 x k 2 2 x k n n m f(x) x k 1 1 xk 2 2 xk n n Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 38/47
107 Por notación (x ) m f(x 0 ) representa (x ) m f(x) evaluando las parciales en x 0. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 39/47
108 Por notación (x ) m f(x 0 ) representa (x ) m f(x) evaluando las parciales en x 0. Importante El operador (x ) m f(x) sólo es aplicable a funciones f : D R n R. Es decir a funciones de valor real. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 39/47
109 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Aplique el operador (x ) 2 y (x ) 3 a f. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
110 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Aplique el operador (x ) 2 y (x ) 3 a f. Solución Para (x ) 2, las posibles tripletas (k 1,k 2,k 3 ) (3 variables) que cumplen k 1 + k 2 + k 3 = 2 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
111 Ejemplo Si f : R 3 R definida como f((x 1,x 2,x 3 ) ) = x 1 x x 3 Aplique el operador (x ) 2 y (x ) 3 a f. Solución Para (x ) 2, las posibles tripletas (k 1,k 2,k 3 ) (3 variables) que cumplen k 1 + k 2 + k 3 = 2 son (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1) y (0, 0, 2). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 40/47
112 Para determinar los términos de cada suma debemos calcular todas las derivadas de orden 2, Las derivadas de primer orden son: f = 1, f = 2x 2, f = 1 x 2 x 3 y todas las de segundo orden son: 2 f = 0, 2 f x 2 = 0, 2 f x 3 = 0, s Total 2 f x 2 x 2 = 2, 2 f x 3 x 3 = 0 2 f x 2 x 3 = 0, Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 41/47
113 Por tanto, (x ) 2 f(x) = 2 k 1,k 2,k 3 x k 1 1 k 1, k 2, k xk 2 2 xk = 2 x 0 1x 2 2x 0 3( 2) = 2 x 2 2 0, 2, 0 2 f(x) x k 1 1 xk 2 2 xk 3 3 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 42/47
114 Por tanto, (x ) 2 f(x) = 2 k 1,k 2,k 3 x k 1 1 k 1, k 2, k xk 2 2 xk = 2 x 0 1x 2 2x 0 3( 2) = 2 x 2 2 0, 2, 0 2 f(x) x k 1 1 xk 2 2 xk 3 3 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 42/47
115 Para (x ) 3, las posibles tripletas (k 1,k 2,k 3 ) (3 variables) que cumplen k 1 + k 2 + k 3 = 3 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
116 Para (x ) 3, las posibles tripletas (k 1,k 2,k 3 ) (3 variables) que cumplen k 1 + k 2 + k 3 = 3 son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3). s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
117 Para (x ) 3, las posibles tripletas (k 1,k 2,k 3 ) (3 variables) que cumplen k 1 + k 2 + k 3 = 3 son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3). Como todas las correspondientes parciales son cero, (x ) 3 = 0 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 43/47
118 Teorema ( ) Sea f : D R, donde D R y sea x 0 un punto en el interior de D. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
119 Teorema ( ) Sea f : D R, donde D R y sea x 0 un punto en el interior de D. Si f y todas las derivadas parciales de f de orden r existen y son continuas en una bola abierta con centro en x 0 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
120 Teorema ( ) Sea f : D R, donde D R y sea x 0 un punto en el interior de D. Si f y todas las derivadas parciales de f de orden r existen y son continuas en una bola abierta con centro en x 0, entonces para cualquier punto x en dicha bola: s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
121 Teorema ( ) Sea f : D R, donde D R y sea x 0 un punto en el interior de D. Si f y todas las derivadas parciales de f de orden r existen y son continuas en una bola abierta con centro en x 0, entonces para cualquier punto x en dicha bola: s Total r 1 f(x) = f(x 0 )+ i=1 [(x x 0 ) ] i f(x 0 ) + [(x x 0) ] r f(z) i! r! para algún z en el segmento que une x con x 0. Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 44/47
122 Ejemplo Si f : R 2 R definida como f((x 1,x 2 ) ) = x 1 x 2 + x e x 1 cos x 2 Desarrolle en x 0 = (0, 0) hasta el orden r = 2. s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 45/47
123 Ejemplo Si f : R 2 R definida como f((x 1,x 2 ) ) = x 1 x 2 + x e x 1 cos x 2 Desarrolle en x 0 = (0, 0) hasta el orden r = 2. as parciales hasta orden 2 son: f = x 2 + 2x 1 + e x 1 cos x 2, f x 2 = x 1 e x 1 sin x 2 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 45/47
124 2 f = 2x 1 + e x 1 cos x 2 2 f x 2 = 1 e x 1 sin x 2 2 f x 2 x 2 = e x 1 cos x 2, s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 46/47
125 2 f = 2x 1 + e x 1 cos x 2 2 f x 2 = 1 e x 1 sin x 2 2 f x 2 x 2 = e x 1 cos x 2, Y las evaluaciones en (x 1 = 0,x 2 = 0) son f = 1, f 2 f = 1, x 2 = 0 2 f x 2 = 1, 2 f x 2 x 2 = 1 s Total Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 46/47
126 Así: f(x 0 ) = 1 x f(x 0 ) = 1x 1 (1) + 1x 2 (0) (x ) 2 f(x 0 ) = 1x 1 2 (1) + 2x 1 x 2 (1) + 1x 2 2 ( 1) Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 47/47
127 Así: f(x 0 ) = 1 x f(x 0 ) = 1x 1 (1) + 1x 2 (0) (x ) 2 f(x 0 ) = 1x 1 2 (1) + 2x 1 x 2 (1) + 1x 2 2 ( 1) Por tanto desarrollada f(x) en x = 0 hasta orden 2: f(x) 1 + 1x 1 (1) + 1x 2 (0) (1x 1 2 (1) + 2x 1 x 2 (1) + 1x 2 2 ( 1)) f(x) 1 + x x x 1 x x 2 2 Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 47/47
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