RECTAS EN EL PLANO FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

Transcripción

1 RECTS EN EL PLNO Una recta queda determinada cuando se conoce un vector que marca la dirección de la recta, denominado vector director de la recta, un punto. Cuando no nos dan un vector director nos tiene que dar dos puntos a partir de éstos, se genera un vector director se toma uno de los puntos para generar la epresión matemática de la recta. nalíticamente, la ecuación de una recta representa una identidad, es decir, refleja si un punto pertenece o no a esa recta. X Teniendo en cuenta que los puntos (punto definido en la recta) X (punto genérico de la recta) el vector director de la recta ( u) vienen dados por: a u u = (, u ) = (a, a ) X = (, ) la ecuación analítica de la recta se puede definir de las siguientes formas. FORMS DE EXPRESR L ECUCIÓN DE UN RECT ECUCIÓN VECTORIL: En esta ecuación se observa la dependencia lineal entre dos vectores de la recta, el formado entre el punto el punto genérico X (cualquiera de la recta) el vector director u. X = λ u (, ) = (a, a ) + λ(, u ) ECUCIÓN PRMÉTRIC: Como su nombre indica desglosamos cada componente del plano en función del parámetro definido. Este parámetro es único, es decir, tiene que ser el mismo para las dos componentes, e. = a + λ = a + λu ECUCIÓN CONTINU: Se despeja de las dos ecuaciones el parámetro se igualan, quedando a = a u DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS 1

2 ECUCIÓN GENERL o IMPLÍCIT: Operando en la ecuación continua llegamos a la ecuación general ( a )u = ( a ) ; u a u = a u + (a a u ) = 0 + B + C = 0 Identificando términos vemos que los coeficientes B se relacionan con las componente de los vectores directores de la forma, = u B = u = ( B, ) En el caso que tengamos una recta paralela al eje de abcisas (eje OX), u = 0 el coeficiente =0, por tanto = K. Si por el contrario, la recta es paralela al eje de ordenadas (eje OY), = 0 el coeficiente B=0, entonces = K. ECUCIÓN EXPLICIT: Para hallar esta ecuación podemos realizarlo desde la ecuación general o desde la ecuación continua, tan sólo ha que despejar la coordenada. = m + b En esta operación el término que acompaña a la coordenada se denomina pendiente de la recta, m, su valor queda definido mediante los vectores directores como m = u. El coeficiente n se denomina ordenada en el origen, no es nada más que el punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas. Recordar que la pendiente de la recta presentará un ángulo con el eje de abcisas, para hallar el ángulo ha que hacer uso de la tangente, r tan α = m = u α b ECUCIÓN PUNTO PENDIENTE: Haciendo uso de la pendiente (de igualmanera que en la anterior ecuación), la forma uq etiene esta epresión es, a = m( a ) Donde a a son las coordenadas del punto. ECUCIÓN NORML: El concepto para hallar la epresión analítica de la recta es distinto al enfoque visto anteriormente. hora partimos del vector normal a la recta, es decir, el vector perpendicular a la recta, que por tanto será perpendicular DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS 2

3 a la recta que queremos hallar. Esto significa que el producto escalar entre este vector normal el punto X debe ser cero. Posteriormente el calculo operativo nos lleva a una misma epresión analítica de la recta que si lo hubieramos hecho como en los anteriores casos. n r n X = 0 X X (n, n ) ( a, a ) = 0 Operacndo llegamos a la ecuación general de la recta (o a la opuesta), + B + C = 0 POSICIÓN RELTIV DE RECTS EN EL PLNO Para el caso de dos rectas en el plano definidas de cualquier forma analítica donde el caracter ños dara las dos epresiones analíticas de las rectas, r r, podríamos tener: F. VECTORIL F. EXPLICIT F. GENERL PRLELS u = λ u m = m = B B C C COINCIDENTES u = λ u m = m ; (n = n ) = B B = C C SECNTES u λ u m = m B B Para la forma vectorial ha que tener en cuenta que podrían compararse los vectores directores ( u), como es el caso del ejemplo propuesto en la tabla, o también podríamos comparar los vectores normales ( n). En esta forma para comprobar si son paralelas o coincidentes ha que comprobar si un punto de la recta pertenece a la otra. HZ DE RECTS PRLELS Cuando tenemos dos rectas paralelas sus vectores directores u son proporcionales o son los mismos. De ahí que cuando se pide calcular la ecuación de una recta r paralela a otra r se tome como vector director de la recta r el vector director de la recta r, de esta forma, la recta es paralela a la anterior tan sólo queda fijarla mediante un punto. Por tanto, tomando como ejemplo la epresión general, el haz de rectas secantes vendrá definido por la epresión analítica: r + B + K = 0 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS 3

4 Donde B son los coeficientes de la recta r K un parametro que quedará fijado cuando tengamos el valor de un punto de la recta r que nos piden (recordar que ese punto pertenecerá a la nueva recta por tanto debe verificar la identidad analítica de la recta). DISTNCIS Cuando hablamos de distancias nos centraremos siempre en la menor distancia entre los dos elementos dados que siempre es positiva. DISTNCI ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos viene dada por el módulo correspondiente al vector formado por estos dos puntos. sí, si = (a, a ) B = (b, b ), entonces, d(, B) = B = (b a ) 2 + (b a ) 2 DISTNCI ENTRE UN PUNTO Y UN RECT Esta distancia (al ser mínima) se define la longitud del segmento perpendicular a la recta trazada desde el punto. Siendo r + B + C = 0 el punto eterior a la recta P = (p, p ), el calculo de la distancia queda como, d(p, r) = p + Bp + C 2 + B 2 DISTNCI ENTRE 2 RECTS PRLELS Si las rectas fueran coincidentes o secantes que la distancia entre ellas se define como la distancia mínima, la distancia entre ellas sería cero. Sin embargo, teniendo en cuenta que las rectas son paralelas, el caso se reduce a hallar la distancia de un punto de una de las rectas a la otra. Entonces, siendo las rectas r +B +C = 0 r + B + C = 0, P = (p, p ) un punto perteneciente a la recta r, la distancia queda reducida a, d(r, r ) = d(p, r ) = p + Bp + C 2 + B 2 Pero como elpunto P pertenece a r verifica la ecuación analítica de esta recta, p + Bp + C = 0 C = p + Bp = d(r, r ) = d(p, r ) = C C 2 + B 2 DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS 4

5 ÁNGULO DE 2 RECTS SECNTES El único caso en el que las rectas forman un ángulo es cuando éstas son secantes. Para hallar el ángulo trabajamos de igual manera que lo hicimos en el tema de vectores, utilizando el producto escalar de dos vectores. Es decir, se utilizan los vectores directores (o normales) de las rectas para hallar su ángulo. Si las rectas tienen por epresión general r + B + C = 0 r + B + C = 0, entonces u r = ( B, ) u r = ( B, ), por tanto, utilizando el producto escalar de dos vectores, u r u r = u r u r cos ( u r, ˆu r ) cos ( u r, ˆu r ) = cos α = + u u u r u r Que, en forma de los coeficientes de las rectas nos queda, cos α = + BB 2 + B B 2 CLCULO DE L MEDITRIZ La mediatriz se define como la aquel lugar geométrico del espacio que se encuentra a la misma distancia de dos puntos dados. El lugar geométrico en este caso es una recta su calculo podemos realizarlo por dos métodos: PRIMER METODO: Consiste en hallar por una parte el punto medio M del segmento formado por los dos puntos B, por otra el vector B. partir de aquí, como el vector B es perpendicular a la recta mediatriz podemos hallar mediante la ecuación normal de la recta la ecuación de ésta. SEGUNDO METODO: Éste directamente utiliza la definición de mediatriz. Si tenemos dos puntos = (a, a ) B = (b, b ), la distancia de cualquier punto de la recta mediatriz al punto debe ser la misma que al punto B. Por tanto, llamando P = (p, p ) a un punto de la recta, tenemos d(p, ) = d(p, B) ( a ) 2 + ( a ) 2 = ( b ) 2 + ( b ) 2 Operando reduciendo llegamos a la ecuación mediatriz del segmento B, + B + C = 0. DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS 5