Examen de Estadística Ingeniería de Telecomunicación

Transcripción

1 Examen de Estadística Ingeniería de Telecomunicación 8 de Mayo de 3 Cuestiones solucion h C. (.5p) El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 5 personas de las que un 6 % son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer, y si sale cruz, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo hablan inglés, determina, justificando la respuesta: a) La probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. b) Si la persona seleccionada no habla inglés, cuál es la probabilidad que sea mujer? Solución: Denotemos: M : seleccionar una mujer. H : seleccionar un hombre. I : saber inglés. a) P (I) P (M)P (I M) + P (H)P (I H) b) P (M I c ) P (M)P (I c M) P (M)P (I c M) + P (H)P (I c H) C. (p) Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Razone su respuesta. a) El valor de mu en el siguiente código de MATLAB será.65 aproximadamente. n ; u rand(n,); x.*(u<.5) +.5.*(.5<u & u<.45) +.*(u>.45); mu sum(x)/n; b) Para que f(t) ke t +.75e t, t >, sea función de densidad ha de suceder que k.5. c) Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad conjunta dada por: ( x) f(x, y), < x <, < y < x, x y sea Z Y X. Entonces, la función de densidad de Z viene dada por: f Z (z ) ln( z ) ln(z ), z (, )

2 Solución: a) Veremos que esta afirmación es VERDADERA. Este código aproxima la media de X, una v.a. discreta cuyo rango de posibles valores es R X {,.5, }, y cuya función de probabilidad viene dada por: p X ().5, p X (.5).45.5., y p X () Por lo tanto, su media es: b) Veremos que esta afirmación es VERDADERA. E[X] Para que f(t) sea función de densidad es necesario que se cumplan las siguientes condiciones: ) f(t) t >, ) f(t)dt. De la primera condición se deduce que: ke t +.75e t t >, k 3 8 et t >. Por lo tanto: k 3 8. De la segunda condición se deduce que: k e y dy +.75 e y dy k Nótese que e y es la densidad de una Exponencial(λ ) y e y es la densidad de una Exponencial(λ ), por lo que al integrarlas en (, ) nos dará. Por lo tanto, se concluye que k c) Veremos que esta afirmación es FALSA. Buscaremos primero la densidad del vector (Z, Z ) (Y X, Y ). Teniendo en cuenta que: x z z y z, la matriz jacobiana de (x, y) con respecto a (z, z ) viene dada por ( ) y su determinante es -. Entonces, f (Z,Z )(z, z ) f (X,Y ) (x(z, z ), y(z, z )), < x(z, z ) <, < y(z, z ) < x(z, z ), lo que significa que: f (Z,Z )(z, z ) f (X,Y ) (z z, z ) ( z + z ) z z, < z z <, < z < z z. En la Figura se muestra el recinto del plano donde (Z, Z ) toma valores.

3 z - z Figura : Recinto de definición del vector (Z, Z ) Ahora debemos integrar f (Z,Z ) con respecto a z para obtener la densidad marginal de Z. En concreto se tiene que: {.5+.5z ( z+z) z f Z (z ) z dz u z u du ln( z ) z, z (, ).5+.5z z ( z+z) z z dz u z u du ln(z ) + z, z [, ). C3. (.5p) En un quiosco de periódicos, se supone que el número de ventas diarias se distribuye normalmente con media µ 3 y varianza σ. Determine: a) La probabilidad de que, en un día, se vendan entre 3 y 3 periódicos. b) El máximo número de periódicos que se venden en el 9 % de las ocasiones. c) Supongamos que en una ciudad hay quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas características. Determine la probabilidad de que más de dos quioscos vendan entre 3 y 3 periódicos cada uno. Solución: a) X Número de ventas diarias de periódicos, donde X N ( µ 3, σ ). La probabilidad de que en un día se vendan entre 3 y 3 periódicos es: ( ) 3 3 P (3 X 3) P Z 3 3 P (. Z.7) P (Z.7) P (Z.) P (Z.7) ( P (Z.)).76, donde, tipificando X, se obtiene que Z N (, ). 3

4 b) Nos piden el máximo número de periódicos que se venden en el 9 % de las ocasiones, es decir, el valor de a tal que P (X a).9. Tipificando X, se obtiene que: ( X µ P a 3 ).9, σ donde Z X µ σ N (, ). Sea k a 3, P (Z k).9 Φ (k).9 k Φ (.9) k.8. Deshaciendo el cambio, a 3.8 a 3.8 periódicos. c) Sabemos que P (3 X 3).766. Por tanto para i,..., ; consideremos las siguientes v.a.: { si el kiosco i vende entre 3 y 3 periódicos, X i en otro caso, que sabemos son independientes e idénticamente distribuidas según una Bernoulli (p.76). Por tanto, Y X i Bin (n, p.76). Y la probabilidad pedida es: i P (Y > ) P (Y ) ( ) ( ) ( )

5 Examen de Estadística Grado en Ingeniería de Telecomunicación 8 de Mayo de 3 solucion Problemas h 3m P. (.5p) Sea (X, X ) un vector aleatorio con la siguiente función de densidad: f X,X (x, x ) { cx x x x en otro caso. a) Cuál es el valor de c para que f sea función de densidad? b) Son X y X variables aleatorias independientes? c) Calcular P (X X ). d) Calcular P (X X ). Solución: a) En la Figura representamos el área S donde: x x. x x x x Figura : Recinto de (X, X ) 5

6 Para comprobar cuál es el valor del parámetro c hacemos: Por lo tanto c 4. x f X,X (x, x )dx dx x cx x dx dx c x ( x 4 )dx c 6 x3 c 4 x7 c 3 c 7 4c b) Calulamos las distribuciones marginales: en primer lugar la distribución marginal de X, y para ello integramos con respecto a X. Se puede ver claramente de la definición del soporte de la distribución que X [, ], y que X va a tomar valores entre X y. Por lo tanto, se tiene que: f X (x ) x f X,X (x, x )dx x 4 x x dx, 8 x ( x 4 ), si x [, ] y en otro caso. Para calcular la distribución marginal de X, tenemos que integrar respecto de X. Por la definición del soporte de la distribución sucede que X [, ] y X [ X, X ]. Integrando entre estos ĺımites obtenemos: f X (x ) x 7 x 5, x f X,X (x, x )dx x x 4 x x dx, si x [, ] y en otro caso. Como f X,X (x, x ) f X (x )f X (x ), podemos concluir que las variables no son independientes. c) Para calcular la probabilidad pedida; utilizamos la definición de probabilidad condicionada: P (X X ) P (X, X ) P (X ) Para calcular la expresión del numerador se tienen que tener en cuenta las tres restricciones del problema: X, X y X X X X, por lo tanto el recinto donde tenemos que integrar la densidad conjunta de (X, X ) viene dado por: Integrando dentro de este recinto, se obtiene: P (X, X / ) / / x f X,X (x, x )dx dx 4 x 3 x3 x 5 7 x 7 6 dx / x dx ( ) 9

7 x x x.77 x Figura 3: Recinto dado por las restricciones: X, X y X X Por otro lado, para calcular el denominador haríamos: Finalmente se obtiene que: P (X / ) f X (x )dx / 7 x 5 dx x 7 / ( ) 7 P (X X ) P (X, X ) P (X ) ( )9 ( )7 d) Para calcular esta probabilidad simplemente tenemos en cuenta que para que X X entonces X sólo puede tomar valores en el intervalo [, ] (puesto que X ). Por otro lado, como X X y X X, entonces X tomará valores en [X, X ]. Por lo tanto, la probabilidad pedida es: P (X X ) x x f X,X (x, x )dx dx 8 x (x x 4 )dx 8 x [ 5 ] 7 x 3 4 x x dx dx 7

8 P. (.5p) Consideremos el proceso estocástico X(t) At + B, donde A y B son variables aleatorias independientes; A toma valores 3 y 4 con probabilidades.5 y.75, respectivamente, y B es una variable aleatoria con función de probabilidad: Se pide: P (B ) P (B ).5 a) Hallar la función de probabilidad de X(), su esperanza y su varianza. b) Obtener la media y la varianza del proceso X(t). c) Calcular la función de autocorrelación para X(t). d) Es el proceso débilmente estacionario? Solución: a) Para calcular la función de probabilidad de X() solamente tenemos que reemplazar t en X(t), con lo que tenemos que X() A + B. En este caso, los valores posibles que puede tomar X() son 4 (cuando A3 y B), 5 (cuando A3 y B o A4 y B), y 6 (cuando A4 y B). Por lo tanto, la función de probabilidad de X() viene dada por: P (X() k).5 si k 4,.5 si k 5,.375 si k 6, en el resto. La esperanza del proceso evaluado en t es E(X()) E(A) + E(B) ( ) + (.5 +.5) 5.5. Por otro lado, tenemos que V ar(x()) es: V ar(x()) V ar(a) + V ar(b). Puesto que E(A) ; E(A ) y E(B) ; E(B ) , tenemos que V ar(a) y V ar(b) Entonces: b) Ahora calculamos la media del proceso X(t): V ar(x()) E(X(t)) E(A)t + E(B) 3.75t +.5. Por otro lado, la varianza del proceso X(t) viene dada por: V ar(x(t)) V ar(a)t + V ar(b) + tcov(ab).875t t.875t +.5. c) Ahora, para calcular la función de autocorrelación, simplemente aplicamos la definición: R X (t, t + τ) E(X(t)X(t + τ)) E(A )t(t + τ) + E(B ) + E(AB)t + E(AB)(t + τ) 4.5 t(t + τ) E(A)E(B)(t + τ) 4.5 t(t + τ) (t + τ). 8

9 d) Puesto que la media y la autocorrelación del proceso X(t) dependen de t, el proceso no es débilmente estacionario. 9