ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO

Transcripción

1 EUIÓN DE L RET EN EL PLNO Para dar la ecuación de una recta se necesita o 1 punto ( x, y ) y un vector v( v x, v y ) 1 punto y la pendiente Dos puntos (se calcula el vector con los puntos y se uno de ellos) LULO DE UN VETOR ON DOS PUNTOS: Dados ( x, y ) y B( x B, y B ) (Se restan) B = B = ( x B x, y B y ) TIPOS DE EUIÓN DE L RET: Dados el punto ( x, y ), el vector v( v x, v y ) y las coordenadas generales X( x, y ) (incógnitas de la ecuación) VETORIL: ( x, y ) = ( x, y ) + t ( v x, v y ) PRMÉTRI: x = x + t v x y = y + t v y ONTINU: (se despeja t de la paramétrica y se iguala) x x v x = y y v y GENERL: (se obtiene a partir de la continua multiplicando en cruz, se pasa todo a un miembro y se iguala a 0) V y ( x x ) = v x (y y ) x + By + = 0 Donde para obtener el vector se hace v( -B, ) y para obtener puntos por los cuales pasa la recta se hace una tabla de valores x y PUNTO PENDIENTE: y y = m (x x ) info@academiacae.com MDRID

2 Donde m es la pendiente de la recta y se calcula: Si te dan vv x, v y m = v y v x Si te dan el ángulo α de la recta con el eje X (abscisas) m = tg α Y n α EXPLIIT: (se despeja y de cualquier ecuación) y = m x + n Donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen (lo que vale y cuando x=0) es decir ( 0, n ) POSIIONES RELTIVS ENTRE RETS (INIDENIS) Tenemos que poner las dos rectas en forma general: r x + By + = 0 s x + B y + = 0 OINIDENTES: = B B = PRLELS: = B B SENTES: (las rectas se cortan en un punto) B B Para calcular el punto de corte entre las rectas se resuelve el sistema por sustitución, reducción o igualación y se despeja x e y PERPENDIULRES: + B B = 0 info@academiacae.com MDRID

3 RETS PRLELS: Las rectas paralelas tienen el mismo vector director o la misma pendiente. Dada la recta x + By + = 0 cuyo vector director es (-B, ) uál es el vector director de su paralela? EL MISMO RETS PERPENDIULRES Dada la recta x + By + = 0 cuyo vector director es (-B, ),EL DE SU RET PERPENDIULR SERÁ: (, B ) VETORES PERPENDIULRES Dado el vector v( v x, v y ) entonces su perpendicular será: v (v y, v x ). (Se intercambian las componentes y se cambia el signo a uno de los dos). TRINGULOS MEDIN: Ecuación de la recta que pasa por el PUNTO MEDIO de uno de los lados del triangulo y por el punto del vértice opuesto. Es decir, recta que pasa por puntos. alculamos el vector PM B y tomamos uno de los puntos para dar la recta mediana. LULO DEL PUNTO MEDIO ENTRE y B: PM B = ( x +x B, y +y B ) Longitud de la mediana: distancia entre el punto medio y el vértice opuesto (fórmula de la distancia entre puntos PM ab B Baricentro: punto donde se cortan las medianas. BR ( x +x B +x, y +y B +y ) MEDITRIZ: Ecuación de la recta que pasa por el punto medio de uno de los lados y su dirección o vector director es perpendicular a dicho lado. Recta: Pto Medio B ;vector perpendicular B ircuncentro: punto de corte de las mediatrices. B info@academiacae.com MDRID

4 LTUR: Ecuación de la recta que pasa por uno de los vértices (punto) del triangulo y su vector es el perpendicular al lado opuesto a dicho vértice. (Recta perpendicular a la perpendicular base que pasa por el vértice opuesto. Recta: punto y vector B Longitud de la altura: Distancia de un punto a una recta: Punto = vértice y recta = lado opuesto a dicho vértice d(, r B ) Figura 1 Ortocentro: Punto donde se cortan las alturas. B ÁNGULO ENTRE DOS RETS PRODUTO ESLR ENTRE DOS VETORES: v (v x, v y ) y w (w x, w y ) Tenemos: Definición: v w = v w cos(v, w) Donde v = v x + v y es el módulo del vector Expresión analítica: v w = v x w x + v y w y Y despejando el coseno del ángulo de la 1ª nos queda: cos(v, v w w) = v w = v x w x +v y w y v x +v y w x +w y Entonces podemos calcular el ángulo entre las rectas de formas: Dadas las rectas r x + By + = 0 y s x + B y + = 0 cos(r, s) = +B B +B +B (Recordar: cos 90º = 0 (rectas perpendiculares ; vectores ortogonales =perpendiculares u ortonormales = perpendiculares y de módulo 1) ; cos 0º = 1 (rectas paralelas) O bien: de las rectas. tan(r, m m s) = 1+m m donde m y m son las pendientes de cada una (Recordar: tan 0º = 0; tan0º = ; tan 45º = 1 ; tan60º = ; tan 90º = ) info@academiacae.com MDRID

5 DISTNIS ENTRE DOS PUNTOS: (x, y ) y B(x B, y B ) d(, B) = (x B x ) + (y B y ) ENTRE UN PUNTO (x,y ) Y UN RET r x + By + = 0 d(, r) = x +B y + +B ENTRE DOS RETS PRLELS: Se saca un punto de una de las rectas y se calcula distancia de ese punto a la otra recta. ÁRE DEL TRIÁNGULO formas: = 1 Base ltura = 1 d (, B) d (, r B ) Mirar Figura 1 = 1 B perpe PUNTO SIMÉTRIO Para calcular el punto simétrico P (P x, P y ) al punto P(P x, P y ) respecto de la recta x + By + = 0 debemos seguir los siguientes pasos: 1. Se calcula una recta (en forma general ) con el punto dado y el vector perpendicular a la recta dada v perp (, B).. Se calcula el punto de corte entre la recta dada y la calculada resolviendo el sistema entre ambas y así obtenemos la x y la y del punto medio PM(PM x, PM y ) entre P y su simétrico.. on las fórmulas del punto medio se despeja el simétrico: PM x = P x +P x PM y = P y +P y P x = PM x P x P y = PM y P y x + By + = 0 P P info@academiacae.com MDRID