Superficies. Primera Forma Fundamental

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1 Tema Superficies. Primera Forma Fundamental Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso

2 Tema. Superficies. Primera Forma Fundamental 1. Curvas sobre superficies Dada una superficie regular de ecuación vectorial r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)), con u, v) D R 1) cualquier curva contenida en dicha superficie debe satisfacer la ecuación 1) y puede venir dada de alguno de los siguientes modos: a) Si expresamos los parámetros u y v como funciones de un tercer parámetro t, esto es, u = ut) y v = vt), sustituyendo en 1), tenemos r t) = r ut), vt)) = x ut), vt)), y ut), vt)), z ut), vt))) cuyo vector tangente es d r dt = du r u dt + dv r v dt En general, puesto que el vector tangente a una curva r viene dado por la derivada de dicho vector r respecto a cualquier parámetro en el que venga definida, usaremos la expresión d r = r u du + r v dv ) que representa las coordenadas cartesianas de dicho vector. Obsérvese que r u y r v son elementos de la superficie, mientras que du y dv son elementos de la curva. De hecho, nótese en ) que el vector tangente viene expresado como combinación lineal de r u y r v, por lo que diremos que du, dv) son las coordenadas paramétricas de dicho vector respecto de la base { r u, r v } y, en consecuencia, du, dv) es la dirección del vector tangente a la curva respecto de la base anterior.

3 b) Si uno de los dos parámetros viene expresado como función del otro, por ejemplo, u = uv), entonces, denotando por u = du dv, se cumple que du = u dv, por lo que sustituyendo en ), tenemos que d r = r u du + r v dv = r u u + r v ) dv y du, dv) = u, 1)dv es decir, en coordenadas cartesianas, la dirección del vector tangente es r u u + r v, mientras que en paramétricas la dirección es u, 1). El razonamiento es análogo si expresamos v = vu). c) Cuando los parámetros u y v están relacionados mediante una función implícita fu, v) = 0. En este caso, si f v 0, aplicando el Teorema de la Función Implícita, existe v = vu) aunque nosotros no seamos capaces de despejar v como función de u) y además, dv = f u du. En tal caso, sustituyendo en ), el vector tangente en f v cartesianas resulta ser d r = r u du + r v dv = r u du + r v f ) u du = [ r f v u + r v f )] u du f v mientras que en paramétricas, du, dv) = 1, f ) u du f v con lo que su dirección es 1, f ) u f f v, f u) v 1.1. Algunos tipos de curvas sobre superficies Para finalizar esta sección de curvas sobre superficies, vamos a ver algunos tipos importantes de curvas. Sea S una superficie regular de ecuaciones paramétricas r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)), con u, v) D R 3

4 1) Curvas coordenadas. a) Fijado un valor cualquiera u = u 0, definimos la curva r u0 v) = r u 0, v) = xu 0, v), yu 0, v), zu 0, v)) Su vector tangente, en este caso, es d r = r u du + r v dv = r v dv ya que du = 0, puesto que u es constante. Por tanto, su dirección en cartesianas es r v, mientras que en paramétricas, du, dv) = 0, dv) 0, 1) por lo que la dirección es 0, 1). b) Fijado un valor cualquiera v = v 0, definimos la curva r v0 u) = r u, v 0 ) = xu, v 0 ), yu, v 0 ), zu, v 0 )) Su vector tangente, en este caso, es d r = r u du + r v dv = r u du ya que dv = 0, puesto que v es constante. Por tanto, su dirección en cartesianas es r u, mientras que en paramétricas, du, dv) = du, 0) 1, 0) por lo que en este caso, la dirección es 1, 0). Definición 1.1 A las curvas r u0 v) y r v0 u), con u 0, v 0 ) D R se les llaman curvas o líneas coordenadas. Obsérvese que por cada punto P de la superficie pasa una única curva coordenada del tipo r u0 v) y una única curva coordenada del tipo r v0 u). En efecto, dado un punto P de la superficie, existe un único par u 0, v 0 ) D R tal que r u 0, v 0 ) = P. Por tanto, las únicas curvas coordenadas que pasan por P son r u0 v) y r v0 u). Al par u 0, v 0 ) se le conoce con el nombre de coordenadas curvilíneas de P. 4

5 ) Curvas ortogonales. Dos curvas r 1 y r se dicen ortogonales en un punto, si sus vectores tangentes por dicho punto son perpendiculares, es decir, si r 1 r = 0 Sean r 1 y r dos curvas contenidas en la superficie r u, v). Los vectores tangentes a cada curva vienen dados por d r 1 = r u du 1 + r v dv 1 d r = r u du + r v dv Para que dichos vectores sean perpendiculares, se debe cumplir que d r 1 d r = 0 3) Curvas de nivel. Se definen las curvas de nivel como las ecuaciones de la forma zu, v) = C, siendo C una constante. Para cada constante C obtenemos una curva de nivel diferente. 4) Curvas de máxima pendiente. Las curvas de máxima pendiente en una superficie S vienen dadas por la familia de las curvas ortogonales a las curvas de nivel.. Primera Forma Fundamental. Aplicaciones Dada una superficie regular S, de ecuación r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)), con u, v) D R recordemos que d r = r u du + r v dv Definición.1 Se define la Primera Forma Fundamental como I = d r d r = r u r u du + r u r v dudv + r v r v dv = Edu + F dudv + Gdv 5

6 donde denotamos por E = r u r u F = r u r v G = r v r v Obsérvese que la Primera Forma Fundamental podemos expresarla en notación matricial como I = d r d ) r = du dv E F du F G dv.1. Aplicaciones de la Primera Forma Fundamental La Primera Forma Fundamental es muy útil para el cálculo de longitudes de arco de curva o ángulo entre dos curvas sobre una superficie, así como para calcular el área de un trozo de superficie. 1) Longitud de un arco de curva. Dada una curva r contenida en una superficie r u, v), recuérdese que si denotamos por s al parámetro longitud de arco, se tiene que ds = d r d r donde d r = r u du + r v dv. Así que la longitud de arco viene dada por s = λ1 λ 0 Edu + F dudv + Gdv ) Ángulo entre dos curvas. Sean r 1 y r dos curvas sobre una superficie. El ángulo α que forman ambas curvas es el que forman sus vectores tangentes, d r 1 y d r, donde d r 1 = r u du 1 + r v dv 1 d r = r u du + r v dv Recuérdese que d r 1 d r = d r 1 d r cos α, de donde deducimos que cos α = d r 1 d r d r 1 d r 6

7 Nótese asimismo que d r 1 d r = r u du 1 + r v dv 1 ) r u du + r v dv ) = r u r u du 1 du + r u r v du 1 dv + du dv 1 ) + r v r v dv 1 dv = Edu 1 du + F du 1 dv + du dv 1 ) + Gdv 1 dv ) = du 1 dv 1 E F du F G dv Análogamente, podemos comprobar que d r 1 = Edu 1 + F du 1 dv 1 + Gdv 1 d r = Edu + F du dv + Gdv Por tanto, cos α = De aquí se deduce el siguiente resultado. ) du 1 dv 1 E F F G d r 1 r du dv Corolario. Sea S una superficie dada por r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)) y denotemos por E, F, G a los coeficientes de la Primera Forma Fundamental. Entonces dos curvas, r 1 y r sobre S son ortogonales si y sólo si ) du 1 dv 1 E F du = 0 F G dv Caso particular: Ángulo que forman las curvas coordenadas. Supongamos que r 1 = r u0 v 1 ) y r = r v0 u ). En este caso, d r 1 = r v dv 1, du 1 = 0 por ser u = u 0 ) d r = r u du, dv = 0 por ser v = v 0 ) Luego, las coordenadas paramétricas de r 1 y r son du 1, dv 1 ) = 0, dv 1 ) 0, 1) y du, dv ) = du, 0) 1, 0), respectivamente. Por tanto, ) 0 1 E F 1 F G 0 cos α = d r 1 d = r 7 F d r 1 d r

8 De aquí deducimos el siguiente resultado. Corolario.3 Sea S una superficie regular dada por r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)) y denotemos por E, F, G a los coeficientes de la Primera Forma Fundamental. Entonces dos curvas coordenadas son ortogonales si y sólo si F = 0. 3) Área de un trozo de superficie. Sea S una superficie regular de ecuación r u, v) = xu, v), yu, v), zu, v)), con u, v) D R, cuyos coeficientes de la Primera Forma Fundamental son E, F, G. Sabemos que AS) = r u r v dudv Pero, r u r v = r u r v ) r u r v ) = r u r u ) r v r v ) r u r v ) = EG F Por tanto, AS) = EG F dudv D D Ejemplo.4 Sea S una superficie cuyos coeficientes de la Primera Forma Fundamental son E = v, F = 0 y G = u. Sea r 1 una curva contenida en S dada por la relación uv = λ, siendo λ una constante. Hallar la familia de curvas contenidas en S y ortogonales a r 1. Resolución. La curva r 1 fu, v) = uv λ. Así que derivando, tenemos que sobre S viene dada por la relación fu, v) = 0, donde f f du + u v dv = 0 v du + u dv = 0 du = u v dv con lo que la dirección en paramétricas de su vector tangente en cada punto es u ) v dv, dv u ) v, 1 u, v). Sea r una curva ortogonal a r 1 y denotemos por du, dv) a la dirección del vector tangente a r en paramétricas. Como conocemos los coeficientes de la Primera Forma Fundamental, para que r y r 1 sean ortogonales, debe cumplirse que u ) v E F du = 0 3) F G dv 8

9 Operando en 3), tenemos que ) u v v 0 0 u du dv = 0 uv du + u vdv = 0 vdu + udv = 0 du u = dv v ln u = ln v + ln C u = Cv Luego, la familia de curvas ortogonales a uv = λ es u v = C, con C R. Ejemplo.5 En el paraboloide hiperbólico, expresado mediante la ecuación vectorial r u, v) = u, v, uv), hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas v = λ, λ R. Resolución. En este problema, no nos dan los coeficientes de la Primera Forma Fundamental, pero a cambio, sí nos dan la curva parametrizada. Así que vamos a calcular dichos coeficientes: r u = 1, 0, v), r v = 0, 1, u) Luego, E = r u r u = 1 + v, F = r u r v = uv, G = r v r v = 1 + u. La curva r 1 viene dada por la ecuación fu, v) = v λ = 0. Así que derivando, tenemos que Luego, el vector tangente a r 1 f f du + dv = 0 0 du + 1 dv = 0 dv = 0 u v en cada punto tiene coordenadas paramétricas du, dv) = du, 0) 1, 0). Por consiguiente, si denotamos por r a una curva ortogonal a r 1, y por du, dv) a la dirección en paramétricas del vector tangente a r en cada 9

10 punto, se debe cumplir que ) 1 0 E F du F G dv = ) 1 + v uv uv 1 + u du dv = v )du + uvdv = 0 du u = v 1 + v dv ln u = 1 ln1 + v ) + ln C ln u = ln 1 + v ) 1/ + ln C u = C 1 + v Por tanto, la familia de curvas ortogonales está formada por todas las curvas del tipo C u =, con C R. 1 + v Ejemplo.6 Dado el cono r u, v) = v cos u, v sin u, v) hallar las curvas de máxima pendiente. Resolución. Las curvas de máxima pendiente son las trayectorias ortogonales a las curvas de nivel zu, v) = C, con C R. Como zu, v) = v, nuestro problema se reduce a determinar la familia de curvas ortogonales a r 1 : {v = C}. Calculamos los coeficientes de la Primera Forma Fundamental: r u = v sin u, v cos u, 0), r v = cos u, sin u, 1) Luego, E = r u r u = v sin u + 4v cos u F = r u r v = 3v sin u cos u G = r v r v = cos u + 4 sin u + 1 Como r 1 viene definida por la relación fu, v) = v C = 0 entonces derivando llegamos a f f du + dv = 0 0 du + 1 dv = 0 u v 10

11 con lo que el vector tangente a r 1 tiene dirección du, dv) = du, 0) 1, 0). Así que si denotamos por du, dv) a la dirección de las trayectorias ortogonales a r 1, se verifica que ) 1 0 v sin u + 4v cos u 3v sin u cos u du = 0 3v sin u cos u cos u + 4 sin u + 1 dv Operando, nos queda v sin u + 4v cos u)du + 3v sin u cos u)dv = 0, ecuación de variables separables que resolvemos: sin u + 4 cos u du = dv 3 sin u cos u v dv 1 3 sin u cos u du cos u du = dv sin u v 1 3 ln cos u + 4 ln sin u = ln v + ln C 3 ) sin 4 1/3 u ln = ln C cos u v ) sin 4 1/3 u = C cos u v Luego, las curvas de máxima pendiente en S son las dadas por la relación ) sin 4 1/3 u = C, con C R. cos u v Ejemplo.7 Hallar las curvas contenidas en el cilindro de ecuación vectorial r u, v) = cos u, sin u, v) que forman un ángulo constante α con las generatrices de éste. Resolución. Calculamos los coeficientes de la Primera Forma Fundamental: r u = sin u, cos u, 0) r v = 0, 0, 1) E = r u r u = sin u + cos u = 1; F = r u r v = 0; G = r v r v = 1. Las generatrices del cilindro son las rectas del tipo r 1 : {fu, v) = C}, siendo fu, v) = u. Así que derivando, f f du + dv = 0 1 du + 0 dv = 0 du = 0. Por tanto, el u v vector tangente a r 1 tiene dirección du, dv) = 0, dv) 0, 1) en paramétricas. Sea r una curva sobre S y denotemos por du, dv) a la dirección de su vector tangente en paramétricas. Para que las curvas r 1 y r formen un ángulo α en el punto de corte, sus 11

12 respectivos vectores tangentes han de formar ese mismo ángulo α y, por tanto, se debe cumplir la ecuación ) 0 1 E F du F G dv cos α = d r 1 d 4) r Tenemos que d r 1 = E 0 + F G 1 = G = 1 Luego, sustituyendo en 4), nos queda d r = Edu + F dudv + Gdv = du + dv cos α = dv dv cos α = du + dv Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos du + dv cos α du + dv ) = dv cos α du = 1 cos α) dv cos α du = sin α dv du = tan α dv du = ± tan α dv y finalmente, integrando, deducimos que u = ± v tan α + K 1