Tema 5: Diferenciabilidad: Aplicaciones

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1 Prof. Susana López 1 UniversidadAuónomadeMadrid Tema 5: Diferenciabilidad: Aplicaciones 1 Funciones compuesas y Regla de la cadena Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable nos da la regla para derivar una función compuesa. Si y = f (x) y x = g (), donde f y g son funciones diferenciales, enonces y es indirecamene una función diferencial de : y = f (x) =f (g ()) por ano, podemos calcular la derivada de y como función de aplicando la regla de la cadena: dy dy = dy dx dx = f 0 (g ()) g 0 () Para funciones de más de una variable la regla de la cadena iene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferenes casos. Primer caso: Supongamos una función de dos variables z = f (x, y) donde a su vez cada una de esas variables dependen de una variable. Eso significa que z es ambién una función que depende indirecamene de : z = f (x (),y()) Supongamos que f es una función diferenciable. Laregladelacadenaquenosdaladiferencial de z como función de es: dz = x dx + y dy Noación: = f, x x = f y y Árbol de dependencia: x z y

2 Prof. Susana López 2 Ejemplo: Si z = f (x, y) =x 2 y y 4 x 3,dondex = 3 e y =ln, la diferencial de z respeco de será: dz = 2xy 3y 4 x x 2 4y 3 x 3 1 susiuyendo los valores de x e y como función de : dz = 2 3 ln 3 ln ln =65 ln + 5 4(ln) 3 8 9(ln) 4 8 Ora forma de calcular dz es expresar z como función de y luego derivar: z = 3 2 ln (ln ) = 6 ln (ln ) 4 9 dz = 6 5 ln + 5 4(ln) 3 8 9(ln) 4 8 Segundo caso: Consideremos ahora el caso donde z = f (x, y) es una función diferenciable ydondeasuvezx = g (s, ) e y = h (s, ) son funciones diferenciables de y s. Enonces: s = x x s + y y s = x x + y y Árbol de dependencia: s x z s y Ejemplo: Si z = f (x, y) =x 2 y y 4 x 3 donde x = 3 +2s e y = s ln, enonces las derivadas parciales de z respeco de s y son: s = 2xy 3y 4 x 2 2+ x 2 4y 3 x 3 ln = 2xy 3y 4 x x 2 4y 3 x 3 s

3 Prof. Susana López 3 susiuyendo los valores de x = 3 +2s e y = s ln s = 2 ³2 3 +2s s ln (s ln ) s ³ 2 +ln 3 +2s 2 4(s ln ) s 3 ³ = s s ln (s ln ) s 2 + s ³ 3 +2s 2 4(s ln ) s 3 Caso general: Si z es una función diferencial de n variables, x 1,x 2,..., x n, donde esas a su vez son funciones diferenciables de m variables, 1, 2,..., m, enonces z es una función diferencial de 1, 2,..., m donde: = x 1 + x x n j x 1 j x 2 j x n j

4 Prof. Susana López 4 EJERCICIOS: 1. Uilice un diagrama de árbol para folmular la recha de la cadena en cada caso: (a) u = f (x, y), donde x = x (r, s, ),y= y (r, s, ) (b) u = f (x, y, z), donde x = x (r, s),y= y (r, s) (c) u = f (x, y, z), donde x = x (r, s, ),y= y (r, s),z= z () 2. Calcular dz : (a) z = x 2 y + xy 2, x =2+ 4, y =1 3 (b) z = p x 2 + y 2, x = e 2, y = e 2 3. Calcular s y : (a) z = x 2 + xy + y 2, x = s +, y = s (b) z = e xy an y, x = s +2, y = s 4. Si z = f (x, y), donde x = g (),y= h (),g(3) = 2, g 0 (3) = 5, h(3) = 7, h 0 (3) = 4, x f (2, 7) = 8, y y f (2, 7) = 8 cuál es el valor de dz cuando =3? 5. Calcular u y u cuando s =0y =1para la función u = xy + yz + xz donde x = s, s y = s cos, z = s sin. 6. Supóngase que f (x, y) =x 2 y. Sean x () =2, y =3 +7 y F () =f (x (),y()). Aplicar la regla de la cadena al efeco de hallar una expresión para F 0 (). 7. Supongamos que el capial y el rabajo de una deerminada compañía varían en el iempo de la siguiene forma: k () =2 2, l() =2 +5 Si dicha firma iene una función de producción q (k, l) =kl 2, deerminar a qué asa cambia la producción con el iempo. 8. Supóngase que f (x, y) =x 1/2 y 3/4 yquex e y vienen definidas en érminos de u y v como sigue: x (u, v) =u 2 + v 2 e y (u, v) =uv. Sea F (u, v) =f (x (u, v),y(u, v)). Calcular las derivadas parciales F/ u y F/ v, aplicando la regla de la cadena. 9. La producción de rigo W, en un año dado, depende del promedio de emperaura T yla canidad de lluvia anual R. Los experos esiman que el promedio de emperaura esá subiendo a razón de 0.15 C/año y la lluvia esá decreciendo a razón de 0.1 cm/año. También esiman que, a los niveles acuales de producción, W/ T = 2 y W/ R =8. (a) Qué significan los signos de esas derivadas parciales? (b) Esime la razón de cambio acual de la procucción de rigo, dw/.

5 Prof. Susana López Una empresa produce el bien X empleando rabajo L como único inpu. Sean w y p los precios del inpu L ydelproducox respecivamene. Cuando emplea L unidades de rabajo incurre en unos coses de wl. Por ora pare, para producir x unidades del bien X, deben empearse L = x 2 unidades de rabajo. Además, la canidad producida es una función de los precios (w, p) y viene dada por x = p 2w (a) Jusificar que odas las funciones consideradas son diferenciables en sus respecivos dominios de definición. Expresar, sin susiuir, los coses como función de (w, p). (b) Sea C (w, p) la función de coses resulane. Usar la regla de la cadena para probar que el cose es decreciene en w y creciene en p. (c) Suponer que acualmene, w =1,p =2.Calcular la variación aproximada de los coses si w disminuye en 3 décimas y p aumena un 2%. 11. Sea la función de producción F (K, L) =4K 1/4 L 1/4 donde K y L son los facores de producción del capial y rabajo respecivamene. Se sabe que K = f 1 (w, r, p) y L = f 2 (w, r, p), siendo w, r y p los precios uniarios del capial, rabajo y del bien producido respecivamene. Acualmene los precios son r 0 = w 0 =1y p 0 =2, yseemleank 0 =1 unidades de capial y L 0 =16unidades de rabajo. Se sabe que f 1 (w, r, p) =(1, 1, 1) y f 2 (w, r, p) =( 2, 0, 1). (a) Calcular la variación aproximada de produco si K 0 aumena un 4% y L 0 disminuye un 4%. (b) Calcular la canidad aproximada producida si w 0 aumena un 1% y r 0 disminuye un 2%. (c) Calcular la variación aproximada del beneficio si w 0 y p 0 aumenan un 3% y r 0 disminuye un 2%.

6 Prof. Susana López 6 2 Desarrollo de Taylor Sea f una función f : R R, n veces diferenciable y sea x 0 Dom(f). Definimos el desarrollo de Taylor de la función f en orno al puno x 0 al polinomio: P n (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) f n (x 0 ) (x x 0 ) n n! A la diferencia f(x) P n (x) lo denominamos residuo del polinomio de Taylor en x 0, R n (x, x 0 ), y es igual a: Z x (x ) n R n (x, x 0 )= f (n+1) () x 0 n! Ese error o residuo es pequeño de "orden n" esdecir: R n (x, x 0 ) (x x 0 ) n 0 cuando x x 0 Vamosahoraahacerexacamenelomismoperoparafuncionesdevariasvariables. Sea f : R n R diferenciable de primer orden en x 0 R n, recordar que el plano angene de una función en un puno es una aproximación lineal de la función en dicho puno, de manera que el plano angene es la aproximación de Taylor de primer orden en el caso de una función de varias variables: nx f P 1 ( x) =f( x 0 )+ ( x 0 )(x i x i0 ) x i por ejemplo cuando f : R 2 R i=1 P 1 (x, y) =f(x 0,y 0 )+ f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) Si f es diferenciable de segundo orden enonces podemos calcular el polinomio de Taylor de segundo grado: P 2 (x) =f( x 0 )+ nx i=1 f x i ( x 0 )(x i x i0 )+ 1 2 nx i,j=1 2 f x i x j ( x 0 )(x i x i0 )(x j x j0 ) De nuevo en el caso f : R 2 R enemos: P 2 (x, y) =P 1 (x, y)+ 1 2 f 2 x (x 0,y 2 0 )(x x 0 ) f x y (x 0,y 0 )(x x 0 )(y y 0 )+ 1 2 f 2 y (x 0,y 2 0 )(y y 0 ) 2

7 Prof. Susana López 7 EJERCICIOS: 1. Usar la represenación de la función f (x) en serie de poencias para calcular lim x 0 f (x) cuando f (x) = sin x x 2. Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para f(x, y) =sen(x +2y) en (x 0,y 0 )= (0, 0). 3. Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para f(x, y) =e x cos y en (x 0,y 0 )=(0, 0). 4. Calcular el desarrollo de Taylor de f(x, y) = x 2 +2xy +3y 3 6x 2y 4 en un enorno del puno ( 2, 1). 5. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de la función f(x, y) =e x sen y en (x 0,y 0 )= (0, 0). 6. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de la función f(x, y) =cos x cos y en (x 0,y 0 )= (0, 0). 7. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de la función f(x, y) =e x+y en (x 0,y 0 )= (1, 1). 8. Uilizar el polinomio de Taylor de grado 1 para aproximar el valor de la función z = p 4 x2 y 4 en el puno (1.01, 0.97). 9. Uilizar el pliniomio de Taylor de grado 2 para aproximar el valor de la función z = x 2 e xy en el puno (2.9, 0.01). 10. Calcular los polinomios de Taylor de orden 1 y 2 de f (x, y) =e xy en (x, y) =(0, 0). Aproximar mediane esos polinomios los valores de e y e 4. Comparar los resulados obenidos con los valores reales e 0,01 =1, y e 4 =54, Porqué la aproximación de e 4 es an mala? (Indicación: Se puede considerar que si xy = enonces x =0 0 1 e y =0 0 1 yquesixy =4enonces x =2e y =2.) 11. Dada la función f (x, y) =e x (1 + sen y) uilizar el plano angene en el puno 0, π 2 para obener un valor aproximado de f 0.001, π Aproximar el valor de log(1 0 01) mediane los polinomios de Taylor de orden 1 y 2 de f (x, y) =log(1+yx). 13. Dada la función f(x, y) =x 2 +xy log(y 2 ) calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de f en ( 1, 1). Uilizar dicho polinomio para calcular un valor aproximado de f( 1.01, 0.9).

8 Prof. Susana López 8 3 Función homogénea Definición 1 Se dice que f : A R n R es homogénea de grado r R si para odo λ R y odo x =(x 1,x 2,..., x n ) A ales que λ x A, se verifica: f (λx 1,λx 2,..., λx n )=λ r f (x 1,x 2,..., x n ) Ejemplo: Considermos la función f (x, y) =x 2 + y 2, enemos que f (λx, λy) =(λx) 2 +(λy) 2 = λ 2 x 2 + y 2 por ano, f (x, y) es una función homogenea de grado 2. Definición 2 Diremos que f es posiivamene homogénea de grado r R si para odo λ>0 y odo x =(x 1,x 2,..., x n ) A ales que λ x A, se verifica: f (λx 1,λx 2,..., λx n )=λ r f (x 1,x 2,..., x n ) Observación: Toda función homogénea es posiivamene homogénea, pero el recíproco no es ciero. Por ejemplo si consideramos la función f (x, y) = 4p x 3 + y 3 es una función posiivamene homogénea pero no es homogénea ya que para odo λ<0 enemos que f (λx, λy) no esá bien definida. Teorema 1 (Teorema de Euler) Sea f (x 1,x 2,..., x n ) una función homogénea de grado r R. Enoncesseverifica: i) x 1 f x1 + x 2 f x x n f xn = rf ³ m ii) x 1 x 1 + x 2 x x n x n f = r (r 1) (r 2)... (r m +1)f Donde se considera µ m x 1 + x x n f = x 1 x 2 x n nx i 1,i 2,...,i m=1 m x i1 x i2 x in x i1 x i2 x im

9 Prof. Susana López 9 EJERCICIOS: 1. Comprobar, uilizando la definición o el eorema de Euler, si son homogéneas las funciones y en caso afirmaivo indicar su grado: (a) f (x, y) =xy 2 + x 2 y (b) f (x, y) =x + y 2 (c) f (x, y) =Cx a y b,siendoc R. x + y + z (d) f (x, y) = x + y + z (e) f (x, y) = (f) f (x, y) = xy4 x 6 y 6 xy5 x 6 y 6 (g) f (x, y) =e xy 4 x 6 y 6 (h) f (x, y) =e xy 5 x 6 y 6 2. Esudiar si las funciones siguienes son homogéneas o posiivamene homogéneas: (a) f (x, y) =sinx +cosx (b) g (x, y, z) =x 2 + y 2 z 2 (c) h (x, y, z) =xye z2 x 2 para x 6= 0 (d) j (x, y) =(x 3 + x 2 y) 1/4 para (x, y) ales que x + y 0 3. Sean f (x, y) y g (x, y) funciones homogéneas de grados m y n respecivamene. (a) Es homogénea la función h (x, y) =f (x, y) g (x, y)? En caso afirmaivo hallar el grado. (b) Esudiar la homogeneidad de la función p (x, y) =f (x, y)+g (x, y). 4. Demosrar que la función f (x, y) =(x 2 + y 2 ) 3/2 x 1/2 y 1/2 es homogénea de grado 4, y verifica que x f x + y f y =4f 5. Sea z (x, y) =x 3 y 3 arcan y x +(x2 + y 2 ) 3 arcan xy x 2 +y 2. Hallar xz x + yz y.

10 Prof. Susana López Hallar el valor de α para que la función f (x, y) = x5 +4x 2 y 3 xy 3 + yx α verifique que x 2 f xx +2xyf xy + y 2 f yy =0 7. Sea la función CES (elasicidad de susiución consane), f (x, y) =A (ax ρ + by ρ ) m/ρ, donde A, a, b y m son consanes posiivas y ρ 6= 0. Demuesre que es homogénea de grado cero. 8. Sea f : R 2 R una función diferenciable y homogénea de grado 3 al que f (1, 3) = (2, 5). Calcular la derivada direccional de f en el puno ( 2, 6) y en la dirección del vecor (1, 1). 9. Supongamos que f(x, y) y g(x, y) son funciones homogéneas de gado r y s respecivamene. Averiguar si la función h(x, y) = p f(x, y)g(x, y) es homogénea y en caso de serlo calcular el grado de homogeneidad.