Es un sistema de dos vectores deslizables de la misma magnitud que están en distintas rectas sostén con la misma dirección pero sentido contrario

Transcripción

1 MECANICA TEORÍA Moento Entonces Sistea Par o Cupla de Vectores Es un sistea de dos vectores deslizables de la isa agnitud que están en distintas rectas sostén con la isa dirección pero sentido contrario Por principio de superposición: El oento de la cupla es independiente del punto P elegido. Teorea de Varignon Para un sistea de vectores concurrentes deslizantes, el oento resultante es igual a la sua de los oentos de cada uno de los vectores que integran el sistea, cualquiera fuera el punto elegido coo centro de oento.

2 El vector oento no se conserva en general. Sistea equivalente Invariante vectorial: El vector R asociado a un punto no cabia en relación con sus coponentes. Invariante escalar: Si tengo dos centros de reducción: El producto escalar entre R y M debe ser constante no iporta el punto elegido: Eje central Se define eje central de un sistea de vectores deslizantes a aquella línea recta del espacio en la cual cualquier punto de ella elegido coo centro de reducción produce un vector oento paralelo al invariante vectorial. Ese vector oento es de ínio ódulo respecto de cualquier otro punto del espacio.

3 El versor noral Cosenos directores del eje central Cineática de la partícula Velocidad Aceleración

4 El recorrido: Coordenadas intrínsecas (Triedro de Frenet) Versor tangente Versor noral Donde C es el centro de la circunferencia osculatriz Versor binoral No se habla de posición pero sí del vector velocidad S es la longitud del caino y

5 Coordenadas polares Versor radial Versor transversal Las derivadas de los versores son: Coordenadas cilíndricas Se antienen el versor radial (ahora e ρ ) y el transversal, los cuales son siepre paralelos al plano xy, y aparece el versor z que no cabia de dirección. Ρ es la distancia al eje z. Entonces: Cineática relativa Moverse sin girar

6 Para ternas en traslación y rotación Regla de derivación de Coriolis o teorea de Coriolis Cantidad de oviiento Ipulso Priera ecuación cardinal de la dináica: Teorea del trabajo y la energía cinética

7 Definios Entonces El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía ecánica. Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es 0, entonces la energía ecánica del sistea se antiene constante. Moento cinético Segunda ecuación cardinal de la dináica Fuerza conservativa Es aquella fuerza que circulándola por un caino cerrado cualquiera da trabajo 0. Energía potencial gravitatoria

8 Resorte Masa Total Centro de asa La suatoria de las n ecuaciones: Priera ecuación cardinal de los sisteas de partículas

9 El ipulso de la resultante Vector oento cinético Segunda ecuación cardinal de los sisteas de partículas Choque entre partículas La cantidad de oviiento total se conserva siepre y cuando durante la colisión no existan ipulsos de fuerzas exteriores. Coeficiente de restitución Cuando e=1 el choque es elástico perfecto; cuando 0 < e < 1 el choque es sei-elástico; si e=0 el choque es plástico. En todos los choques la energía cinética disinuye salvo que sea elástico perfecto.

10 Teorea de Moento Cinético Total El vector oento cinético total de un sistea de partículas para un observador fijo es igual al vector oento cinético que tendría una partícula de asa igual a la asa del sistea y velocidad v c posicionado en el centro de asa del sistea, ás el vector oento cinético del sistea respecto de un observador óvil posicionado en r=r c en traslación respecto al priero. Teorea de König o de la Energía Cinética La energía cinética de un sistea de partículas según un observador fijo es igual a la energía cinética de una partícula de asa equivalente a la del sistea oviéndose con velocidad v c ás la energía cinética resultante según un observador en traslación respecto del priero y ubicado en el centro de asa del sistea.

11 Cineática del Rígido Los giros finitos sobre ejes concurrentes no son conutativos Los giros infinitesiales sobre ejes concurrentes sí son conutativos

12 Daos dos giros: 1º ) Se desprecia el diferencial de orden superior: º ) Se desprecia el diferencial de orden superior Velocidad para giros infinitesiales ejes concurrentes: Definios: Cuplas de rotaciones

13 Son dos vectores ω de igual agnitud y dirección pero de sentido contrario. - El vector velocidad es independiente de la posición P - Todos los vectores tienen la isa velocidad - Resulta una traslacion con velocidad igual al oento de la cupla Teorea de Euler (de las rotaciones) El oviiento ás general de un cuerpo rígido con un punto fijo es equivalente a un solo oviiento de rotación en torno a un eje pasante por ese punto fijo. Es decir, se puede pasar de la posición inicial a la final por un solo giro a través de un eje pasante por el punto fijo. Teorea de Charles El oviiento ás general de un cuerpo rígido es equivalente a la traslación de uno cualquiera de sus puntos (llaado punto base) ás un giro en torno del punto base ya ubicado en la posición final. La traslación a aplicar dependerá del punto base elegido pero el giro será único en todos los casos. La agnitud de la rotación no depende del punto base elegido. Moviiento plano Todos los puntos del rígido realizan trayectorias planas, es decir antienen sus distancias respecto a un plano director.

14 Perfil de velocidades Para encontrar el CIR se traza una perpendicular a la velocidad de dos puntos y donde se intersecan es el CIR. El CIR se deterina: Se debe cuplir que: Si el cuerpo se encuentra en traslación sin rotación, el CIR se encuentra en el infinito. Teorea del seno Matriz de Inercia

15 Para un cuerpo rígido, la expresión de la cantidad de oviiento p p vd. De la isa anera, la priera ecuación canónica resulta: F dp dt n i 1 v i i es reeplazada por La expresión de la segunda ecuación canónica en los sisteas de partículas dependerá del punto respecto del cual se toe el oento de las fuerzas exteriores y de la cantidad de oviiento, a saber: e dh O e dh c respecto del origen inercial: M O ; respecto del baricentro: M c ; dt dt e dh P respecto de un punto P acelerado: M P ρ c ea P dt Identidad algebraica: Desarrollando esta expresión y agrupando según los versores, las coponentes del vector oento angular resultan: H Ox (y z )d ω x xyd ω y xzd ω z H Oy yxd ω x x z )d ω y yzd ω z H Oz zxd ω x zyd Obsérvese que los nueve núeros que aparecen en estas tres expresiones dependen de las características geoétricas y de la distribución de la asa en el cuerpo rígido. Asiiso, están relacionados con la posición del origen y la orientación de la terna, pero son independientes de la velocidad angular. Se denoinan Moentos de Inercia a los núeros J xx (y z )d J yy Obsérvese que las expresiones entre paréntesis son las distancias a los respectivos ejes x, y, z. Por su definición, los oentos de inercia nunca pueden asuir valores negativos. Los otros seis núeros, denoinados Productos de Inercia o Moentos Centrífugos, son iguales dos a dos: (x z ω y )d (x y J zz )d ω (x z y )d

16 J xyd yxd ; J xz xzd zxd J zx xy J yx J yzd zyd yz J zy Los productos de inercia pueden asuir valores positivos, negativos o nulos. La unidad de edida de los oentos y productos de inercia es kg.. Si la distribución de asa en el cuerpo es hoogénea y es su densidad (asa por unidad de voluen), el diferencial de asa puede escribirse d =.dv, donde dv es el diferencial de voluen, con lo que las características de inercia en cuanto a distribución de asa coinciden con las geoétricas. En fora atricial: Teorea de Steiner El oento de inercia de un cuerpo rígido respecto de cualquier eje del espacio es igual a su oento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior pero pasante por su baricentro ás el producto de ultiplicar la asa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre abos ejes encionados.

17 Corolario del teorea de Steiner Sirve para calcular el oento de inercia de un eje conocido que no es por centro Resto las dos ecuaciones: Moento centrífugo El oento centrífugo de cualquier cuerpo rígido de una terna no baricéntrica resulta ser igual al oento centrífugo paralelo a los ejes anteriores y que se cortan en su baricentro enos el producto de las coordenadas del centro de asa por la asa total del cuerpo. Energía Cinética Por teorea de König

18 Para el oviiento plano Ecuaciones de Euler Elijo los ejes principales de inercia entonces la atriz de inercia e va a quedar atriz diagonal. Pongo una terna x 1 y 1 z 1 que gira con. No va a haber velocidad relativa del cuerpo respecto a la terna. Teneos constantes Por teorea de Coriolis: Condiciones de validez La terna principal de inercia debe toarse sobre un punto fijo o sobre el baricentro La terna principal de inercia girará con la isa velocidad instantánea que lo hace el cuerpo rígido