PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

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1 PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO

2 Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria. ipos de procesos esocásicos: de iempo discreo: aquel en el que la variable puede cambiar de valor únicamene en insanes concreos del iempo de iempo coninuo: aquel en el que la variable puede cambiar de valor en cualquier insane del iempo de variable discrea: aquel en el que la variable sólo puede omar deerminados valores discreos de variable coninua: aquel en el que la variable puede omar cualquier valor de la reca real Nuesro objeivo será deducir un proceso esocásico de variable coninua y en iempo coninuo adecuado para describir el comporamieno de variables económico financieras (precios de las acciones, rendimienos de acivos, ipos de inerés...)

3 Epresión analíica de un proceso esocásico Sabemos que el comporamieno de una variable aleaoria se describe mediane una adecuada disribución de probabilidad. En un proceso esocásico el comporamieno de la variable aleaoria considerada varía en el iempo. Por ano, la disribución de probabilidad uilizada para describirla ambién podrá variar en el iempo. Para describir el proceso esocásico que sigue una variable aleaoria emporal, deberemos indicar en cada insane cual es la disribución de probabilidad asociada a. Ejemplo: Consideremos el procesos esocásico dado por: N( + µ, σ ), µ, σ consanes conocidas En un insane final de iempo, sigue una disribución de probabilidad de media +µ y de varianza σ

4 Cuando se esá modelizando un fenómeno real, resula difícil esablecer direcamene cual va ser la disribución de probabilidad adecuada, asi como deerminar cómo van a variar sus parámeros en el iempo. Por ello es frecuene que los procesos esocásicos vengan dados mediane ecuaciones, similares a las de los modelos discreos en diferencias finias que aparecían en el ejemplo del ema 1. En dichas ecuaciones se relaciona el valor de la variable aleaoria en el insane, con su valor en el insane anerior -1. Ahora bien, para que una ecuación en diferencias sea esocásica es necesario que en su epresión inervenga una variable aleaoria esándar ξ.. De ese modo el valor de no se deduce de forma deerminisa a parir del valor de -1, sino que depende ambién del comporamieno de la variable aleaoria ξ. ξ inducirá en una disribución de probabilidad variable en el iempo. Es decir, seguirá un proceso esocásico.

5 Ejemplos de procesos esocásicos definidos por ecuaciones + ξ + ξ 1 1 ( conocido) Caso 1: ξ sigue una disribución de probabilidad dada por: 1 P( ξ 1) P( ξ 1) La disribución de probabilidad de vendrá inducida a parir de la disribución binomial que sigue ξ. Ese ejemplo se puede ilusrar mediane el eperimeno del lanzamieno de una moneda. Caso : ξ sigue una disribución de probabilidad dada por: P( ξ 1) p P( ξ 1) 1 p Caso 3: ξ sigue una disribución de probabilidad N(,σ)

6 δ + ρ + ξ 1 conocido δ y ρ consanes, siendo -1 ρ 1 ξ sigue una disribución de probabilidad N(,σ) Proceso auoregresivo de primer orden Noa: En muchos casos, es posible deducir a parir de la ecuación que define el proceso esocásico, cual sería la disribución de probabilidad de la variable aleaoria. Veremos ese procedimieno para la ecuación en diferencias esocásica que nos ineresa esudiar en profundidad.

7 Simulación de procesos esocásicos

8 Procesos de Markov Procesos de Wiener Un proceso de Markov es un ipo paricular de proceso esocásico en el que únicamene el esado acual del proceso es relevane a la hora de predecir el esado fuuro. Es decir, la hisoria pasada del proceso y la forma en que el ppresene ha emergido del pasado son irrelevanes. Más formalmene, el valor esperado de una variable aleaoria en el insane, depende únicamene del valor previo -1. Generalizando, si poseemos información sobre r, con r <, enonces a la hora de esimar,, la única información que necesiamos es la de r, para el mayor r para el que engamos información.

9 Se supone habiualmene que los precios de las acciones siguen un proceso de Markov. Esa propiedad de Markov de los precios de las acciones se corresponde con la denominada eficiencia débil del mercado. Dicha eficiencia débil esablece que el precio acual de la acción encierra oda la información conenida en el regisro de los precios del pasado. Si esa propiedad no fuese ciera, los analísas écnicos podrían obener beneficios por encima de la media inerpreando las bases de daos de la hisoria pasada de las acciones. Eise poca evidencia de que sean capaces de hacerlo. Un proceso de Wiener es un ipo especial de proceso esocásico de Markov. Una variable se dice que sigue un proceso de Wiener si cumple la ecuación: + ξ 1 conocido -1 + ξ sigue una disribución de probabilidad N(,1) ξ es independiene de ξ s para odo s

10 Propiedades de los procesos de Wiener Para un inervalo empora dado, el incremeno de la variable aleaoria se disribuye según una normal de media y varianza. N(, ) 1 + ξ 1 ξ Como ξ sigue una disribución deprobabilidad normal, enonces ξ sigue ambién una disribución normal. Veamos cual sería su media y su varianza: [ ] [ ] [ ] µ E E ξ * E ξ * Var E ( µ ) E ( ) E ( ) E ξ * E ξ * E ( ξ ) *1 ξ sigue una N(,1) ξ sigue una N(,1)

11 Supongamos que queremos esudiar el comporamieno de en un inervalo de iempo relaivamene amplio [,]. Procedemos como sigue: Subdividimos el inervalo [,] en q subinervalos de longiud /q Aplicamos la fórmula del proceso de Wiener a cada subinervalo y sumamos miembro a miembro las ecuaciones obenidas: ξq 1 ξq ξ ξ 1 q 1 i ξ i

12 Como las variables aleaorias ξ i son independienes y se disribuyen según una normal N(,1), enonces se disribuye según una normal de media la suma de las medias y de varianza la suma de las varianzas. Por ano, - sigue una disribución normal de media y varianza: i ξ [ ] q q q Var Var Var q i q i i q i i * * 1 * * ) ( ξ ξ [ ] * * ) ( 1 1 E E E q i i q i i ξ ξ (, ) N (, ) N

13 Movimieno Browniano ariméico Un movimieno Browniano ariméico (MBA) es un proceso esocásico definido en érminos de un proceso de Wiener del modo siguiene: µ + σ z 1 µ y σ consanes z ξ es es un un proceso de de Wiener La consane µ represena la asa esperada de cambio de la variable por unidad de iempo. En efeco, si eliminasemos el segundo sumando endríamos que -1 + µ. El érmino σ z perurba la endencia marcada por µ. Dicha perurbación es σ veces un proceso de Wiener z.

14 Propiedades de los MBA Para un inervalo empora dado, el incremeno de la variable aleaoria se disribuye según una normal de media µ y varianza σ. N µ σ (, ) Como z es un proceso de Wiener, sabemos que sigue una disribución de probabilidad normal de media y varianza. Enonces seguirá ambién una disribución normal. Veamos cual es su media y su varianza: [ ] [ ] [ ] µ E E µ + σ z µ + σ E z µ + µ Var E ( ) E ( z) E ( z) E ( z ) Var z [ ] µ σ σ σ σ σ

15 Supongamos que queremos esudiar el comporamieno de en un inervalo de iempo relaivamene amplio [,]. Procedemos como sigue: Subdividimos el inervalo [,] en q subinervalos de longiud /q Aplicamos la fórmula del MBA a cada subinervalo y sumamos miembro a miembro las ecuaciones obenidas: µ + σξq 1 µ + σξ µ + σξ1 µ + σξ q q 1 q 1 i i i i qµ + σ ξ µ + σ ξ

16 [ ] Como las variables aleaorias ξ i son independienes y se disribuyen según una normal N(,1), enonces ξi se disribuye según una normal de media la suma de las medias y de varianza la suma de las varianzas. Por ano, - sigue una disribución normal de media y varianza: q 1 q 1 i i i i E E µ + σ( ξ ) µ + σ E ξ µ + σ * µ q 1 q 1 q 1 Var [ ] E ( µ + σ( ξ i) µ ) E ( σ( ξi) ) σ 1 σ q σ i i i N ( µ, σ ) E ( ) Var Var q 1 q 1 q 1 ξi ξi ξi i i i [ ] N µ σ ( +, )

17 Simulación de MBA

18 Inervalos de confianza para el MBA eniendo en cuena que: (, ) N + µ σ y uilizando propiedades conocidas de la disribución normal, enemos que los inervalos de confianza del 66%, 95% y 99% son respecivamene: ).33,.33 ( ), ( ), ( σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ

19 Movimieno Browniano geomérico Un movimieno Browniano geomérico (MBG) es un proceso esocásico dado por: z 1 µ 1 σ 1 µ y σconsanes z ξ es es un un proceso de de Wiener + Noemos que: 1 1 µ + σ z Es decir, que el cociene del incremeno de la variable dividido enre el valor anerior de la variable sigue un MBA. Ese hecho será uilizado para esudiar la renabilidad de una acción cuando represena el precio de dicha acción.

20 Simulaciones de MBG

21 Inegral esocásica. Procesos de difusión. Ecuaciones diferenciales esocásicas Los movimienos brownianos se basan en la definición del proceso de Wiener. Las rayecorias del proceso de Wiener son coninuas pero no derivables. Por ano el paso de un proceso esocásico de iempo discreo a oro de iempo coninuo no es inmediao. Requiere de la consrucción de una nueva herramiena maemáica: la inegral esocásica En general podemos definir procesos esocásicos cuyos incremenos dependen de un proceso de Wiener. Un proceso de Iô o proceso de difusión es un proceso de Wiener generalizado en el que los parámeros µ y σ son ahora funciones de la propia variable y del iempo:

22 1 f (, ) + + g(, ) z Si en la ecuación anerior hacemos ender, enonces, en iempo coninuo, se puede escribir formalmene: d f (, ) d + g(, ) dz La variable esocásica esá definida si en la ecuación inegral siguiene las inegrales que aparecen ienen senido y son calculables: + f (, ) ds + g(, ) dz

23 La inegral f(, ) ds es una inegral Rieman La inegral gdz (, ) no es Rieman ya que dz no eise. (Aunque z es coninua no es de variación acoada y por ano la inegral ampoco es una inegral de Rieman-Sieljes). Por ano hay que definir un nuevo ipo de inegral: la inegral esocásica. Bibliografía: Malliaris, Broch: "Sochasic Mehods in Economics and Finance"

24 Lema de Iô Sea un proceso de difusión cuya dinámica es: d f (, ) d + g(, ) dz Supongamos que y F(,) es función del proceso anerior, siendo F(,) una función de clase C (R R + ). Enonces y es un proceso de difusión cuya diferencial esocásica viene dada por : F F 1 F F dy + f(, ) + g(, ) d g(, ) + dz

25 Aplicación del Lema de Iô al esudio del MBG Consideramos el siguiene MBG en iempo discreo: µ + σξ + µ + σ z 1 y su generalización a iempo coninuo: d µ d + σ dz Veamos que el proceso y ln sigue un MBA en iempo coninuo: Como y y(, ), enonces podemos calcular: y y 1 y 1,, Aplicando Iô: dy µ + σ d + σ dz µ σ d + σdz

26 Luego y sigue un MBA de parámeros µ - 1/σ y σ. Aplicando los resulados del MBA se iene que: 1 ( ) y ln N( ( µ σ ), σ Si suponemos ln conocido, enonces: 1 y N + Como y ln, enonces ln (ln ( µ σ ), σ ) e Se Se dice que sigue una disribución lognormal Calculemos el valor esperado y la varianza: y

27 Sabemos que si y sigue una disribución normal, enonces: Luego: y E( e ) e 1 E ( y ) + Var ( y ) E( ) e µ µ σ ( ) Var( ) e e 1

28 Sabemos que Inervalos de confianza del MBG + ln N(ln ( µ σ ), σ ) Enonces el inervalo de confianza al 95% viene dado por: 1 1 ln + ( µ σ ) σ,ln + ( µ σ ) + σ Por ano, como: 1 1 ln + ( µ σ ) σ ln ln + ( µ σ ) + σ se concluye que: 1 1 ( µ σ ) σ ( µ σ ) + σ 1 e e