TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES

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1 TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES. Función Logarimo Todos conocemos la definición de logarimo en base b, siendo b un número enero posiivo disino de. u = log b x x = b u y la propiedad fundamenal log b (xy) = log b x + log b y Sin embargo esa definición iene algunos punos oscuros. qué significa b u cuando u es un número irracional, por ejemplo 0 2 aunque pudiésemos salvar el escollo anerior, podríamos garanizar que b u.b v = b u+v con u, v R Podemos salvar esos problemas de una forma elegane y sencilla, inroduciendo primero los logarimos para usarlos luego en la definición de b u... Definición del logarimo neperiano como inegral Si suponemos el logarimo neperiano como una función f definida en R, se desea que verifique f(xy) = f(x) + f(y) (.) donde x e y perenecen al dominio de f. Para simplificar la busqueda de soluciones de la ecuación (.) es úil cenrarse sólo en las soluciones que ienen alguna propiedad más, por ejemplo que sean derivables. Es evidene que una solución es la función nula, además es la única que esá definida en odo R. El reso de soluciones no esá definida en x = 0, en efeco si x = 0 perenece al dominio de f, enonces f(x.0) = f(x) + f(0) = f(0) = f(x) + f(0) = f(x) = 0

2 para odo x del dominio de la función, es decir, es la función nula. Toda solución de (.) que enga al en su dominio, se anula en dicho puno. f(.) = f() + f() = f() = 2f() = f() = 0 Si y esán en el dominio de f f[( ).( )] = f( ) + f( ) = f() = 0 = 2f( ) = f( ) = 0 Si x, x, y son del dominio de la función f[x.( )] = f(x) + f( ) = f( x) = f(x) con lo que las soluciones de (.) son funciones pares. Supongamos ahora, que f iene derivada f (x) en cada x 0. derivando respeco de x yf (xy) = f (x) Tomando y fijo en (.) y para odo x del dominio de f, en paricular para x = yf (y) = f () = f (y) = f () y (y 0) Esa úlima igualdad nos muera que f es monóona y coninua en cada inervalo cerrado que no conenga al cero, por lo que f es inegrable y podemos escribir f(x) f(c) = si x > 0 omamos c > 0 y x < 0 elegimos c < 0 Dado que f() = 0, omamos c = x x f(x) = f () si x < 0, enonces x > 0 y como f( x) = f(x) esas dos fórmulas se pueden fundir en una x f(x) = f () x f(x) = f () c x f ()d = f () c d 2 d (x > 0) d (x < 0) d (x 0)

3 Si f () = 0, enonces f(x) = 0 para odo x disino de cero, luego impongamos que f () 0 y dividamos por ese número en los dos lados de la úlima igualdad g(x) = x d (x 0) g(x) = f(x) f es ambién solución de (.). () Dado que g( x) = g(x) (función no inyeciva) definiremos el logarimo neperiano a ravés de g(x) pero sólo para x > 0, con lo cual exisirá la inversa de g(x). Definición: Si x R +, definimos el logarimo neperiano de x como la inegral ln(x) = x d Proposición: La función logarimo iene las siguienes propiedades:. ln() = 0 2. [ln(x)] = x, x > 0 3. ln(x.y) = ln(x) + ln(y) Demosración:. y 2. son riviales. Probemos 3. ln(x.y) = x.y x d = x.y d + x d = ln(x) + ln(y) para lo que se efecua el cambio de variable u = x en la segunda inegral. No es complicado esbozar la gráfica de la función logarimo neperiano, eniendo en cuena las siguienes cuesiones [ln(x)] > 0 lo que indica que es una función creciene. ln() = 0, que juno con lo anerior nos garaniza que ln(x) > 0 para odo x > y ln(x) < 0 para 0 < x <. [ln(x)] = < 0 lo que muesra que es una función cóncava. x2 lim x + [ln(x)] = 0 y lim = +, que pone de manifieso la angencia verical y horizonal x 0 +[ln(x)] en x = 0 y para x + respecivamene. 3

4 Consecuencias de la propiedad 3. Una primera consecuencia es que la función logarimo neperiano no esá acoada ni superiormene ni inferiormene. ln(xy) = ln(x) + ln(y), omando x = y obenemos ln(x 2 ) = 2ln(x). Si omamos y = x 2, se comprueba que ln(x 3 ) = 3ln(x), y mediane inducción se comprueba que ln(x n ) = nln(x) para odo naural n. Si paricularizamos esa igualdad para x = 2, endremos ln(2 n ) = nln(2) por lo que M > 0 podemos escribir que ln(2 n ) > M, sin más que omar n > M. Demosrándose que la función no ln(2) esá acoada superiormene. Si omamos, ahora, y = x, ln(x. x ) = ln() = 0 = ln(x) + ln( ), lo que demuesra que x ln( x ) = ln(x). Igualdad que aplicada a x = 2n nos lleva a ln( ) = nln(2) permiiendo garanizar 2n que M > 0, ln( M ) < M al omar n > 2n ln(2) y prueba la no exisencia de coas inferiores. Ora consecuencia imporane es el hecho de que la gráfica de ln(x) cora a cada reca horizonal sólo una vez, es decir, dado y R exise un único x R + al que ln(x) = y. Para su comprobación basa considerar y > 0 cualquiera y elegir n > y ln(2), lo que nos asegura que ln(2n ) > y. Aplicando el eorema de los valores inermedios en el inervalo [, 2 n ] concluimos que exise x (, 2 n ) al que ln(x) = y. Para los y < 0 se acua igual pero en el inervalo [, ]. La unicidad de x se deduce del 2n hecho de que ln(x) es esricamene creciene. Definición: Designamos por e el número al que ln(e) = Noa: e R Q y su valor es aproximadamene Logarimos referidos a una base posiiva b En la sección anerior hemos viso que la función f, derivable, más general que saisface la ecuación funcional f(xy) = f(x) + f(y) esá dada por f(x) = Cln(x); C consane si C = 0, enonces f(x) es la función nula. Si C 0 exise un único b > 0 al que f(b) = y para ése se verifica que = Cln(b) y como b, se obiene C = ln x y por ano f(x) = ln(b) ln b. A esa función se le denomina logarimo en base b de x y se denoa por log b x. Definición: Si b > 0, b y si x > 0 log b x = ln x ln b 4

5 Las gráficas de las funciones log b x, con b R + {}, se obiene a parir de la gráfica de ln x. propiedades:. log b b = 2. log b = 0 3. log e x = ln x 4. log b (xy) = log b x + log b y 5. log b ( x y ) = log bx log b y 6. log b (x n ) = nlog b x (n Z)..3 Fórmulas de derivación e inegración en las que inervienen logarimos dx = ln x + C (x > 0) x esas fórmulas pueden ser exendidas f (x) dx = ln f(x) + C f(x) (f(x) > 0, x) L 0 (x) = ln x = x d (x 0) L 0 (xy) = ln( xy ) = ln( x y ) = ln x + ln y = L 0 (x) + L 0 (y) L 0(x) = x x 0 f (x) f(x) dx = L 0[f(x)] + C = ln f(x) + C (f(x) 0, x) Enonces Derivación logarímica Sea f(x) derivable, si definimos g(x) = L 0 [f(x)] = ln f(x) para odo x al que f(x) 0. si conocemos g (x) puede calcularse f (x) g (x) = L 0[f(x)].f (x) = f (x) f(x) 5

6 Ejemplo: f(x) = x 2.cos x.( + x 4 ) 7 g(x) = ln f(x) = ln x 2 + ln cos x + ln( + x 4 ) 7 = 2ln x + ln cos x 7ln( + x 4 ) por lo ano g (x) = f (x) f(x) = 2 x sen x cos x 28x3 + x 4 f (x) = 2xcos x ( + x 4 ) 7 x2 sen x ( + x 4 ) 7 28x5 cos x ( + x 4 ) 8 2. La función Exponencial Dado que x R, exise un único y R + al que ln y = x podemos aplicar el proceso de inversión para definir y como función de x. La función inversa resulane se denomina función exponencial o anilogarimo. Definición: x R, definimos E(x) como el número y cuyo logarimo es x, es decir y = E(x) ln y = x Observaciones: El dominio de la función E(x) es odo R. El conjuno imagen de E(x) es R + ln E(x) = x, x R y E[ln(x)] = x, x R +. La gráfica de la función E(x) es simérica a la de ln(x) respeco a la reca y = x. Teorema: La función exponencial iene las propiedades siguienes:. E(0) =, E() = e 2. E (x) = E(x) x 3. E(a + b) = E(a).E(b) a, b Demosración:. se deduce de la definición y del hecho de que ln = 0 y ln e =. Demosraremos 3. que es la ecuación funcional para la exponencial. Sean x = E(a), y = E(b), c = ln(xy); enemos que, ln x = a, ln y = b, E(c) = xy. Pero c = ln(xy) = ln x + ln y = a + b, luego c = a + b y por ano E(c) = E(a + b) y como E(c) = xy = E(a).E(b). 6

7 Para demosrar 2. usaremos 3.. E(x + h) E(x) h = E(x).E(h) E(x) h = E(x) E(h) h E(h) por lo que basa probar que lim =. Sea k = E(h) o lo que es lo mismo k + = E(h), h 0 h eso nos dice que ln(k + ) = h. Cuando h iende a cero E(h) iende a, luego k iende a cero cuando h iende a cero E(h) lim = lim h 0 h k 0 k ln(k + ) = lim k 0 ln(k+) k ln(k + ) ln(k + ) ln lim = lim = [ln(x)] x= = k 0 k k 0 k 2.. Exponenciales expresadas como poencias de e La ecuación funcional E(a+b) = E(a).E(b) nos permie, enre oras cosas, expresar E(r) = e r r Q. Tomemos b = a = E(0) = E(a).E( a) = E( a) = E(a) ( a R) omando b = a, b = 2a,...,b = na y aplicando inducción, demosramos que para odo n N se verifica que E(na) = [E(a)] n. En paricular cuando a =, obenemos E(n) = e n y E( n) = E(n) = e n ( n N). A parir de esos resulados es fácil deducir los que siguen: e = E() = E(n. n ) = [E( n )]n = E( n ) = e n (E( n ) > 0) E( n m ) = [E( m )]n = [e m ] n = e n m Definición de e x para x real cualquiera Hemos viso que e x = E(x) para odo x Q, ahora definimos e x para x irracional por e x = E(x) x R verificándose que e a.e b = e a+b Definición de a x para a > 0 y x R Esamos en disposición de definir a x para a > 0. Aunque es muy enador el definir a x como el número y al que log a y = x, se nos planea un problema para a = ( el logarimo de base no esá definido). Por lo ano definiremos a x como sigue: a x = e xln a 7

8 con esa definición, no sólo hemos salvado el problema para a =, si no que hemos faciliado el camino para demosrar las siguienes propiedades i) ln a x = xln a ii) a x.a y = a x+y iii) (a.b) x = a x.b x iv) y = a x x = log a y (a ) v) (a x ) y = (a y ) x = a x.y 3. Funciones hiperbólicas Frecuenemene en Análisis se presenan cieras combinaciones de funciones exponenciales a las que se les asignan nombres especiales y que se esudian como ejemplo de nuevas funciones Propiedades senh x = ex e x, cosh x = ex + e x, agh x = ex e x 2 2 e x + e x csch x = (x 0), sech x = senh x cosh x, cgh x = (x 0) agh x cosh 2 x senh 2 x = ; senh( x) = senh x; cosh( x) = cosh x agh( x) = agh x; cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y; senh(x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y cosh x + senh x = e x cosh x senh x = e x (cosh x + senh x) n = cosh(nx) + senh(nx) (n Z) En cuano a la derivación (senh x) = cosh x; (cosh x) = senh x; (agh x) = sech 2 x (cgh x) = csch 2 x; (sech x) = sech x agh x; (csch x) = csch x cgh x 8