SERIES TEMPORALES. Cecilia Esparza Catalán

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1 SERIES TEMPORALES Cecilia Esparza Caalán

2 Cecilia Esparza Caalán ÍNDICE Página.- INTRODUCCIÓN ANÁLISIS PRELIMINAR DE UNA SERIE Tendencia y nivel de la serie Esacionalidad Dependencia enre variabilidad y nivel Comporamienos anómalos MÉTODOS CLÁSICOS Méodos de descomposición esacional y ajuse de endencia Méodos de suavizado SERIES SIN TENDENCIA NI ESTACIONALIDAD 3 - Modelos naive o ingenuos Modelos de medias móviles Modelos de suavizado exponencial simple 34 - SERIES CON TENDENCIA Y SIN ESTACIONALIDAD 38 - SERIES CON TENDENCIA Y CON ESTACIONALIDAD MODELOS ARIMA Modelos de medias móviles (MA) Modelos auorregresivos (AR) Modelos auorregresivos de medias móviles (ARMA) Modelos no esacionarios (ARIMA) BIBLIOGRAFÍA

3 Cecilia Esparza Caalán.- INTRODUCCIÓN SERIES TEMPORALES Una serie emporal es una colección de observaciones de una variable realizadas de forma secuencial en el iempo, en las que el orden de observación es imporane. Los valores de una serie emporal van ligados a insanes de iempo, de manera que el análisis de una serie implica el manejo conjuno de dos variables; la variable en esudio propiamene dicha y la variable iempo. Las series pueden ener una periodicidad anual, semesral, rimesral, mensual, ec., según los periodos de iempo en los que esán recogidos los daos que la componen. Las venas rimesrales de una empresa, el número de casos mensuales de personas afecadas por el SIDA, la canidad de accidenes semanales de ráfico o el número de exporaciones efecuadas cada año por un deerminado país, son ejemplos de series emporales con diferenes periodicidades. El análisis de series emporales presena un conjuno de écnicas esadísicas que permien, además de esudiar y modelizar el comporamieno de un fenómeno que evoluciona a lo largo del iempo, realizar previsiones de los valores que se alcanzarán en el fuuro. Con el análisis de series emporales se preende exraer las regularidades que se observan en el comporamieno pasado de la variable, es decir, obener el mecanismo que la genera, para ener un mejor conocimieno de la misma en el iempo. Además, bajo el supueso de que las condiciones esrucurales que conforman la serie objeo de esudio permanecen consanes, ambién se raa de predecir el comporamieno fuuro. El esudio de una serie emporal puede ener disinas moivaciones. El ipo de análisis, así como los modelos en los que basemos el esudio, dependerán en gran medida del ipo de pregunas que queramos responder. Cuando las observaciones corresponden a una única variable, el análisis de series emporales suele ener como objeivo consruir un modelo para explicar la esrucura (descripción) y prever la evolución (predicción) de la variable de inerés. Cuando se observa simuláneamene un grupo de variables, el objeivo que se persigue consise generalmene en analizar las posibles relaciones enre las variables observadas y su evolución conjuna. Ese úlimo puno, que debe ser raado mediane écnicas mulivarianes de análisis de series emporales, no queda cubiero por el presene manual, solamene nos referiremos al análisis univariane de series emporales, al análisis de una única serie. OBSERVACIÓN: Todos los conenidos del presene manual han sido elaborados empleando la versión 4.0 del programa SPSS

4 Cecilia Esparza Caalán 2.- ANÁLISIS PRELIMINAR DE UNA SERIE El análisis preliminar de una serie consiuye el primer paso a seguir a la hora de esudiar una serie emporal. Esa fase nos permie deecar las caracerísicas más imporanes de una serie, ales como su endencia (creciene o decreciene), la exisencia de ciclos, presencia de valores aípicos, ec. La forma más sencilla de comenzar el análisis de una serie emporal es mediane su represenación gráfica. El gráfico que se emplea para represenar las series emporales es el gráfico de secuencia. Los gráficos de secuencia son diagramas de líneas en los cuales el iempo se represena en el eje de abscisas (x), y la variable cuya evolución en el iempo esudiamos en el eje de ordenadas (y). Para obener el gráfico de secuencia de una serie emporal empleando el programa SPSS debemos seleccionar el menú Gráficos secuencia En la casilla Variables del cuadro de diálogo debemos inroducir la variable a esudiar y en la correspondiene a Eiqueas del eje del iempo la variable que nos indica la fecha a la que corresponde cada observación. En el caso de que en el archivo de SPSS engamos la variable de inerés pero no la correspondiene al iempo, debemos generarla. Para ello basa con ir al menú Daos Definir fechas y seleccionar la adecuada. Veamos un ejemplo de gráfico de secuencia obenido con los daos de la serie emporal Airline, serie que represena el volumen de pasajeros de una compañía aérea esadounidense. Figura : gráfico de secuencia de la serie Airline

5 Cecilia Esparza Caalán Para realizar el análisis preliminar de una serie debemos esudiar las siguienes cuesiones: Tendencia y nivel de la serie El nivel de una serie es una medida local de endencia cenral, como por ejemplo la media, de cada periodo de iempo que consideremos. Cuando rabajamos con un calendario (iempo represenado en días, meses o años), no es recomendable esablecer periodos de iempo aninaurales para esudiar esa caracerísica. Una vez calculado el nivel de la serie debemos observar su esabilidad, debemos ver si la medida de endencia cenral elegida iene valores similares en los periodos de iempo en los que dividimos el calendario. También endremos que observar su endencia, es decir, si presena una dirección consane de cambio de nivel. Esudiemos el nivel de la serie de nuesro ejemplo, la serie Airline. Las observaciones del número de pasajeros son mensuales, luego consideraremos periodos de iempo de un año. Airline JAN 949 JAN 950 JAN 95 JAN 952 JAN 953 JAN 954 JAN 955 JAN 956 JAN 957 JAN 958 JAN 959 JAN 960 Figura 2: gráfico de secuencia de la serie Airline y su nivel. Una vez represenado el nivel de la serie lo esudiamos para deerminar si es o no esable. En el caso de la serie Airline vemos que no lo es, la media del número de pasajeros conabilizados cada año (periodo elegido para dividir el calendario) va aumenando progresivamene, de manera que presena endencia creciene

6 Cecilia Esparza Caalán Ora forma de esudiar el nivel de una serie es realizando un box-plo 2 (diagrama de caja) de cada uno de los periodos de iempo considerados. Para efecuarlo con el programa SPSS debemos seleccionar el menú Gráficos Diagramas de caja - Simple y en la casilla Variable incluimos la variable de la serie y en la correspondiene a Eje de caegorías la referene al periodo considerado. La línea que aparece en el inerior de cada una de las cajas de un box plo represena la mediana, es decir, el nivel de la serie, pueso que es una de las posibles medidas de endencia cenral. De esa manera ambién podemos analizar gráficamene el nivel de una serie. Figura 3: diagramas de cajas por año de la serie Airline. Al igual que en el caso anerior, donde represenábamos la media de la serie Airline, llegamos a la conclusión de que el nivel es inesable y presena endencia creciene. 2 El diagrama de caja (box-plo) de una variable consise en un recángulo (caja), cuyo exremo inferior viene deerminado por el primer cuaril de su disribución, y el superior por el ercero. Ese recángulo esá dividido por un segmeno que represena a la mediana (segundo cuaril) y su longiud nos indica el rango en el que esá concenrado el 50% de los daos. Las dos líneas (llamadas bigoes) que paren de los exremos del recángulo inenan alcanzar los valores mínimo y máximo, pero su longiud no puede superar,5 veces el rango inercuarílico. Si exise algún valor que queda fuera de los bigoes se represena a pare, como un valor exraño

7 Cecilia Esparza Caalán Esable El nivel de una serie puede ser: Inesable Sin endencia Con endencia Creciene Decreciene Circunsancial El fenómeno iene un nivel esable salvo comporamienos esacionales. Veamos nuevos ejemplos de esudio del nivel y la endencia de una serie. Figura 4: gráfico de secuencia de la serie Temperauras

8 Cecilia Esparza Caalán Figura 5: diagramas de cajas por año de la serie Temperauras. La serie Temperauras, que represena la emperaura media regisrada en Madrid mes a mes, iene un nivel esable, es decir, es una serie esacionaria. Observando el gráfico de secuencia vemos que cada año se repie un parón muy similar y, esudiando el diagrama de box-plo, vemos que la mediana de cada año iene valores muy parecidos. Figura 6: gráfico de secuencia de la serie Lluvias

9 Cecilia Esparza Caalán Figura 7: diagramas de cajas por año de la serie Lluvias. En el caso de la serie Lluvias, que esá formada por los valores correspondienes la media mensual del número de liros de agua caídos por mero cuadrado en la Península Ibérica, enconramos un nivel inesable y sin endencia. Figura 8: gráfico de secuencia de la serie Paperas

10 Cecilia Esparza Caalán Figura 9: diagramas de cajas por año de la serie Paperas. La serie paperas es un ejemplo de serie emporal con nivel circunsancial. Eso significa que el nivel de la serie sería esable de no ser por algunos de los picos que se observan en ella. Esos picos no son aleaorios (ruido), sino que son esacionales, se repien periódicamene. Esacionalidad Una serie es esacional cuando podemos observar en ella un parón sisemáico que se repie periódicamene (cada año, cada mes, ec., dependiendo de las unidades de iempo en que vengan recogidos los daos). Exisen muchos ejemplos de series con comporamieno esacional. El hecho de que las vacaciones laborales se concenren en los meses de verano condiciona los valores de muchas series. Un claro ejemplo es el de las series relacionadas con el urismo, ales como número mensual de pernocaciones hoeleras, número de viajeros en avión regisrado por meses, ec. La paua sisemáica que caraceriza la esacionalidad no iene por qué ser anual, algunas series ienen una esacionalidad cuyo periodo es de un mes, una semana o incluso un día. Un ejemplo de ese úlimo caso podría ser el de las venas por horas de un deerminado produco en un cenro comercial. Es muy probable que cada día se repia un parón de comporamieno muy similar; habrá horas puna con gran número de venas y oras en las que apenas hay gene y por lo ano se regisran muchas menos venas

11 Cecilia Esparza Caalán Si una serie iene un comporamieno esacional muy claro se suele deecar fácilmene en el gráfico de secuencia, al y como ocurre con la serie Airline (Figura ). En esa serie se observa claramene que hay un parón similar que se repie año ras año, con evidenes aumenos en el número de pasajeros en los meses de verano e incremenos más moderados en los meses correspondienes a las vacaciones de Navidad. Sin embargo, para esudiar el comporamieno esacional de una serie es más adecuado represenar el diagrama de boxplo de cada una de las unidades de iempo que componen los periodos en los que se agrupan los parones de repeición. Es decir, en el caso de las series con observaciones mensuales represenaremos el diagrama de box-plo de cada uno de los meses del año. Para represenar el gráfico con los diagramas de caja por meses con SPSS debemos seleccionar el menú Gráficos Diagramas de caja - Simple y en la casilla Variable incluimos la variable de la serie y en la correspondiene a Eje de caegorías la correspondiene al mes. Figura 0: diagramas de cajas por mes de la serie Airline.. En la serie Airline podemos observar, al como nos pareció en el gráfico de secuencia, la presencia de un pico en verano y oro menos pronunciado en Navidad, épocas en las que la gene más viaja en Esados Unidos. También se puede ver que exise mucha variabilidad (las cajas de los diagramas box-plo son grandes), lo que provoca que se observe peor qué es lo que ocurre. Esa variabilidad en pare es debida a la endencia, pueso que en el diagrama de cajas de, por ejemplo, el mes de enero, se recogen ano los daos del número de pasajeros en enero de 949, enorno a 00, como los de 960, que rondan los

12 Cecilia Esparza Caalán Veamos oro ejemplo: Figura : diagramas de cajas por mes de la serie Paperas. En el caso de la serie paperas (Figura 8), que no presena endencia, la esacionalidad se ve mucho más claramene con el diagrama de box-plo por mes. Tal y como podemos observar, la incidencia de paperas en la ciudad de Nueva York es elevada en primavera pero va disminuyendo hasa alcanzar un mínimo en los meses de verano. La esacionalidad odavía esá más clara en el caso de la serie Temperauras. Figura 2: diagramas de cajas por mes de la serie Temperauras. - -

13 Cecilia Esparza Caalán Tal y como cabe esperar la serie correspondiene a las emperauras medias mensuales en Madrid es claramene esacional. La media mensual de emperaura va aumenando progresivamene hasa alcanzar el máximo en los meses de verano. A coninuación, analicemos la esacionalidad de la serie ParoFem. Esa serie coniene el número de miles de mujeres enre 6 y 9 años que se encuenran en paro en EE.UU. Figura 3: gráfico de secuencia de la serie ParoFem. Figura 4: diagramas de cajas por mes de la serie ParoFem

14 Cecilia Esparza Caalán En ese caso nos enconramos ane una serie que no parece ener esacionalidad. En el gráfico de secuencia no se observa un parón de repeición cíclico y los diagramas de cajas mensuales son muy similares enre sí. Dependencia enre variabilidad y nivel Ora de las cuesiones a deerminar a la hora de realizar el análisis preliminar de una serie es si exise dependencia enre su variabilidad y el nivel. Si la variabilidad de una serie no depende del nivel significa que los componenes de la serie se combinan de forma adiiva, es decir, el incremeno debido a la esacionalidad siempre es el mismo aunque exisa endencia creciene o decreciene. Si la variabilidad y el nivel dependen enre sí los elemenos de la serie se combinan de forma muliplicaiva. Eso quiere decir que el incremeno debido a la esacionalidad aumena o disminuye conforme la endencia crece o decrece. Esquema adiivo Esquema muliplicaivo JAN 997 JUL 997 JAN 998 JUL 998 JAN 999 JUL 999 JAN 2000 JUL 2000 JAN 200 JUL 200 JAN 2002 JUL 2002 JAN 2003 JUL 2003 JAN 2004 JUL 2004 JAN 2005 JUL JAN 997 JUL 997 JAN 998 JUL 998 JAN 999 JUL 999 JAN 2000 JUL 2000 JAN 200 JUL 200 JAN 2002 JUL 2002 JAN 2003 JUL 2003 JAN 2004 JUL 2004 JAN 2005 JUL 2005 Figura 5: Represenación gráfica de dos series con disino esquema de combinación enre sus componenes de endencia y esacionalidad. Para esudiar la dependencia exisene enre variabilidad y nivel se emplea el gráfico de dispersión por nivel. Ese gráfico es un diagrama de dispersión en el que se represena el logarimo neperiano de la mediana (medida de endencia cenral) frene al logarimo neperiano de la diferencia enre los perceniles 80 y 20 (medida de la dispersión) de cada uno de los periodos considerados en la serie. Para obener con el programa SPSS el gráfico de dispersión por nivel, ambién llamado gráfico de rango-media, debemos seleccionar el menú Analizar - Esadísicos descripivos Explorar y en la casilla Dependienes inroducir la variable correspondiene a los daos de la serie, y en Facores la que deermina los periodos elegidos. A coninuación pinchamos sobre el boón Gráficos y en Dispersión por nivel con prueba de Levene seleccionamos Esimación de ponencia

15 Cecilia Esparza Caalán En el caso de la serie Airline el diagrama de dispersión por nivel que obenemos es el siguiene: Figura 6: Gráfico de dispersión por nivel de la serie Airline. En el gráfico podemos ver que exise una dependencia clara enre variabilidad y nivel, ya que los punos del diagrama pueden ajusarse basane bien a una reca. También podemos observar que la variabilidad crece con el nivel, es decir, que cuano mayor es el nivel correspondiene un año de la serie mayor es su variabilidad. Eso ambién se puede observar en el diagrama de box-plos por año (Figura); cuano mayor es el nivel (línea cenral que represena la mediana) mayor es la caja. Figura 7: Gráfico de dispersión por nivel de la serie Paperas

16 Cecilia Esparza Caalán En el caso de la serie paperas ambién se observa dependencia enre variabilidad y nivel, aunque no an clara como en el caso de la serie Airline. De nuevo la variabilidad crece con el nivel. Figura 8: Gráficos de dispersión por nivel de las series ParoFem y Temperauras. Tano en la serie ParoFem como en Temperauras podemos ver que no exise dependencia enre variabilidad y nivel. Las nubes de punos de sus gráficos de dispersión no se agrupan enorno a una reca. Tampoco en la serie Lluvias se aprecia dependencia enre variabilidad y nivel: Figura 9: Gráfico de dispersión por nivel de la serie Lluvias

17 Cecilia Esparza Caalán Comporamienos anómalos Oro aspeco a esudiar en el análisis preliminar de una serie emporal es el de los comporamienos exraños. Si una serie emporal iene valores perdidos (en un deerminado momeno no se han recogido daos) o valores raros, no podemos ignorarlos. Los comporamienos anómalos pueden ser de res ipos: cambios de endencia, subidas bruscas de nivel o aparición de valores exraños. Veamos unos ejemplos: En ese primer caso enemos una serie con res cambios de endencia. Figura 20: Gráfico de secuencia y diagrama de cajas por año de la serie Paro. En la serie ParoFem deecamos varios cambios bruscos de nivel. Figura 2: Gráfico de secuencia y diagrama de cajas por año de la serie ParoFem

18 Cecilia Esparza Caalán Figura 22: gráfico de secuencia de la serie Freigh. Esudiando el gráfico de secuencia de la serie Freigh enconramos un oulier (valor muy diferene a los demás), en ese caso un valor anormalmene bajo. Ane un oulier en primer lugar debemos esudiar si se raa de un error en la recogida de los daos, o de causas exernas que han afecado a la variable. En el caso de comporamienos anómalos hay que raar de analizar las causas del mismo, pueso que en ocasiones puede esar provocado por cuesiones como cambios meodológicos en la recogida de daos, ec. 3.- MÉTODOS CLÁSICOS Desde una perspeciva eórica el enfoque clásico de análisis de series emporales considera que el comporamieno de una variable en el iempo es el resulado de la inegración de cuaro componenes fundamenales (aunque no siempre aparecen odos): endencia (T ), ciclo (C ), componene esacional (S ) y componene irregular o ruido (E ). De esa forma con los méodos clásicos una serie emporal X es una función de esos cuaro componenes. ( C, T, S E ) X = f, - 7 -

19 Cecilia Esparza Caalán Se considera endencia (T ) al movimieno suave y regular de la serie a largo plazo. Refleja la dirección del movimieno de una deerminada variable; creciene, decreciene o esable. El componene cíclico (C ) consise en variaciones superiores al año que no son esricamene periódicas. Se raa de un facor de ipo oscilane caracerizado por movimienos recurrenes en orno a la endencia, y suele aparecer fundamenalmene en series de ipo económico. En muchas series emporales podemos observar un parón sisemáico que se repie odos los años, es decir, odos los años aparece un cambio de valor en un deerminado mes. La esacionalidad (S ) de una serie son los movimienos regulares de la misma que ienen una periodicidad inferior al año. Recoge las oscilaciones que año a año se repien en una serie de forma periódica. El componene irregular o ruido (E ) incluye las variaciones de la serie cuyas leyes nos resulan desconocidas. Se caraceriza porque no responde a un comporamieno sisemáico o regular y, en consecuencia, no es posible su predicción. El enfoque clásico aribuye esa irregularidad al azar. De esa forma el ruido lo compone odo lo que no queda explicado por la endencia, el ciclo y la esacionalidad. Los méodos clásicos de análisis de series emporales ienen la venaja de no ser excesivamene complejos, aunque como conraparida responden a pregunas menos ambiciosas. Se pueden emplear para realizar predicciones a coro plazo, pero no a medio o largo plazo. Por ejemplo, en series mensuales se uilizan para predecir uno o dos meses, no un año compleo 3. Méodos de descomposición esacional y ajuse de endencia Los méodos de descomposición esacional son eminenemene descripivos. Traan de separar la serie en subseries correspondienes a la endencia-ciclo 4, la esacionalidad y el ruido (componene aleaorio). 3 En algunos de los ejemplos que veremos a coninuación se emplean los méodos clásicos para predecir un año compleo, pero se hace únicamene para poder ver gráficamene cómo pronosican. 4 Separar la endencia y el ciclo es muy difícil, habiualmene van a quedar confundidos, de manera que consideraremos una única componene endencia-ciclo

20 Cecilia Esparza Caalán Serie Tendencia Esacionalidad Ruido Figura 23: Descomposición esacional. En ocasiones nos ineresa desesacionalizar una serie, eliminar la influencia esacional. Supongamos que raamos de analizar si, a lo largo del año, los niveles de ozono aumenan, se manienen o disminuyen. El nivel de ozono sube en verano, pero lo que raamos de deerminar es si exise una subida más allá del incremeno propio del verano. De esa forma lo que nos ineresa es esudiar la endencia de la serie independienemene de la subida que se produce cada esío. Oro ejemplo en el que nos puede ineresar eliminar la influencia esacional de una serie es el caso en el que necesiamos decidir la capacidad que debe ener un almacén. Para ello analizamos los daos correspondienes al volumen de produco a almacenar cada mes. Traaremos de omar la decisión absrayéndonos de los picos de la esacionalidad. No nos ineresa monar una nueva plana de almacén que solo se va a ocupar en un pico como, por ejemplo, navidad. En ocasiones endencia y esacionalidad se enmascaran, a veces una endencia marcada puede no dejarnos ver la esacionalidad, y viceversa. Los méodos de descomposición esacional separan endencia, esacionalidad y ruido, pero no predicen. Para predecir es necesario combinarlos con méodos de ajuse de endencia. A la hora de predecir consideramos la esacionalidad consane periodo a periodo y el ruido cero. El ruido es aleaorio, impredecible, y iene media cero, de manera que la mejor previsión que podemos hacer de él es cero. De esa forma - 9 -

21 Cecilia Esparza Caalán para pronosicar realizamos un ajuse de endencia con el fin de obener un modelo exrapolable, y le añadimos la esacionalidad. Tendencia Tendencia con ajuse Exrapolación Figura 24: Tendencia de una serie (daos concreos, no podemos exrapolar) y endencia con ajuse (podemos exrapolar la reca ajusada a la endencia) El primer paso a seguir a la hora de descomponer una serie es deerminar có- mo se combinan sus componenes. Las combinaciones adiiva y muliplicaiva son las más habiuales 5. Tal y como hemos viso en la inroducción a los méodos clásicos, según ésos una serie emporal X es una función que depende de cuaro componenes. ( C, T, S E ) X = f, Si dichos componenes se combinan de forma adiiva enonces: y si lo hacen de forma muliplicaiva: X = C + T + S + E X = T S E C Desarrollemos el proceso para el caso adiivo. En primer lugar eliminamos el ruido y la esacionalidad. El ruido se elimina susiuyendo cada observación por una media de lo ocurrido aneriormene (media móvil anerior) y la esacionalidad realizando un proceso de media móvil cenrada. Ese úlimo procedimieno suaviza cada observación omando la media de igual número de valores aneriores y poseriores a la misma. El orden de la media móvil cenrada, es decir, el número oal de observaciones que generará cada media móvil cenrada, habiualmene es igual al periodo de la serie. En cualquier caso debe ser al que no incluya más observaciones de una unidad de periodo que de las demás. Es decir, si la serie iene periodicidad semanal, en la media móvil cenrada no deben esar incluidos los valores correspondien- 5 Ver el aparado relaivo a la dependencia enre la variabilidad y el nivel (Análisis preliminar)

22 Cecilia Esparza Caalán es a dos lunes si no se incluyen ambién dos veces los del reso de los días de la semana. x 4 L M X J V S D L M X J V S D x 5 Figura 25: Media móvil cenrada de una serie con información diaria (periodo 7). En el caso de que el periodo de la serie sea par, por ejemplo los rimesres del año, la media móvil cenrada se calcula omando la media de las dos posibles medias móviles a considerar. x 3 T T T T T T T T x 3 Figura 26: Posibles medias móviles cenradas a considerar en una serie con informa- ción rimesral (periodo 4). Una vez eliminados la esacionalidad y el ruido obenemos una serie que únicamene esá formada por la endencia y el ciclo: M = C + T. A coninuación, eliminando la endencia y el ciclo de la serie de parida, conseguimos una serie inegrada solo por la esacionalidad y el ruido: X M = E + S. Para esimar el facor esacional a parir de esa úlima serie se realiza la media de odas las observaciones disponibles de cada unidad de periodo (por ejemplo, cada mes de un año). De esa forma la serie del facor esacional esará formada por los valores de esas medias, es decir, será una serie que repeirá consanemene los mismos valores en cada unidad de periodo. Haciendo X M S = E obenemos una serie con el error, con el ruido. En el caso de que los componenes de la serie se combinen de forma muliplicaiva el proceso es equivalene. En primer mediane medias móviles obene

23 Cecilia Esparza Caalán mos una serie formada únicamene por la endencia y el ciclo: coninuación, haciendo X M M = C T. A = E S, conseguimos una serie formada solo por la esacionalidad y el ruido. Finalmene, ras esimar la componene esacional, X haciendo = E obenemos una serie con el error. M S Realicemos un ejemplo de análisis de una serie mediane ese méodo clásico empleando el programa SPSS. Sea la serie Cava, correspondiene a daos de vena de cava. En primer lugar debemos realizar un análisis preliminar de la serie. Figura 27: Gráfico de secuencia y diagrama de box-plos por mes de la serie cava. Para poder aplicar ese méodo la serie debe ener un comporamieno esacional. Al observar el gráfico de secuencia de la serie vemos de forma basane clara que exise esacionalidad, hecho que se confirma al analizar el gráfico de box-plo por mes. En ese úlimo adverimos que la vena de cava en los primeros meses del año es más o menos parecida hasa agoso, donde enconramos un mínimo, a parir del cual las venas van creciendo hasa alcanzar un máximo en diciembre. Seguramene ese crecimieno esará causado por la proximidad de la Navidad, periodo de mayor consumo de cava del año, y la consecuene necesidad de abasecimieno de las iendas en los meses previos a las fiesas

24 Cecilia Esparza Caalán Figura 28: Diagrama de box-plos por año y gráfico de dispersión por nivel de la serie cava. Observando el gráfico de dispersión por nivel de la serie, vemos que los punos del mismo parecen ajusarse a una reca, lo que indicaría dependencia. Sin embargo exise un puno que puede esar falseando la endencia. Además, el valor del R 2 no es alo (0,494), a pesar de que eso es usual en ese ipo de análisis, pueso que habiualmene se dispone de pocos casos. Si observamos el diagrama de cajas por año la variabilidad no parece depender del nivel, realmene lo parece ocurrir es que el penúlimo año iene mayor variabilidad. De esa manera nos decanaremos por considerar que no exise dependencia enre variabilidad y nivel, es decir, por el modelo adiivo. Para realizar la descomposición esacional de la serie con SPSS debemos seleccionar Analizar Series emporales Descomposición esacional y, ras inroducir la variable con los daos de la serie en la casilla Variables, acivar las opciones modelo adiivo y Ponderación de la media móvil Punos finales ponderados por,5 (seleccionamos esa opción siempre que la longiud del periodo sea par, y en ese caso lo es, consa de 2 meses). El resulado que nos proporciona SPSS es el siguiene: Descripción del modelo Nombre del modelo Tipo de modelo Nombre de la serie Longiud del período esacional MOD_ Adiivo cava vena cava 2 Méodo de compuación de medias móviles Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_ Ampliud igual a la periodicidad y odos los punos ponderados igualmene

25 Cecilia Esparza Caalán Facores esacionales Nombre de la serie: cava vena cava Período Facor esacional -,983 -, , ,8400 -, , , , ,3866, , ,75377 El primer recuadro es un resumen del ipo de modelo empleado para realizar la descomposición esacional, y el siguiene nos da los valores concreos de los facores esacionales. Esas cifras nos indican qué ocurre con los valores de la serie cada uno de los meses del año. Por ejemplo, en los meses de enero las venas se reducen en un,9, mienras que meses como ocubre suponen un aumeno de 0,93. Además de esos resulados, el programa SPSS crea cuaro nuevas variables: ERR_ Componene aleaorio, ruido ( E ) SAS_ Serie desesacionalizada ( X S ) SAF_ Componene esacional ( S ) STC_ Componene de endencia-ciclo ( C + T ) Se puede comprobar fácilmene que la suma SAS_+STC_+ERR_ da como resulado la serie original

26 Cecilia Esparza Caalán Gráficamene: Figura 29: Gráfico de secuencia de la serie cava original y la serie desesacionalizada. Si además de eliminar la influencia esacional nos ineresa predecir, en primer lugar enemos que ajusar la endencia de la serie. Figura 30: Gráfico de secuencia de la subserie endencia-ciclo

27 Cecilia Esparza Caalán Para ajusar la endencia con el programa SPSS debemos seleccionar Analizar Regresión Esimación curvilínea y en la casilla variable dependiene incluimos la variable correspondiene a la componene de endencia-ciclo (STC) y como variable independiene acivamos Tiempo. Denro del aparado Modelos disponemos de diferenes ipos de ajuses posibles, elegimos los que nos ineresen y acivamos la casilla Mosrar abla de ANOVA. y Lineal = 0 b + b Logarímico y = b + b 0 Poencia y = b 0 b ln y = b y = b Cuadráico b + b2 Cúbico b + b2 + b3 S y = e b b0 + Inverso b y = b0 + Compueso y = b 0 b Exponencial y b = b0 e Crecimieno 0 y = e b + b y = Logísico + b0 b u En nuesro ejemplo analizaremos el ajuse lineal, el S y el logarímico. El resulado que nos proporciona SPSS es: Descripción del modelo Nombre del modelo Variable dependiene Ecuación 2 3 Variable independiene Consane Variable cuyos valores eiquean las observaciones en los gráficos MOD_4 STC_ Ciclo de endencias para cava de SEASON, MOD_, ADD CEN 2 Lineal Logarímica S a Secuencia de casos Incluidos Sin especificar a. El modelo necesia odos los valore no perdidos para ser posiivo

28 Cecilia Esparza Caalán Resumen del procesamieno de los casos Toal de casos Casos excluidos a Casos pronosicados Casos creados nuevos N 96 a. Los casos con un valor perdido en cualquier variable se excluyen del análisis Resumen del procesamieno de las variables Número de valores posiivos Número de ceros Número de valores negaivos Número de valores perdidos Perdidos definidos por el usuario Perdidos del sisema Variables Dependiene STC_ Ciclo de endencias para cava de SEASON, MOD_, ADD CEN STC_ Ciclo de endencias para cava de SEASON, MOD_, ADD CEN 2 Lineal Resumen del modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error ípico de la esimación,87,667,663,498 ANOVA Regresión Residual Toal Suma de Media cuadrados gl cuadráica F Sig. 46,660 46,660 88,269,000 23,297 94,248 69, Coeficienes Secuencia de casos (Consane) Coeficienes no esandarizados Coeficienes esandarizados B Error ípico Bea Sig.,025,002,87 3,72,000 3,58,02 34,967,

29 Cecilia Esparza Caalán Logarímica Resumen del modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error ípico de la esimación,747,558,554,573 ANOVA Regresión Residual Toal Suma de Media cuadrados gl cuadráica F Sig. 39,070 39,070 8,900,000 30,888 94,329 69, Coeficienes ln(case Sequence) (Consane) Coeficienes no esandarizados Coeficienes esandarizados B Error ípico Bea Sig.,692,064,747 0,904,000 2,30,236 9,796,000 S Resumen del modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error ípico de la esimación,346,20,0,8 ANOVA Regresión Residual Toal Suma de Media cuadrados gl cuadráica F Sig.,49,49 2,778,00 3,079 94,033 3, / Case Sequence (Consane) Coeficienes no esandarizados Coeficienes Coeficienes esandarizados B Error ípico Bea Sig. -,555,55 -,346-3,575,00,58,020 78,058,000 La variable dependiene es ln(stc_ Ciclo de endencias para cava de SEASON, MOD_, ADD CEN 2)

30 Cecilia Esparza Caalán Figura 3: Gráfico de la subserie endencia-ciclo con los ajuses lineal, logarímico y S. Tal y como podemos observar en las ablas ANOVA, los res ajuses son significaivos (Sig.<0,05), lo que quiere decir que podemos considerar los res modelos. También son significaivos los coeficienes ajusados en los res casos, es decir, que ninguno de ellos es considerado nulo. Sin embargo, para decidirnos enre uno de los res ajuses debemos analizar el gráfico con los res ajuses sobre los daos originales, así como el R cuadrado corregido que aparece en el resumen del modelo. Ese valor nos da una medida del porcenaje de variabilidad de los daos explicado por el modelo, de manera que cuano más próximo a sea su valor, mejor represenados esarán nuesros daos. Observando el gráfico vemos que el modelo S no ajusa bien la serie correspondiene a la endencia, se aleja de los daos de la misma. Sin embargo, al esudiar el ajuse lineal y el logarímico vemos que ésos se ajusan mejor. Si ahora nos remiimos a los valores del R 2 corregido, vemos que el ajuse S es el que presena un menor valor del mismo (0,0), como cabía esperar ras fijarse en el gráfico. En el caso del modelo lineal y logarímico los valores son 0,663 y 0,554 respecivamene, de manera que nos inclinamos por el ajuse lineal, pueso que iene el valor más elevado del R 2 corregido. A coninuación, para realizar predicciones de nuesra serie con SPSS, debemos generar las previsiones de la componene de endencia-ciclo. Para ello debemos acudir de nuevo al menú Analizar Regresión Esimación curvilínea y, al ajusar el modelo lineal a la variable STC_, pinchar en el boón

31 Cecilia Esparza Caalán Guardar y ras acivar la casilla Valores pronosicados en Pronosicar casos seleccionamos Predecir hasa e indicamos la fecha hasa la que queremos obener predicciones. Tras hacer eso se genera una nueva variable que coniene el ajuse de odos los punos de la subserie endencia-ciclo para los que hay daos, así como las previsiones que hemos soliciado. Para obener las predicciones de la serie original, debemos sumar los valores pronosicados (variable FIT) y los valores de SAF_ (componene esacional). La previsión que hacemos de la componene de ruido será cero, de manera que sumando esas dos variables (Transformar Calcular ), obenemos las predicciones de vena de cava. Figura 32: Gráfico de secuencia de la serie cava original y las predicciones para un año. Méodos de suavizado Los méodos de suavizado o alisado son écnicas de ipo predicivo más que descripivo. Resulan más adecuados para pronosicar, y proporcionan previsiones razonables para horizones de predicción inmediaos. Además los resulados que se obienen con ellos son saisfacorios, incluso cuando no se dispone de un gran número de daos hisóricos. A diferencia de los méodos de descomposición esacional, para aplicar los de suavizado no es necesario que la serie presene comporamieno esacional. Denro de esos úlimos exisen modelos para series no afecadas por endencia ni esacionalidad, para series con endencia y para series con endencia y esacionalidad

32 Cecilia Esparza Caalán MODELOS APLICABLES A SERIES SIN TENDENCIA NI ESTACIONALIDAD Ese ipo de series iene un comporamieno más o menos esable que sigue un parón subyacene ( µ ) salvo flucuaciones aleaorias ( ), de manera que se modelizan de la siguiene forma: X = µ + e Todos los modelos que se van a exponer a coninuación proporcionan una misma previsión para odo el horizone de previsión. Por esa razón se exige que se apliquen a series sin endencia ni esacionalidad. Se emplean para realizar predicciones a coro plazo, pueso que a largo plazo lo que se haría es acualizar la serie con la nueva información y efecuar de nuevo una predicción a coro plazo. Supongamos que enemos una serie de ese ipo con n observaciones. Para predecir el valor n+ de la serie exisen diversas opciones: Modelos naive o ingenuos - Se oorga la misma imporancia (/n) a odas las observaciones a la hora de predecir. De esa forma la previsión vendrá dada por la media de las observaciones. Xˆ n + = Consideremos la serie Combusible, que coniene daos mensuales sobre la producción de gasolina para la auomoción en España. x e Figura 33: Gráfico de secuencia de la serie Combusible

33 Cecilia Esparza Caalán Se raa de una serie que no presena endencia ni esacionalidad, de manera que podemos emplearla para aplicar los disinos méodos que esamos viendo. Veamos el ajuse de la serie Combusible que resula dando la misma imporancia a odas las observaciones disponibles, es decir, ajusando la serie a ravés de su media. Figura 34: Gráfico de secuencia de la serie Combusible con el ajuse efecuado empleando la media de la serie. La previsión del siguiene mes para el que no se dispone de daos con ese méodo será la propia media. - Se da imporancia únicamene al úlimo de los daos de que disponemos, ignorando el reso. X ˆ = n+ X n Para realizar ese ajuse con el programa SPSS debemos crear una nueva variable con el comando Calcular empleando la función Lag(). Para ello seleccionamos el menú Transformar Calcular y a coninuación en la casilla Variable de desino escribimos el nombre de la nueva variable que conendrá la serie ajusada. En la casilla Expresión numérica debemos incluir la variable Lag() que enconramos denro de la agrupación Oras del lisado Grupo de funciones. Finalmene debemos incluir la variable que coniene los valores de nuesra serie como argumeno de la función Lag

34 Cecilia Esparza Caalán Figura 35: Gráfico de secuencia de la serie Combusible con el ajuse efecuado considerando únicamene el dao anerior. Tal y como podemos observar en el gráfico de secuencia, el ajuse de la serie es su sombra, es la misma serie pero reardada en una unidad de periodo, en ese caso un mes. La previsión del siguiene mes para el que no se dispone de daos con ese méodo será el úlimo valor de la serie. Modelos de medias móviles Se basan en considerar únicamene las úlimas k observaciones. De esa manera se da el mismo peso a los úlimos k daos (/k) y cero al reso, mediane un procedimieno de medias móviles. Ese procedimieno no es an exremo como los aneriores, y al susiuir cada dao por una media de los k úlimos la serie se suaviza y se elimina ruido, obeniendo el parón subyacene de la misma. Cuanas más observaciones relevanes (k) omemos al aplicar ese ipo de ajuse más se suavizará la serie. Xˆ k = i= n+ X k n i+ Para obener el ajuse de una serie mediane ese procedimieno empleando el programa SPSS, en primer lugar enemos que seleccionar el menú Transformar Crear serie emporal A coninuación debemos inroducir la variable que

35 Cecilia Esparza Caalán coniene los valores de la serie en la casilla Nuevas variables y en Función seleccionar Media móvil anerior. Al seleccionar esa función se acivará la casilla Ampliud, donde debemos indicar el número de observaciones aneriores que queremos que se engan en cuena para calcular la media móvil anerior. Al ejecuar ese menú SPSS crea una nueva variable con la serie ajusada. Hay que ener en cuena que esa nueva variable no dispone de valores en los k primeros regisros, pueso que en esos casos no exisen k observaciones aneriores para calcular la media. Figura 36: Gráfico de secuencia de la serie Combusible con el ajuse efecuado considerando un modelo de medias móviles aneriores de ampliud 5. La previsión del siguiene mes para el que no se dispone de daos con ese méodo será la media de los úlimos k valores de la serie. Modelos de suavizado exponencial simple Consisen en dar imporancia a odos los daos aneriores, pero concediéndoles diferenes pesos. Los daos más relevanes a la hora de efecuar una previsión son los úlimos de los que se dispone, de forma que ese méodo considera que la imporancia disminuye conforme nos alejamos de ellos. De esa manera surgen los méodos de suavizado exponencial, que susiuyen cada dao de la serie por una media ponderada de las observaciones aneriores, considerando que los pesos de las mismas decaen de forma exponencial conforme ésas se alejan en el iempo

36 Cecilia Esparza Caalán Xˆ ( ) Xˆ n n+ = X n + α α donde 0 α La fórmula del ajuse es recursiva (se alimena de sí misma), de manera que es necesario deerminar la esimación del primer valor de la serie. También hay que esablecer el valor de α (peso), que esablece la diferencia de imporancia que se va a dar a la observación inmediaamene anerior de la serie y a oda la información anerior recogida en el ajuse de la misma. El parámero α puede omas valores enre 0 y, de manera que cuano menor sea α más suavizaremos la serie. Si α = 0 ó α = nos enconramos con los modelos naive. El valor de α que se suele omar es aquel que minimiza una función de pérdida esablecida. Para efecuar el suavizado exponencial simple de una serie con el programa SPSS el primer paso a realizar es seleccionar el menú Analizar Series emporales Suavizado exponencial A coninuación debemos incluir la variable que coniene los daos de la serie en la casilla Variables y maneniendo acivado el modelo simple pinchar sobre el boón parámeros. Al hacerlo aparece un cuadro de diálogo en el que podemos deerminar los valores de los parámeros α y ˆX. En lo que se refiere a ese úlimo, el ajuse del primer valor de la serie, podemos dejar acivada la opción Auomáico de Valores iniciales, en cuyo caso ese valor de parida será la media de la serie, o acivar la opción Personalizado e incluir un valor concreo que creamos más apropiado. A la hora de deerminar el α a emplear ambién exisen dos posibilidades: proponer al programa un valor deerminado del parámero que queremos que uilice, o indicar al programa que realice una búsqueda en rejilla. En ese úlimo caso SPSS deermina el valor de α minimizando el ECM (error cuadráico medio), función de pérdida que emplea el programa, enre odos los valores Iniciar y Parar que se generan empleando el paso indicado en Por. Al ejecuar el menú correspondiene al suavizado exponencial simple, el programa SPSS crea dos nuevas variables llamadas FIT y ERR que corresponden al ajuse efecuado y al error comeido respecivamene. Los resulados generados al efecuar el suavizado de la serie Combusible efecuando una búsqueda en rejilla enre 0,0 y 0,99 por 0,05 (no permiimos los valores exremos 0 y ) y dejando en Auomáica la selección del valor inicial son: Descripción del modelo Nombre del modelo MOD_6 Serie Modelo simple Tendencia Esacionalidad Gasolina Nº de ep (onelada equivalene de peróleo) de gasolina para auomoción producidos en España(Fuene: Miniserio de Indusria Comercio y Turismo) Ninguno Ninguno Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_6-35 -

37 Cecilia Esparza Caalán Esado de suavizado inicial Nivel Gasolina 799,89604 Sumas menores de los errores cuadráicos Serie Gasolina Rango del modelo Sumas de los errores Alpha (Nivel) cuadráicos, ,9, ,02, ,66, ,83, ,59, ,23, ,4, ,87, ,42, ,2 Serie Gasolina Parámeros del suavizado Sumas de los errores Alpha (Nivel) cuadráicos gl error, ,9 20 A coninuación, se muesran los parámeros con las sumas menores de errores cuadráicos. Esos parámeros se uilizan para pronosicar. La abla correspondiene a la Descripción del modelo es un resumen de las caracerísicas del modelo aplicado, en nuesro caso sin endencia ni esacionalidad pueso que se raa de un modelo de suavizado exponencial simple. La abla Esado de suavizado inicial nos muesra el valor de la esimación (ajuse) del primer valor de la serie. En ese caso es la media de la serie, pueso que en Valores iniciales se ha dejado acivada la opción Auomáico. La abla Sumas menores de los errores cuadráicos nos muesra los diez valores más pequeños del ECM enconrados y sus correspondienes α enre odos los indicados en la búsqueda en rejilla. Si desacivamos la casilla Mosrar solo los 0 mejores modelos de la búsqueda en rejilla, ambién obendríamos la siguiene abla con el valor del ECM para odos los posibles valores de α indica

38 Cecilia Esparza Caalán dos en la búsqueda en rejilla, no solo los diez de ellos con valores más pequeños. Búsqueda en rejilla de parámeros de suavizado Serie Gasolina Alpha (Nivel),0000,06000,000,6000,2000,26000,3000,36000,4000,46000,5000,56000,6000,66000,7000,76000,8000,86000,9000,96000 Sumas de los errores cuadráicos , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,42 La abla parámeros de suavizado nos muesra el valor ópimo de α enre odos los examinados, así como el ECM que lleva asociado. Para efecuar la predicción del siguiene mes para el que no disponemos de daos basa con aplicar la fórmula recursiva indicada aneriormene. Uilizando el programa SPSS al efecuar el suavizado exponencial en el boón Guardar debemos indicar el año y el mes hasa el que deseamos realizar pronósicos y obendremos las correspondienes previsiones incluidas en la variable FIT. Al igual que en los modelos ingenuos o en los de medias móviles, en los de suavizado exponencial simple las previsiones son consanes, es decir, se pronosica siempre con el mismo valor sea cual sea el horizone de predicción

39 Cecilia Esparza Caalán Figura 37: Gráfico de secuencia de la serie Combusible con el ajuse efecuado considerando un modelo exponencial simple (serie suavizada) y la previsión a varios meses visa. MODELOS APLICABLES A SERIES NO ESTACIONALES CON TENDENCIA En el caso de series emporales con endencia lineal (creciene o decreciene) pero sin comporamieno esacional, el modelo clásico que más se suele aplicar es el de Hol. Es un modelo de suavizado exponencial doble y, al igual que en el caso de los modelos de suavizado exponencial simple, su fórmula de ajuse es recursiva: a b X ˆ = a + b n+ n siendo: α X + ( α ) ( a b ) α ( 0,) = + n n n n n γ ( an an ) + ( γ ) b γ ( 0,) = n n donde α es la consane de suavizado del nivel y γ la del escalón. La fórmula de previsión de ese modelo es: f n, h = a n + h b n

40 Cecilia Esparza Caalán donde h es el momeno hasa el que queremos predecir. Para aplicar a una serie el méodo de suavizado exponencial doble de Hol empleando el programa SPSS, en primer lugar debemos seleccionar Analizar Series emporales - Suavizado exponencial A coninuación debemos incluir la variable que coniene los daos de la serie en la casilla Variables y, maneniendo acivado el modelo Hol, pinchar sobre el boón Parámeros... Al hacerlo aparece un cuadro de diálogo en el que podemos deerminar los valores de los parámeros α, γ y los valores iniciales y b. En lo que se refiere a esos a0 0 úlimos, podemos dejar acivada la opción Auomáico de Valores iniciales, en cuyo caso esos valores de parida serán deerminados por el SPSS, o acivar la opción Personalizado e incluir valores concreos que creamos más apropiados. Al igual que en el caso del suavizado exponencial simple SPSS nos proporciona dos opciones para deerminar las consanes de suavizado: proporcionar al programa valores concreos o realizar una búsqueda en rejilla para localizar los valores de los coeficienes α y γ que minimicen el ECM. Si nos decanamos por esa úlima opción no conviene esablecer rejillas demasiado finas, porque sino el programa debe examinar un número excesivo de modelos (demasiadas combinaciones de α y γ ). Al ejecuar el menú correspondiene al méodo de Hol, el programa crea dos nuevas variables llamadas FIT y ERR que corresponden al ajuse efecuado y al error comeido por el mismo respecivamene. Consideremos la serie SuavizadoHol, serie con información mensual no esacional y con endencia creciene. Los resulados generados por el SPSS al ajusar esa serie efecuando una búsqueda en rejilla enre 0,0 y 0,99 por 0, ano para deerminar α como para esablecer el valor de γ, y dejando en Auomáica la selección de los valores iniciales son: Descripción del modelo Nombre del modelo Serie MOD_3 Serie Modelo de Hol Tendencia Esacionalidad Lineal Ninguno Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_3 Esado de suavizado inicial Nivel Tendencia Serie 257,04 7,

41 Cecilia Esparza Caalán Sumas menores de los errores cuadráicos Serie Serie Rango del modelo Sumas de Gamma los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) cuadráicos,2000, ,76,3000, ,73,4000, ,38,000, ,47,5000, ,93,000, ,29,6000, ,02,2000, ,20,3000, ,64,4000, ,07 Serie Serie Parámeros del suavizado Sumas de Gamma los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) cuadráicos gl error,2000, ,76 4 A coninuación, se muesran los parámeros con las sumas menores de errores cuadráicos. Esos parámeros se uilizan para pronosicar. Esas ablas de resulados son análogas a las obenidas en el caso del suavizado exponencial simple, con la diferencia de que en lugar de un valor inicial aparecen dos y el resulado nos proporciona dos parámeros de suavizado. Al igual que en el caso de suavizado exponencial simple si desacivamos la casilla Mosrar solo los 0 mejores modelos de la búsqueda en rejilla de la casilla Parámeros obendremos una abla con los valores del ECM para odas las posibles combinaciones de valores de α y γ en función de la rejilla indicada. El boón Guardar es común a odos los análisis de series emporales que realiza el SPSS, y en él podemos elegir enre ajusar la serie (acivando la opción Desde el período de esimación hasa el úlimo caso) o predecir casos hasa la fecha que indiquemos al programa (eligiendo la opción Pronosicar casos hasa:). Por defeco SPSS no pronosica, solo ajusa. Al conrario que en los modelos de suavizado exponencial simple, en el de Hol las previsiones conforman una reca. Represenando en un gráfico de secuencia la serie original, el ajuse y las predicciones logradas mediane el méodo de Hol obenemos:

42 Cecilia Esparza Caalán Figura 38: Gráfico de secuencia de la serie SuavizadoHol con el ajuse efecuado considerando un modelo exponencial doble (serie suavizada) y la previsión a varios meses visa. MODELOS APLICABLES A SERIES CON TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD En el caso de series emporales con endencia lineal (creciene o decreciene) y comporamieno esacional, el modelo clásico que se aplica es el de Hol- Winers. Es una exensión del modelo de Hol, viso en el aparado anerior, que considera esacionalidad. La endencia y la esacionalidad se pueden combinar de diferenes maneras, pero las que se consideran más frecuenemene son la combinación adiiva y la muliplicaiva 6. Igual que en el caso de odos los modelos de suavizado exponencial visos hasa ahora, la fórmula de ajuse del modelo de Hol-Winers es recursiva: - Caso adiivo: a b Xˆ a b n+ = n + n + siendo: S n p α X S ) + ( α ) ( a b ) α ( 0,) n = ( n n p n + n γ ( an an ) + ( γ ) b γ ( 0,) n = n S δ ( X n an ) + ( ) S n p δ ( 0,) = δ 6 Ver el aparado Análisis preliminar

43 Cecilia Esparza Caalán donde Sn p represena al facor esacional para la misma esación pero un año anes, p es el periodo de la serie, α es la consane de suavizado del nivel, γ la del escalón y δ la de la esacionalidad. La fórmula de previsión de ese modelo es: f n, h = ( a + h b ) + S n n n+ h p donde h es el momeno hasa el que queremos predecir. - Caso muliplicaivo: Xˆ a b n+ = ( n + n) S n p a X siendo: n α ) + ( α ) ( an + b ) α ( 0,) n = ( n S n p b γ ( an an ) + ( γ ) b γ ( 0,) n = n S X = δ δ a n ( ) + ( ) S p δ ( 0,) n donde Sn p represena al facor esacional para la misma esación pero un año anes, p es el periodo de la serie, α es la consane de suavizado del nivel, γ la del escalón y δ la de la esacionalidad. La fórmula de previsión de ese modelo es: f n, h = ( a + h b ) S n n n+ h p donde h es el momeno hasa el que queremos predecir. Para aplicar a una serie el méodo de suavizado exponencial de Hol-Winers empleando SPSS, en primer lugar debemos seleccionar el menú Analizar Series emporales Suavizado exponencial. A coninuación enemos que incluir la variable que coniene los daos de la serie en la casilla Variables e indicar el modelo a considerar. Si es muliplicaivo, en el recuadro Modelo seleccionamos Winers, y si es adiivo acivamos la opción Personalizado, y en el boón Personalizar escogemos Componene de endencia lineal y Componene esacional adiivo. Una vez seleccionado el modelo a emplear, pinchamos sobre el boón Parámeros. Al hacerlo aparece un cuadro de diálogo en el que podemos deerminar los valores de los parámeros α, γ, δ y los valores inicia- p les a0, b0 y S0,... S0 (valores iniciales del facor esacional para cada una de las esaciones, periodos, de la serie). En lo que se refiere a esos úlimos, podemos dejar acivada la opción Auomáico de Valores iniciales, en cuyo caso esos valores de parida serán deerminados por el SPSS, o acivar la opción Per

44 Cecilia Esparza Caalán sonalizado e incluir valores concreos que creamos más apropiados para (nivel) y (endencia). En el caso de los S debemos crear en el archivo de daos b0 0 una variable que los conenga. Esa variable debe ener anos valores como facores esacionales engamos en la serie (p). A coninuación debemos inroducir esa variable en la casilla Facores esacionales del cuadro de diálogo principal para indicar al programa que ome esos valores como valores de parida de S. El programa SPSS no nos permie aplicar el modelo de Hol-Winers a una serie para la que no se ha definido una variable periódica (correspondiene a meses, rimesres, cuarimesres ). En esos casos aparece desacivada la opción Winers en el aparado Modelo del cuadro de diálogo del suavizado exponencial. SPSS ampoco nos deja aplicar el modelo de Hol-Winers a una serie cuando no hay, como mínimo, cuaro periodos compleos (cuaro años si los daos son mensuales, cuaro semanas si son diarios, ec.). Al ejecuar el menú correspondiene al méodo de Hol-Winers, ano en el caso adiivo como en el muliplicaivo, el programa crea dos nuevas variables llamadas FIT y ERR que corresponden al ajuse efecuado y al error comeido por el mismo respecivamene. Consideremos la serie Papel, serie con información rimesral sobre producción de papel, esacional y con endencia creciene. Realizando un análisis preliminar de la serie concluimos que no parece exisir dependencia enre variabilidad y nivel, de manera que consideraremos que endencia y esacionalidad se combinan de forma adiiva. Los resulados generados por el SPSS al ajusar esa serie considerando un modelo adiivo y efecuando una búsqueda en rejilla enre 0,0 y 0,99 por 0, ano para deerminar α como para esablecer el valor de γ y δ, y dejando en Auomáica la selección de los valores iniciales, son análogos a los obenidos al ajusar oros modelos de suavizado exponencial: a 0 Descripción del modelo Nombre del modelo Serie Modelo adiivo de Winers Tendencia Esacionalidad Longiud del periodo esacional Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_2 MOD_2 Papel Producción rimesral de papel Lineal Adiivo

45 Cecilia Esparza Caalán Esado de suavizado inicial Índices esacionales Nivel Tendencia Papel 442, , ,248 2, ,228 39,5530 Sumas menores de los errores cuadráicos Serie Papel Rango del modelo Sumas de Gamma Dela los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) (Esación) cuadráicos,2000,0000, ,2,3000,0000, ,28,2000,0000, ,67,3000,0000, ,97,000,0000, ,84,2000,0000, ,56,000,0000, ,64,4000,0000, ,46,3000,0000, ,37,000,0000, ,69 Parámeros del suavizado Serie Papel Sumas de Gamma Dela los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) (Esación) cuadráicos gl error,2000,0000, ,2 43 A coninuación, se muesran los parámeros con las sumas menores de errores cuadráicos. Esos parámeros se uilizan para pronosicar

46 Cecilia Esparza Caalán Figura 39: Gráfico de secuencia de la serie Papel con el ajuse efecuado considerando un modelo de Hol-Winers adiivo y la previsión a un año visa. Consideremos ahora la serie Airline. Tal y como vimos en el aparado de análisis preliminar esa serie es claramene esacional y de endencia creciene. Tano observando su gráfico de secuencia como su correspondiene gráfico de dispersión por nivel, queda basane claro que la esacionalidad y la endencia se combinan de forma muliplicaiva. Los resulados generados por el SPSS al ajusar esa serie considerando un modelo adiivo y efecuando una búsqueda en rejilla enre 0,0 y 0,99 por 0, ano para deerminar α como para esablecer el valor de γ y δ, y dejando en Auomáica la selección de los valores iniciales, son: Descripción del modelo Nombre del modelo Serie Modelo muliplicaivo de Winers Longiud del periodo esacional Tendencia Esacionalidad MOD_29 NumPasajeros Número de pasajeros Lineal Muliplicaivo 2 Aplicando las especificaciones del modelo de MOD_

47 Cecilia Esparza Caalán Esado de suavizado inicial Índices esacionales Nivel Tendencia Num Pasajeros 9, , , , ,268, ,3503 2, , ,69 80, ,8069 0, ,64773 Sumas menores de los errores cuadráicos Serie NumPasajeros Rango del modelo Sumas de Gamma Dela los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) (Esación) cuadráicos,8000,0000, ,54550,7000,0000, ,74848,9000,0000, ,8922,8000,0000, ,96064,6000,0000, ,46507,9000,0000, ,58962,9000,0000, ,28523,7000,0000, ,0486,9000,0000, ,47493,8000,0000, ,567 Serie NumPasajeros Parámeros del suavizado Sumas de Gamma Dela los errores Alpha (Nivel) (Tendencia) (Esación) cuadráicos gl error,8000,0000, , A coninuación, se muesran los parámeros con las sumas menores de errores cuadráicos. Esos parámeros se uilizan para pronosicar

48 Cecilia Esparza Caalán Figura 40: Gráfico de secuencia de la serie Airline con el ajuse efecuado considerando un modelo de Hol-Winers muliplicaivo y la previsión a un año visa. Las ablas de resulados obenidas en ambos casos son análogas a las resulanes en el caso de suavizado exponencial doble, con la diferencia de que, además de los valores iniciales de nivel y endencia, aparecen p (periodo de la serie) valores iniciales para la componene esacional. Además en ese caso obenemos el valor de res parámeros de suavizado. 4.- MODELOS ARIMA Al esudiar los méodos clásicos de análisis de series emporales no hemos enido en cuena de dónde salen los daos de las mismas, cuál es el mecanismo que las genera. A la hora de esudiar una serie emporal empleando los modelos ARIMA suponemos que la serie puede esar generada por un proceso esocásico. Un proceso esocásico X Ζ se define como una familia de variables aleaorias 7 que corresponden a momenos sucesivos en el iempo. De esa forma una 7 Una variable es aleaoria si oma diferenes valores como resulado de un experimeno aleaorio. Se puede pensar en una variable aleaoria como un valor o una magniud que cambia de una presenación a ora, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleaoria son los valores numéricos correspondienes a cada posible resulado de un experimeno aleaorio (realización)