Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase

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1 Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular, mediane inegración, las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamene, esas écnicas sólo sirven para hallar soluciones analíicas de muy pocas ecuaciones. Y lo que es peor, no se puede esperar descubrir méodos que permian hallar, mediane écnicas analíicas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar ambién la posibilidad de esudiar las ecuaciones diferenciales mediane oros méodos. En esa Lección esudiaremos algunos méodos cualiaivos. 5.. Campos de Pendienes La idea básica que esá derás de los méodos cualiaivos que esudiaremos en esa sección es la de que la derivada de una función en un puno es la pendiene de la reca 67

2 68 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase angene a la gráfica de la función en dicho puno. Con esa idea en mene, decir que () es solución de la ecuación diferencial = f(, ) significa que la pendiene de la reca angene a la gráfica de = () en el puno ( 0, 0 ), 0 = ( 0 ), es f( 0, 0 ). En oras palabras, dar la ecuación diferencial es dar el valor de la pendiene de las curvas solución en odos los punos del plano. De esa forma podemos asociar a cada puno ( 0, 0 ) del plano un pequeño segmeno que enga de pendiene, en ( 0, 0 ), el valor f( 0, 0 ). Ese conjuno de pequeños segmenos en el plano se llama campo de pendienes de la ecuación. En la prácica sólo es posible dibujar un pequeño número de segmenos en el plano, pero dibujando un número suficienemene grande de ellos podemos ener una idea más o menos clara de como son las angenes a las curvas solución de la ecuación. Dibujar el campo de pendienes de una ecuación a mano es una area cososa. Aforunadamene hay programas de ordenador que nos ayudan en esa area. No obsane, y aunque mosraremos enseguida los resulados que produce uno de esos programas, conviene, al menos una vez, dibujar a mano un pequeño campo de pendienes para alguna ecuación. Esa es la única forma de comprender lo que de forma más rápida y con mejores resulados hace el programa de ordenador. Consideremos por ejemplo la ecuación = Esa ecuación an simple no es de ninguno de los ipos que hemos esudiado. Así que no enemos una idea de cómo son sus soluciones. En ese caso f(, ) =. Para dibujar el campo de pendienes (sólo en unos pocos punos del plano), escogemos unos cuanos punos, y calculamos en cada uno de ellos el valor de f. Ese número será la pendiene de la reca angene a la curva solución que pasa por dichos punos. Por ejemplo, la pendiene de la angene a la curva solución en el puno (, ) es f(, ) = = 0. Dibujamos, enonces, en el puno (, ) una pequeña reca de pendiene 0. Podemos hacer lo mismo con oros punos y podemos colocar odos los valores obenidos en una abla. Por ejemplo: (, ) f(, ) (, ) f(, ) (, ) f(, ) (, ) (0, ) (, ) 0 (, 0) (0, 0) 0 (, 0) (, ) (0, ) (, ) 0 En cada uno de esos punos dibujamos pequeñas segmenos, cenrados en dichos punos, con la pendiene dada por el valor de f en ese puno. Obendríamos en ese caso algo parecido a lo siguiene:

3 5. Campos de Pendienes Figura 5.: Campo de pendienes de la ecuación = correspondiene a los nueve punos de la abla. No son punos suficienes como para ener una idea de cómo son las gráficas de las soluciones. Tal y como hemos comenado, se puede usar el ordenador para conseguir campos de pendienes que nos proporcionan una idea más precisa de cómo pueden ser las gráficas de las solucione se la ecuación diferencial. La Figura 5. ha sido producida por un ordenador y corresponde al campo de pendienes de la ecuación =. En él se aprecia que las curvas solución que coran al eje de abscisas a la izquierda de son curvas que son siempre crecienes, mienras que las que coran a la derecha de ese puno alcanzan un máimo y comienzan a decrecer. Parece ambién que las pendienes en el cuaro cuadrane uvieran odas del puno = 3 en adelane fueran odas en la misma dirección, como si hubiera una asínoa. El mismo programa de ordenador produce, mediane méodos numéricos, algunas curvas solución (Figura 5.3. Aunque algunas de esas curvas parecen coincidir en el cuaro cuadrane, se raa solamene de un efeco visual y de la imprecisión de la salida gráfica del ordenador. Sabemos, en efeco, que la ecuación = cumple las hipóesis del eorema de unicidad y, en consecuencia, no puede haber soluciones de la ecuación que se oquen Figura 5.: Campo de pendienes de la ecuación = generado por ordenador. Figura 5.3: Algunas curvas solución de la ecuación = producidas mediane aproimación numérica por un ordenador.

4 70 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase Aún disponiendo de una buen esbozo del campo de pendienes de una ecuación diferencial, no siempre reula fácil hacerse una idea precisa de cómo pueden ser las curvas solución. Hay, sin embargo, algunos casos pariculares imporanes para los que sí podemos esudiar fácilmene cómo son los campos de pendienes y las curvas solución Algunos casos pariculares imporanes Los casos pariculares que podemos esudiar fácilmene son los correspondienes a las ecuaciones diferenciales de la forma = f() y = f(). Esos casos son los más sencillos incluso desde el puno de visa analíico. Nos podemos pregunar para qué esudiar écnicas analíicas cuando podemos inegrar direcamene. La razón ya la hemos epueso en varias ocasiones aneriormene: Sólo somos capaces de calcular analíicamene funciones muy sencillas. A poco que las funciones f() o f() sean un poco complicadas no vamos a ser capaces de enconrar una solución analíica (eplícia ni implícia) de nuesras ecuaciones. Por ejemplo, cómo son las curvas solución de la ecuación diferencial = e?. Pueso que no podemos enconrar una fórmula que nos de una primiiva de e no somos capaces analíicamene de decir gran cosa de las soluciones de esa ecuación. Sin embargo, como vamos a ver enseguida, sí podemos conseguir mucha información a ravés de su campo dependienes. Consideremos, en primer lugar, la ecuación = f() Qué significa que la función f no depende de?. El significado es que si fijamos un valor de, digamos = 0, el valor de f en odos los punos de la reca verical = 0 es el mismo: f( 0 ). Como ( 0 ) = f( 0 ) enemos que la pendiene de odas las curvas solución de la ecuación en odos los punos de la reca = 0 es la misma. Es decir, los pequeños segmenos que marcan las recas angenes a las curvas solución son odos paralelos. (Véase la Figura 5.4). Ahora bien, si a lo largo de cada reca verical odas las marcas de pendiene son iguales, eso quiere dcir que odas la curvas solución de la ecuación son paralelas. Consideremos, por ejemplo, la siguiene ecuación: =.

5 5. Campos de Pendienes Figura 5.4: Si el lado derecho de la ecuación diferencial no depende de la variable dependiene, las marcas de las pendienes son paralelas a lo largo de cualquier reca paralela al eje Figura 5.5: Campo de pendienes de la ecuación =. Todas las marcas de las pendienes son paralelas a lo largo de recas vericales. Figura 5.6: Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación = superpuesas sobre su campo de pendienes. Ya sabemos que la solución general de esa ecuación es () = + C siendo C una consane cualquiera. La función () = es una parábola con vérice el puno (0, 0) y la función () = + C es una parábola con vérice el puno (0, C). Por lo ano, odas la soluciones de la ecuación = son parábolas con vérices a lo largo del eje de ordenadas. Además como a lo largo de cada reca = 0 las pendienes de cada curva solución son iguales: 0, odas las parábolas son paralelas unas a oras. eso se refleja en las Figuras 5.5 y 5.6. De forma similar, aunque no engamos una fórmula para la inegral de la función e podemos obener, con ayuda de un ordenador el campo de pendienes de la ecuación diferencial = e y un esbozo de la gráfica de algunas soluciones: Figuras 5.7 y 5.8

6 7 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase Figura 5.7: Campo de pendienes de la ecuación = e. De nuevo, odas las marcas de las pendienes son paralelas a lo largo de recas vericales. Figura 5.8: Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación = e superpuesas sobre su campo de pendienes Figura 5.9: Si la ecuación diferencial es auónoma las marcas de las pendienes son paralelas a lo largo de cualquier reca paralela al eje Campo de pendienes para ecuaciones auónomas Las ecuaciones diferenciales auónomas son las de la forma = f(), es decir, ecuaciones en las que fno depende de. El mismo razonamieno que hemos hecho para las ecuaciones en las que f no depende de nos sirve ahora para concluir que las marcas de pendienes de odas las ecuaciones auónomas son paralelas a lo largo de las recas = 0 ; es decir, recas horizonales. En efeco, en ese caso si y son dos valores disinos de enonces f(, ) = f(, ) = f() para odo valor de. (veáse Figura 5.9) Consideremos, por ejemplo, la ecuación auónoma = 4( ). Su campo de pendienes es el de la Figura 5.0. Se puede comprobar a simple visa que a lo largo de cada línea horizonal las marcas de pendiene son pararalelas. De hecho, si 0 < <

7 5. Campos de Pendienes 73 enonces > 0 y las pendienes sugieren que las soluciones enre las recas = 0 y = son crecienes. Sin embargo, si < 0 o > enonces < 0 y las marcas de pendiene sugieren que las soluciones correspondienes son decrecienes. Además, enemos soluciones de equilibrio en = 0 y =. Para esos valores las marcas de pendienes son horizonales. Todo eso queda pueso de manifieso en la Figura 5.. El hecho de que las ecuaciones auónomas producen campos de pendienes que son paralelos a lo largo de líneas horizonales, indica que podemos obener un número infinio de soluciones a parir de una dada sin más que rasladarla hacia la izquierda o hacia la derecha (véase la Figura 5.) Análisis analíico versus cualiaivo Para la ecuación auónoma = 4( ) podríamos haber uilizado procedimienos analíicos para enconrar fórmulas eplícias para las soluciones. Se raa, en efeco, de una ecuación en variables separables que podemos inegrar más o menos fácilmene. En efeco, vemos, como ya hemos mencionado más arriba, que hay dos soluciones de equilibrio: () = 0 y () =, y que una vez consideradas podemos separar las variables: d = 4. ( ) Figura 5.0: Campo de pendienes de la ecuación = 4( ). Todas las marcas de las pendienes son paralelas a lo largo de recas horizonales. Figura 5.: Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación = 4( ) superpuesas sobre su campo de pendienes.

8 74 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase Figura 5.: Gráfica de cuaro soluciones de una ecuación auónoma. Cada una de ellas se obiene de ora rasladándola hacia la derecha o hacia la izquierda..5 Inegrando: y ( ( ) d = + ) 4 = 4. d = ln De forma que la solución general de la ecuación sería: ln () () = 4 + C () () = Ke4, y despejando () obenemos la solución general en forma eplícia: () = Ke4 + Ke 4. Dibujar la gráfica de esa función a mano no es area sencilla. Claro que podríamos ayudarnos de algún programa de ordenador y si lo hacemos obendríamos una gráfica como la que se muesra en la Figura Figura 5.3: Gráfica de res soluciones de la ecuación auónoma = 4( ) juno a las soluciones de equilibrio. La gráfica ha sido producida con MATLAB c..5

9 5.3 Diagramas de Fase 75 Hay sin embargo ecuaciones auónomas de las que muy poco podemos decir de sus soluciones si las raamos eclusivamene mediane méodos analíicos. Consideremos, por ejemplo, la ecuación = e 0 sen. Como es una ecuación auónoma podemos separar las variables y resolverla analíicamene: d e 0 sen =, pero la inegral de la izquierda no puede evaluarse fácilmene. Debemos, enonces, recurrir a méodos cualiaivos. El lado derecho de la ecuación diferencial es posiivo salvo para = nπ, cualquiera que sea el enero n. Esos valores especiales de coresponden a soluciones de equilibrio. Y enre esas posiciones de equilibrio las curvas inegrales son siempre crecienes porque la derivada es posiiva. Eso se refleja claramene en el campo de pendienes (véase la Figura 5.4): enre dos soluciones de equilibrio las marcas de pendiene señalan que las soluciones crecen de una solución de equilibrio a la ora. Por lo ano podemos predecir el comporamieno de las soluciones a largo plazo aún cuando no dispongamos de una solución eplícia de la ecuación Figura 5.4: Campo de pendienes y gráficas de dos soluciones de la ecuación auónoma = e 0 sen juno a dos soluciones de equilibrio Diagramas de Fase Los campos de pendienes nos dan mucha información sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales sin ener que calcularlas analíicamene. La objección que se podría poner a esa écnica cualiaiva es que consruir a mano un campo de pendiene significaivo para una ecuación complicada es una area muy cososa salvo que se disponga de un ordenador y de los programas adecuados. Desde luego se raa de una objección menor debido a la popularización del uso de los ordenador y la disponibilidad de dichos programas. Hay, no obsane, ora écnica cualiaiva que requiere mucho menos rabajo y que para algunas

10 76 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase ecuaciones diferenciales proporciona abundane información. Se raa de los diagramas de fase, que esudiaremos en esa sección aunque sólo lo haremos para ecuaciones auónomas. En realidad las ecuaciones auónomas aparecen con muchísima frecuencia como modelos maemáicos para el esudio de los fenómenos físicos. Ello es debido a que la mayoría de ellos funcionan (o al menos se espera que funcionen) igual odo el iempo; es decir, son invarianes en el iempo. Ya hemos viso que los campos de pendienes de las ecuaciones auónomas ienen la caracerísica especial de que las marcas de pendiene son paralelas a lo largo de recas horizonales. Eso significa que si conocemos las marcas de pendiene de la ecuación a lo largo de una reca verical, digamos = 0, enonces las marcas de pendiene para cualquier oro valor de son las mismas. Enonces, para qué dibujar odo el campo de pendienes si oda la información se encuenra en una, cualquiera, de las recas vericales?. En vez de dibujar odo el campo de pendienes podríamos dibujar sólo una línea verical que conuviera oda la información. Esa línea se llama diagrama o línea de fase de la ecuación auónoma. Consideremos la siguiene ecuación auónoma = ( ) En ese caso f() = ( ) con lo que las soluciones de equilibrio de esa ecuación son () = 0 y () =. Los punos = 0 y = sobre el eje se llaman punos de equilibrio. Los señalamos en la línea de fase de la ecuación con un puno o circulio. Observamos, además, que f() > 0 si 0 < < y f() < 0 si < 0 o >. Eso significa que las curvas solución de la ecuación son crecienes si 0 < < y decrecienes si > o < 0. Indicamos esa siuación sobre la línea de fase poniendo una flecha apunando hacia arriba enre = 0 y = y dos flechas apunando hacia abajo: una por encima de = y ora por debajo de = 0 (véase las Figuras 5.5 y 5.6). Si comparamos con el campo de pendienes.5 = =0 Figura 5.5: Línea de fase para la ecuación = ( ) con su campo de pendienes. Figura 5.6: Línea de fase de la ecuación = ( ) y algunas soluciones.

11 5.3 Diagramas de Fase 77 de la ecuación (Figura 5.5) observamos que la línea de fase maniene la información acerca de las soluciones de equilibrio y de si las curvas solución crecen o decrecen. La información relaiva a la velocidad de crecimieno se pierde. Podemos, sin embargo, dibujar croquis de las gráficas de las soluciones usando sólo la línea de fase. Ésos no serán an eacos como los que podemos conseguir a parir de los campos de pendienes, pero conendrán oda la información acerca del comporamieno de las soluciones cuando se hace muy grande o muy pequeño (Figura 5.6) Cómo dibujar líneas de fase (a) (b) (c) = =π =π/ =0 =0 = 3 = π = π/ Figura 5.7: Línea de fase para las ecuaciones (a) = ( )( + 3), (b) = sen y (c) = cos. Para dibujar la línea de fase de una ecuación auónoma seguiremos los siguienes pasos Dibujamos la línea, verical. Buscamos los punos de equilibrio de la ecuación; es decir, los punos para los que f() = 0;, y los marcamos sobre la reca. Buscamos los inervalos de los valores de para los que f() > 0, y dibujamos flechas que apunen hacia arriba en dichos inervalos. Buscamos los inervalos de los valores de para los que f() < 0, y dibujamos flechas que apunen hacia abajo en dichos inervalos En la Figura 5.7 hemos dibujado varios ejemplos de líneas de fase.

12 78 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase Cómo usar las líneas de fase para esbozar soluciones? Podemos obener croquis aproimados de las gráficas de las soluciones de ecuaciones diferenciales auónomas a parir de su línea de fase. Tal y como hemos dicho ésos no serán an aproimados como los que se obienen a parir del campo de direcciones pero el méodo es menos cososo y sirve, sobre odo, para predecir el comporamieno de las soluciones a largo plazo. Consideremos por ejemplo la ecuación =π = =0 = π Figura 5.8: Línea de fase para w = ( w) sen w dw = ( w) sen w La línea de fase de esa ecuación esá dada en la Figura 5.8. Los punos de equilibrio son w = y w = kπ para k = ±, ±,.... Supongamos que queremos esbozar la gráfica de la solución con la condición inicial w(0) = 0,4. Como w() = 0 y w() = son soluciones de equlibrio y 0 < 0,4 <, por el eorema de unicidad, sabemos que 0 < w() < para odo. Además, debido a que w sen(w) > 0 para 0 < w < resula que w > 0 en ese inervalo y la solución debe ser creciene en odo él. Por lo ano la solución iende hacia w = cuando y a w = 0 cuando. Podemos así dibujar una imagen cualiaiva de la gráfica con la condición inicial w(0) = 0,4 (Figura 5.9). w 3 w=.5.5 Figura 5.9: Gráfica de la solución del problema de condiciones iniciales w=0 3 4 dw = ( w) sen w, ; w(0) = 0,4. De la misma forma podemos dibujar oras soluciones a parir de la información dada por la línea de fase. Las soluciones de equilibrio son fáciles de dibujar pues son recas paralelas al eje ; es decir, de la forma w() = c donde w = c es un puno de equilibrio. En nuesro caso las soluciones consanes de la ecuación ( w) sen w = 0 nos proporcionan las soluciones de equilibrio. Ésas son w = y w = kπ, k = 0, ±, ±,.... Hay pues infinias soluciones

13 5.3 Diagramas de Fase 79 de equilibrio. Los inervalos sobre la línea de fase con flechas señalando hacia arriba corresponden a soluciones crecienes, y aquellos con flechas señalando hacia abajo a soluciones decrecienes. Sabemos por el eorema de unicidad que las soluciones correspondienes a valores iniciales diferenes no se pueden corar. En paricular, ninguna solución corará a las soluciones de equilibrio. Por lo ano, las curvas de las soluciones que no son de equilibrio se aproimarán cada vez más a ésas pero nunca llegarán a corarlas. Sabiendo si la curva crece o decrece en el inervalo correspondiene podemos hacernos una idea basane aproimada de cómo son las gráficas de las soluciones de la ecuación. Lo único que no sabemos es cuán rápidamene o lenamene se acercan a las soluciones de equilibrio. La Figura 5.0 muesra unas cuanas soluciones de la ecuación dw = ( w) sen w, w= π 6 w 5 w=π w= w= w= π 3 Figura 5.0: Gráficas de variassoluciones de la ecuación dw = ( w) sen w. Así pues de forma general podemos decir lo siguiene sobre las soluciones de las ecuaciones diferenciales auónomas: Sea () es una solución de la ecuación d = f(). Si f((0)) = 0, enonces (0) es un puno de equilibrio y () = (0) para odo ; i. e. () = (0) es una solución de equilibrio. Si f((0)) > 0, enonces () es creciene para odo y, o bien () o bien () iende al primer puno de equilibrio mayor que (0) cuando. También sucede que o bien () o bien () iende al primer puno de equilibrio menor que (0) cuando. Si f((0)) < 0, enonces () es decreciene para odo y, o bien () o bien () iende al primer puno de equilibrio menor que (0) cuando. También sucede que o bien () o bien () iende al primer puno de equilibrio mayor que (0) cuando.

14 80 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase Para erminar volvemos a insisir que las líneas de fase nos ayudan a comprender el comporanieno a largo plazo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales siempre que ésas esén acoadas enre dos punos de equilibrio. Si ése no es el caso, es decir, si la solución no esá acoada, el comporamieno de la solución puede no poderse predecir sólo por la línea de fase de la ecuación. Consideremos, por ejemplo, la ecuación d = ( + ). Tiene un puno de equilibrio en = y d > 0 para cualquier oro valor de. Por lo ano las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales 0 son odas crecienes. Y al ser = una solución de equilibrio podemos concluir que si () es solución de la ecuación y (0) > enonces () crece indefinidamene a medida que pasa el iempo (i.e. a medida que crece ). Ese comporamieno de las soluciones se obiene a parir del esudio de la línea de fase de la ecuación (véase la Figura 5.). Pero sólo de ese esudio no podemos predecir lo rápida o lenamene que la ecuación iende hacia infinio: puede ser que () ienda a infinio a medida que se acerque a ciero valor (es decir que () enga una asínoa verical) o puede ser que () ienda a infinio a medida que crece y crece (es decir, a medida que iende ambiéna infinio). Para esa ecuación concrea esa información la podemos conseguir resolviendo propiamene la ecuación. Si separamos variables: d = = ( + ) + = + C = () = + C para alguna consane C. Como esamos suponiendo que (0) > y () es siempre creciene debe ser () > para odo > 0. También para < 0 debe ser () > porque () = es una solución de equilibrio y debido al eorema de unicidad. Así pues () = > para odo. Por lo ano + C < 0 para odo y +C lím () = +. C Es decir = C es una asínoa verical de la solución. Eso no se puede deducir de la línea de fase. = Figura 5.: Línea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación d = ( + ) 3

15 5.3 Diagramas de Fase 8 3 =.5.5 Figura 5.: Línea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación =0.5.5 d =.5 De forma similar las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales (0) < son asinóicas a = cuando + y ienen a cuando C. El ejemplo anerior es uno en el que el conocimieno de la línea de fase no nos permie concocer con eaciud el comporamieno a largo plazo de las soluciones de la ecuación diferencial debido a que ésas eploan en un iempo finio (ienden a + o - cuando se aproima a ciero valor finio). En oras palabras, cada solución no eise para valores de suficienemene grandes. Lo mismo puede suceder respeco de : hay ecuaciones diferenciales cuyas soluciones no pueden ranspasar ciero valor finio de. He aquí un ejemplo sencillo. Consideramos la ecuación d = Hay un puno de equilibrio = 0, pero hay oro puno críico: =. No se raa de un puno de equilibrio porque la función f() = no se anula en =, sino que no eise para =. Ahora bien, si < 0 enonces d < 0 por lo que las soluciones de la ecuación con condición inicial (0) < 0 son decrecienes. Para 0 < <, d > 0 y las soluciones con condición inicial 0 < (0) < son crecienes y para > las soluciones con condición inicial (0) > son, de nuevo, decrecienes. (Veáse la Figura 5.). El puno = es críico para el esudio del crecimieno o decrecimieno de las soluciones, pero no es un puno de equilibrio. Observamos además que odas las soluciones con condición inicial (0) > 0 ienden a = cuando aumena y que cuando esá próimo a enonces es casi cero por lo que d adquiere un valor muy grande. Es decir, a medida que la solución se va acercando a = su velocidad de aproimación es cada vez mayor pero no puede ni alcanzar ese valor ni ranspasarlo porque al alcanzarlo abandona el dominio de definición de la ecuación. La solución cae en lo que podemos llamar un agujero de la línea de fase. Como el puno = no es un puno de equilibrio, lo represenamos en la línea de fase mediane un circulo pequeño y vacío (eso nos recuerda que se raa de un agujero de la línea de fase).

16 8 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase f() =c a b c =b =a Figura 5.3: Gráfica de f(). Figura 5.4: Línea de fase de la ecuación d = f() para la f() de la Figura 5.3. =c =b =a Figura 5.5: Gráfica de f() Clasificación de los punos de equilibrio Ahora ya somos conscienes de la imporancia de los punos de equilibrio y de las soluciones de equilibrio a ellos asociadas. Ésos son fundamenales para dibujar la línea de fase y ésa nos da mucha información, con poco esfuerzo, del comporamieno a largo plazo de las soluciones de una ecuación diferencial (al menos en muchos casos). Se debe observar ahora que, en realidad, para dibujar la línea de fase de la ecuación d = f() no necesiamos conocer eplíciamene la función f(), basa conocer aquellos punos en los que f() = 0 y los inervalos en los que f() > 0 o f() < 0. Supongamos, por ejemplo, que no conocemos una fórmula para la función f() pero, por el medio que sea, sabemos que su gráfica es la que se da en la Figura 5.3. De la gráfica podemos deducir que en = a, = b y = c la función se hace cero, que es posiiva para < a y b < < c y negaiva en el inervalo (a, b) y para > c. Por lo ano, la línea de fase de la ecuación diferencial es la que se muesra en la Figura 5.4. Una vez dibujada la línea de fase, podemos dibujar un croquis de las soluciones según sean las condiciones iniiciales (Figura 5.5). Observando los punos de equilibrio vemos que los podemos clasificar de acuerdo con el comporamineo de las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales próimas a dicho puno de equilibrio. Considere mos por ejemplo un puno de equilibrio, = 0, como el que se

17 5.3 Diagramas de Fase 83 muesra en la Figura 5.6. Para un poco mayor que 0 la flecha señala hacia arriba; y para un poco menor que 0 la flecha señala hacia abajo. Eso significa que odas las soluciones de la ecuación diferencial (la que sea que enga = 0 como puno de equilibrio) con condiciones iniciales mayores que 0, pero próimas a 0, son siempre decrecienes para odo. Y las soluciones correspondienes a condiciones iniciales menores que 0, y ambién próimas a 0, son siempre crecienes para odo. Por lo ano, las soluciones son como las represenadas en la gráfica de la Figura 5.6. Es decir, a medida que crece, odas las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales próimas a 0 se acercan cada vez más al puno de equilibrio. Se dice enonces que las soluciones de la ecuación son asinóicamene esables, y que el puno de equilibrio es esable o que es un sumidero (es como si las soluciones cayeran hacia el puno de equilibrio). Las soluciones de una ecuación diferencial que no convergen, cuando +, = 0 = 0 Figura 5.6: Línea de fase con un puno de equilibrio que es esable o sumidero, y gráficas de soluciones cerca de un sumidero. Figura 5.7: Línea de fase con un puno de equilibrio que es inesable y fuene, y gráficas de soluciones cerca de una fuene. a un puno de equilibrio esable se dice que son inesables. Y los punos de equilibrio que no son esables ambién se dice que son punos de equilibrio inesables. Ahora bien, enre los punos de equilibrio inesables los hay de dos ipos. En efeco, si consideramos un puno de equilibrio como el de la Figura 5.7, la flecha señala hacia arriba para valores de mayores, y próimos, a 0 ; y hacia abajo para valores de menores y próimos a 0. Eso significa que las soluciones correspondienes a condiciones iniciales mayores y próimas a 0 son siempre crecienes y, consecuenemene, se alejan más y más del puno de equilibrio a medida que crece. Y las soluciones correspondienes a condiciones iniciales menores y próimas a 0 son siempre de crecienes y ambién se alejan más y más del puno de equilibrio a medida que crece. Esos punos de equilibrio se llaman fuenes (es como si las soluciones broaran del puno de equilibrio). Finalmene, los punos de equilibrio que no son ni sumideros ni fuenes se dice que son nodos. Los hay de dos ipos según que las soluciones correspondienes a condiciones iniciales próimas al puno de equilibrio sean crecienes o decrecienes al y como se muesra en la Figura 5.8.

18 84 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase = 0 = 0 Figura 5.8: Línea de fase con punos de equilibrio que son inesables y nodos, y gráficas de soluciones cerca de nodos. = = 3 Figura 5.9: Línea de fase para d = + 6 Dada una ecuación diferencial podemos clasificar los punos de equilibrio como sumideros, fuenes o nodos a parir de la línea de fase. Por ejemplo, para la ecuación d = + 6 = ( + 3)( ) los punos de equilibrio son = 3 y =. Además d < 0 para 3 < <, y d > 0 para < 3 y >. Con esa información podemos dibujar la línea de fase (Figura 5.9) y vemos que = 3 es un sumidero y = es una fuene. Incluso sin conocer la fórmula para la función f() en la ecuación d = f(), sino sólo a parir de la gráfica de dicha función podemos clasificar los punos de equilibrio. Supongamos, por ejemplo que la gráfica de f() es la represenada en la Figura La ecuación diferencial correspondiene iene res punos de equilibrio (donde f() = 0): =, = y =. Además, f() > 0 para < y para < <, f() < 0 para < < y, de nuevo, f() > 0 para >. Eso significa que d > 0, i.e. () es creciene, para < y para < <, d < 0, i.e. () es decreciene, para < < y de nuevo () es creciene para >. Así pues, la línea de fase es la dibujada en la Figura 5.3 y podemos clasificar los punos de equilibrio: Los punos = y = son punos de equilibrio inesables, el primero de ellos es un nodo y el segundo una fuene. Y el puno = es un puno de equilibrio asinóicamene esable y, por lo ano, un sumidero. Finalmene, podemos dar un crierio analíico para saber si un puno críico es sumidero o fuene. Para ello debemos observar que dada la ecuación d = f() un puno de equilibrio, 0, es un sumidero si, en las proimidades de 0, f() > 0 a la izquierda de = 0 y f() < 0 a la derecha de 0. Y es una fuene si ocurre lo conrario. Por lo ano, un puno de equilibrio, 0, es un sumidero si y sólo si f es decreciene en 0 y es una fuene si y sólo si f es creciene en dicho puno. En el supueso de que f sea diferenciable en dicho puno, podemos aplicar el concepo de derivada para concluir lo siguiene:

19 5.3 Diagramas de Fase 85 f() = = = Figura 5.30: Gráficas de f(). Figura 5.3: Línea de fase de d = f(), paraf() al y como se musra en la Figura Teorema 5..- Supongamos que 0 es un puno de equilibrio para la ecuación d = f() y que f es una función diferenciable. Si f ( 0 ) < 0 enonces f es decreciene en 0 y 0 es un puno de equilibrio asinóicamene esable o sumidero. Si f ( 0 ) > 0 enonces f es creciene en 0 y 0 es un puno de equilibrio inesable y es una fuene. Si f ( 0 ) = 0 enonces no podemos concluir nada, se necesia más información para deerminar el ipo de puno de equilibrio que es 0. En el caso f ( 0 ) = 0 no se puede concluir nada porque pueden ocurrir las res posibilidades (véase la Figura 5.3). Como un ejemplo de uilización del eorema anerior consideremos la siguiene ecuación: d = f() = (cos(5 + ) 7π 4 ) Un puno de equilibrio de esa ecuación es = 0. Qué ipo de puno es?. Dibujar la línea de fase de esa ecuación sería muy complicado porque no es sencillo decidir cuándo f() es posiivo o negaivo. Según el Teorema 5., con un poco de suere podremos saber qué ipo de puno es calculando la derivada de f en 0 = 0. Concreamene f () = cos( 5 + ) 7π 4 + d (cos(5 + ) 7π 4 ) y f (0) = cos(0) = > 0. El Teorema 5. nos permie asegurar que = 0 es una fuene. Las soluciones que comienzan suficienemene cerca de = 0 se alejan de ese puno cuando crece. Ahora bien pueso que no disponemos de información adicional (como

20 86 Técnicas cualiaivas: Campos de pendienes y líneas de fase f() f() = 0 = f() = 0 0 Figura 5.3: Gráficas de varias funciones juno a la correspondiene línea de fase para la ecuación diferencial d = f(). En odos los casos 0 es un puno de equilibrio y f ( 0 ) = 0. por ejemplo qué oros punos de equilibrio hay) no podemos concrear lo cerca de = 0 que deben empezar dichas soluciones. En definiiva, volvemos ora vez a observar que con poco esfuerzo conseguimos buena información sobre algunas soluciones de la ecuación. Si queremos obener información más precisa necesiaremos esudiar la función f() con más deenimieno.