GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Transcripción

1 C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la recta Un punto y un vector Dos puntos Un punto y la pendiente P x, p P(x, y ) P(p, p ) v = (v, v ) Q(x, y ) v = (x x, y y ) v = (, ) ECUCION VECTORIL (x, y) = (p, p ) + (v, v ) ECUCION PRMETRIC x = p + v y = p + v. x p y p ECUCION CONTINU v v v = ( B, ) ECUCION GENERL O IMPLICIT x + By + C = 0 La pendiente la podeos sacar a partir del vector: = tan α = B = v v Coordenadas del vector noral n = (, B) Pendiente ECUCION EXPLICIT y = x + n Pendiente Ordenada en el origen De aquí podeos sacar fácilente un punto, P(p, p ), sustituyendo un valor cualquiera de x: PUNTO-PENDIENTE ( y p ) = ( x p ) partir de dos puntos podeos sacar el vector: v = (x x, y y )

2 / Posición Relativa de dos Rectas C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T SECNTES PRLELS COINCIDENTES Ec. General r : x B y C 0 r : x B y C 0 Resolviendo el sistea Sol. No Sol. Sol. Coparando B B C coeficientes B B C B B C C Ec. Explicita r : y x n r : y x n Coparando pendientes y ordenada en el origen y n n y n n 3/ Distancias Distancia entre dos puntos, P (x,y ) y Q (x,y ) d(p,q) (x x ) (y y ) Se puede aplicar directaente esta fórula, o hacer el cálculo en dos pasos:. Encontrar un vector a partir de los puntos.. Calcular el odulo (longitud) del vector Distancia entre un punto P (p,p ) y una recta, r: x + By +C = 0 Distancia entre dos rectas paralelas: d(p,r) p Bp C B. Hallaos un punto cualquiera de una de las rectas.. plicaos la forula de distancia de un punto a una recta. 4/ Ángulo de dos Rectas Calculo del ángulo a partir de los vectores de las rectas. r: x By C 0 V ( B, ) y V ( B, ) s: x B y C 0 v v B B cos v v B B Rectas perpendiculares (foran un ángulo de 90 ) Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas: Dos rectas son perpendiculares si sus el producto escalar de sus vectores es igual a cero v v 0

3 / Puntos Siétricos C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T Puntos siétricos respecto otro punto. Calculo del punto edio de un segento: M P Q x x y y M, Puntos siétricos respecto de una recta. Calculo del punto Q, que siétrico a P respecto de la recta r.. Calcula la ecuación general de la recta s (recta que pasa por P y es perpendicular a r). Encuentra M, que es el punto de corte entre r y s (resolver un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas) 3. Coo P y Q son siétricos respecto a M, podeos aplicar la fórula: M P Q Ejercicios Resueltos ) Indica, en cada caso, un punto, un vector y la pendiente de las siguientes rectas: a) 3x y = 0 v = B, = (, 3) ; = 3 ; y = 3 x P (0, -/) b) x y 3 v = (, ) ; = = ; P (, -3) c) x 3 t y t v = (, ) ; = ; P (3, -) ) Halla en todas las foras que conozcas la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, ), y tiene coo vector director V (, 4) Ecuación vectorial (x,y) ( 3,) t(, 4) Ecuación paraetrica x 3 t y 4 t Ecuación continua x 3 y 4 Ecuación general 4 (x 3) (y ) 4x y 0 4x y 0 Ecuación explicita y 4x Ecuación punto pendiente y 4 (x 3) Nota: El vector director lo podríaos haber siplificado ya que de un vector director solaente nos interesa la dirección y no su longitud. 3

4 C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T 3) Halla en todas las foras que conozcas la ecuación de las recta que pasa por los puntos P (, ) y Q (-3,0) partir de los puntos calculo el vector director: v ( 3, 0 ) (, ) (,) hora trabajo con el vector v (,) y uno de los puntos, por ejeplo, P (, ) Ecuación vectorial (x,y) (,) t(,) x t Ecuación paraetrica y t y Ecuación continua x Ecuación general x y x y 3 0 Ecuación explicita y x 3 4) Halla en todas las foras que conozcas la ecuación de la recta que pasa por el punto P (, 7) y tiene la pendiente igual a /3 Ecuaciónpunto pendiente (y 7) (x ) 3 Ecuación general 3 (y 7) (x ) 3y x 4 x 3y 7 0 Ecuación explicita 3y x 7 y x 7 y x 7 y x De la ecuación general puedo sacar el vector: v = ( B, ) = (3, ) Ecuación vectorial (x, y) (,7) t(3,) x 3t Ecuaciónparaetrica y 7 t y 7 Ecuacióncontinua x 3 4

5 C O L L E G I S N N T O N I O D E P D U F R N C I S C N S C R C I X E N T Ejercicios utoevaluación ) Dados los vectores u ( 8, 6) y v (, ) referidos a la base canónica: a) Calcula su producto escalar. b) Halla sus ódulos c) Encuentra el valor del ángulo que foran d) Halla el valor de x para que el vector w ( 4, x ) sea ortogonal al vector v 6) Halla el ángulo que foran las rectas r : x 3y 0 y s : 3x y 4 0 7) Sean y x n, y ' x n' las ecuaciones explicitas de dos rectas r y r y el ángulo que ' foran. Podeos aplicar la fórula tan para calcular el ángulo entre las dos rectas. ' plícala para hallar el ángulo que foran las rectas de ecuaciones: y x 3, y 3x 8) Dada la recta r : x y 0 y el punto P(,3 ) y halla: a) La ecuación general de la recta t que pasando por P es perpendicular a r. b) Las coordenadas del punto M intersección de r y t (proyección ortogonal de P sobre r). c) Las coordenadas de P punto siétrico de P respecto de la recta r, a partir de M 9) Halla el períetro del triángulo de vértices (-3, ), B(, 3) y C (6, 4) 0) Halla el valor de k para que las rectas r : x y 0 y s : 6x ky 8 0 a) Sean perpendiculares y hallar su punto de corte b) Sean paralelas y halla la distancia entre abas ) Dado el triángulo de vértices P ( 0,), Q(6,4), R(,7) a) Halla la longitud del lado PQ b) Halla la ecuación general de la recta r que pasa por los puntos P y Q c) Halla la distancia del vértice R a esa recta r d) Calcula el área o superficie S del triángulo e) Halla los ángulos interiores del triángulo. ) Un barco se encuentra en el punto (0,) y lleva la dirección y el sentido del vector (4,). a) En qué instante se encontrará ás cerca de un faro situado en el punto (4,0)? b) Cuál es la distancia al faro en ese oento? Soluciones: ) a) -4 b) 0, c) 00º 8 7 d) x = - 6) 30º 7) 63º6 8) a) t : x y 4 0 b) M (3, ) c) P '(, ) 9) ) a) k=3 y P(,) b) k=- y d(r,s)= ) d(p,q)=3 b) r: x-y+=0 c) d(r,r)=0/ ) a) ( 60/7, 3/7) b) 8/ 7 d) S= u