VI. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

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1 VI. EUIÓN DE PRIER GRDO 6.. EUIÓN DE UN LUGR GEOÉTRIO En el capítulo anterior (V), se trató uno de los problemas centrales de la Geometría nalítica (Discutir una ecuación) para trazar su gráfica, un segundo problema central de la Geometría nalítica es el que trataremos aquí consiste en Dada una curva definida por ciertas condiciones geométricas, obtener su ecuación dando esto origen al concepto de lugar geométrico. El lugar geométrico de una ecuación de la forma f (, ) (, ) cuas coordenadas, satisfacen dicha ecuación., son todos los puntos Dos números reales satisfacen a una ecuación en dos variables de la forma f (, ), si al sustituirlos en la ecuación en lugar de las variables resulta una igualdad verdadera, por ejemplo los números satisfacen la ecuación +, entonces se dice que el punto de coordenadas (,) se sitúa sobre la gráfica de +, de lo contrario, no lo estaría. Encontrar un lugar geométrico, equivale a encontrar la ecuación que lo representa. Es conveniente describir un lugar geométrico como la traectoria de un punto P (, ) que se mueve de acuerdo a ciertas restricciones debidamente especificadas. EJEPLOS En cada inciso, se pide deducir la ecuación del lugar geométrico de acuerdo a las restricciones indicadas. ) La traectoria de un punto ( ) P, que durante su movimiento está situado en el cuadrantes a igual distancia de los ejes coordenados. El lugar geométrico de los puntos ( ), cuas coordenadas satisfacen las restricciones dadas, está representado por la ecuación ó, cua gráfica se muestra. donde, está sobre la recta que es la ecuación del lugar geométrico que resuelve el problema. ualquier punto de coordenadas ( ),

2 ) La traectoria del punto ( ) P, que durante su movimiento está situado en el cuadrantes a igual distancia de los ejes coordenados. El lugar geométrico de los puntos ( ), cuas coordenadas satisfacen las restricciones del problema, está representado por la ecuación + ó cua gráfica es: donde está sobre la recta que es la ecuación del lugar geométrico que resuelve el problema. ualquier punto de coordenadas ( ), ) La traectoria del punto ( ) P, que durante su movimiento está situado en el cuadrantes en el cuadrantes a igual distancia de los ejes coordenados. El lugar geométrico de los puntos (, ) cuas coordenadas satisfacen las restricciones dadas, está representado por la ecuación ( )( + ) rectas cua gráfica es: ó, esto es, por las dos ualquier punto de coordenadas (, ) donde está sobre, cualquier punto de coordenadas ( ), donde está sobre la recta, que son las ecuaciones del lugar geométrico que resuelve el problema. ) uál es la ecuación de la traectoria del punto ( ) equidista de los etremos de un segmento de recta (, ), ( ) P, que durante su movimiento,,. Recordar que la palabra equidistar significa igualdad de distancias, por lo que las distancias P P, lo que algebraicamente es: ( ) + ( ) ( ) + ( )

3 Elevando al cuadrado ambos miembros, desarrollando simplificando términos semejantes: ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + + Esta última epresión es la ecuación del lugar geométrico con las restricciones dadas. 5) Obtener la ecuación de la traectoria del punto ( ) encuentra a la misma distancia r del punto (, ). Si en la traectoria del punto ( ) punto (, ) entonces: P r, esto algebraicamente es: ( ) + ( ) r tiene: P, que durante su movimiento, se P,, este siempre se encuentra a la misma distancia r del, elevando ambos miembros, desarrollando ordenando términos se ( ) + ( ) r r r Esta última epresión es la ecuación del lugar geométrico del problema. EJERIIOS En cada inciso deduzca la ecuación del lugar geométrico. ) La traectoria de un punto ( ) equidistante de los puntos (,) (,5) ) La traectoria de un punto ( ) r unidades del punto (, ) distancia ) La traectoria de un punto ( ) por el punto (, ) P, es tal que durante su movimiento se conserve siempre. P, es tal que durante su movimiento se encuentra a la. P, es tal que se mueve sobre una línea recta que pasa tiene pendiente m.

4 ) La traectoria de un punto ( ) es igual a su distancia con el punto (,). 5) La traectoria de un punto ( ) alejado del eje que del punto (,). P, es tal que durante su movimiento, su distancia al eje P, es tal que durante su movimiento está veces más 6.. DEFINIIÓN DE RET OO LUGR GEOÉTRIO El objetivo fundamental de la Geometría nalítica es el estudio de las ecuaciones algebraicas de la forma f (, ), en el presente capítulo en los siguientes continuaremos su estudio con ecuaciones algebraicas de la forma siguiente: D + E + F D + E + F + G + H + I + k En donde,,, D, son números reales son los coeficientes numéricos de las ecuaciones. La ecuación se llama ecuación general de primer grado, donde no pueden ser simultáneamente cero. La ecuación se llama ecuación general de segundo grado, donde, no sean simultáneamente cero. La ecuación se llama ecuación general de tercer grado, donde los coeficientes,, D no sean simultáneamente cero. Las ecuaciones de grados maores se epresan de forma análoga. Es conveniente aclarar que en este libro se estudiarán únicamente las de las formas. Definición. El lugar geométrico de una ecuación de primer grado + + es una línea recta recíprocamente, toda línea recta se determina por una ecuación de primer grado. Se dice que toda ecuación de la forma es lineal. 6.. EUIÓN DE UN RET ONOIDOS: a) DOS PUNTOS. b) L PENDIENTE Y UN PUNTO. c) L PENDIENTE Y L ORDEND L ORIGEN. d) LS INTERSEIONES ON LOS EJES OORDENDOS. e) L DISTNI L ORIGEN Y UN ÁNGULO.

5 a) Ecuación no perpendicular al eje de una recta que pasa por dos puntos conocidos. Sean P ( ) ( ), P, los dos puntos cuas coordenadas se conocen, la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos es m, consideremos un punto cualquiera ( ) que pasa por P (, ) ( ) P, situado sobre la misma recta, la pendiente de la recta P, es la misma m o sea: m, arreglando esta última epresión como sigue:, es más práctico recordarla aplicarla para obtener la ecuación de la recta pedida como se muestra en los siguientes ejemplos. EJEPLOS En cada inciso, hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados. ) P (, ), P ( 5,) Sustituendo las coordenadas de los puntos P P en la epresión : ( ) ( ) es la ecuación buscada. ) (, ), (, ) es la ecuación buscada.

6 ) D(,), E (,) E D E E D E 7 ( ) 7( ) es la ecuación buscada. ) F ( 5,5), G (, ) 5) H (,), I (,5) H F I G I G H F I G I G ( ) ( ) 7 es la ecuación buscada ( ) ( 5) 5 es la ecuación buscada. EJERIIOS En cada inciso, hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. ) (,), (, ) ) (, ), D (,) ) P (, ), P ( ) ) Q (, ), R (,), 5) (, ), N (, )

7 b) Ecuación de una recta (no perpendicular al eje ) conocidos su pendiente un punto. Sean m (, ) punto cualquiera ( ) los puntos P (, ) ( ) P la pendiente un punto conocidos de la recta, considerando un P, situado sobre la misma recta, la pendiente de la recta que pasa por P, es la misma m, esto es: m, escribiéndola como m( ) es la ecuación buscada. Llamada ecuación punto pendiente EJEPLOS ella. En cada inciso, hallar la ecuación de la recta conocidos su pendiente un punto de ) (, ) P, m Si m( ) ) (, ), m ) (,) O, m ) (,), m, sustituendo los valores conocidos se tiene: ( ) ( ) ( ) 6 + es la ecuación buscada. ( ) ( ) +

8 En la sección.9 se dijo que si la pendiente de una recta es nula, se trata de una recta paralela al eje (es horizontal). En este caso, observamos que la ecuación de toda recta horizontal será de la forma b, donde el valor b es donde la recta interfecta al eje (se llama ordenada al origen) esto indica que cualquier punto sobre una recta paralela al eje (horizontal) el valor de su ordenada siempre será b. 5) (, ) ella., m ( ) + ( ) ( + ) ( ) EJERIIOS En cada inciso, hallar la ecuación de la recta conocidos su pendiente un punto de ) (, ) P, ) ( 5,) m m P, m ) (,) P, ) (,) m P, m 5) (, ) P, 5 c) Ecuación de una recta (no perpendicular al eje ) conocidos su pendiente la ordenada al origen. Este caso es similar al anterior del inciso b), donde ( ) P, es el punto de intersección de la recta con el eje m su pendiente, es la magnitud de la ordenada al origen de coordenadas se P b. acostumbra denotarla con la letra b o sea que ( ),

9 plicando la epresión m( ) ordenando términos se tiene: ( ), sustituendo valores, simplificando b m b m m + b o bien m + b que es la ecuación buscada. Llamada ecuación de la forma pendiente-ordenada al origen. EJEPLOS En cada inciso, obtener la ecuación de la recta conocidos su pendiente la ordenada al origen. ) (,) Sea P, m m + b, sustituendo los valores conocidos se tiene: + ó + ó + ) (, ), m ),, m m + b ó ) (,), m m + b + + ó + ó + m + b + ó 5) 5 b, m m + b ó + ó + 5

10 EJERIIOS En cada inciso, hallar la ecuación de la recta conocidos su pendiente su ordenada al origen. ) (, ) P, m ) b, m ) (, ), m ) b, m 5 5),, m d) Ecuación de una recta conocidas las intersecciones de la recta con los ejes coordenados. Este caso es similar al del inciso a) donde se conocen las coordenadas de dos puntos de la recta, en este caso, sean P ( a, ) P (,b) los puntos donde la recta cruza al eje al eje respectivamente. plicando la epresión del inciso a) sustituendo los valores de las coordenadas de los puntos a conocidos, se tiene: simplificando ordenando a b a a términos, + + esta última es la ecuación buscada, donde a a b a a b a b es la magnitud de la intersección de la recta con el eje b es la magnitud de la intersección de la recta con el eje. EJEPLOS En cada inciso, obtener la ecuación de la recta, conocidos las intersecciones con los ejes coordenados. ) P (,), P (, ) Sea +, entonces + a b ó haciendo operaciones, ) a, b a + b + + 6

11 ) (,), (,) a + b ) b 5, a a + b ) P (, ), P (,) + + a b EJERIIOS En cada inciso, hallar la ecuación de la recta, conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados. ) P ( ), P (,), ) a, b ) (,), (,) ) b, a 5, P, 5) P ( ), ( ) e) Ecuación de una recta conocidos la distancia al origen un ángulo. onsideremos una línea recta L cualquiera otra recta L llamada normal perpendicular a L que pasa por el origen de coordenadas O, la magnitud del segmento OP es p α es la inclinación de la recta normal L, la pendiente de la recta L es m tanα como la recta L es perpendicular a la recta L, su pendiente es recíproca de signo contrario a la pendiente de L o sea que la pendiente de la recta L es cotα, tanα p cos α, psenα, si las coordenadas del punto P son ( )

12 aplicando la ecuación del inciso b) m( ) tiene:, sustituendo valores ordenando se cosα senα psenα cotα( p cosα ) psenα ( p cosα ) cos α + p cos α psenα senα sen α( psenα ) cosα + p cos α sen α psen α cosα + p cos α cos α + senα p( sen α + cos α ) como sen α + cos α cos α + senα p cos α + senα p es la ecuación buscada se le llama EUIÓN NORL de la recta L. Nota: En este caso si α 9, se trata de una recta paralela al eje (horizontal), si se trata de una recta (vertical) paralela al eje. EJEPLOS α, En cada inciso, obtenga la ecuación de la recta en forma normal conocidos la distancia al origen p su ángulo α. ) p 5, α Si cos α + senα p, sustituendo valores se tiene: ) p, α 5 cos + sen + 5 ó + 5 Si cos α + senα p cos5 + sen5 + + ó +

13 ) p, α Si cos α + senα p cos + sen.9. ó ) p. 5, α 78 Si cos α + senα p cos 78 + sen ) p, α Si cos α + senα p cos + sen EJERIIOS En cada inciso, obtenga la ecuación de la recta en forma normal conocidos la distancia al origen p su ángulo α. ) p. 7, ) p. 5, ) p, ) p., 5) p, α 5 α α 9 α 7 α FORS DE L EUIÓN DE L RET: GENERL, SIPLIFID, SIÉTRI Y NORL la forma en que se escribe la ecuación de primer grado + +, se le llama FOR GENERL de la recta, donde, son cualesquiera números reales pero no pueden ser simultáneamente cero. Si, entonces la ecuación queda +, despejando se tiene, es la ecuación de una recta vertical (donde a es la intersección de la recta con el eje ), si a entonces es la ecuación del eje.

14 Si, entonces la ecuación queda +, despejando se tiene, es la ecuación de una recta horizontal (donde b es la intersección de la recta con el eje ), si b entonces es la ecuación del eje. Si, entonces la ecuación queda +, despejando se tiene es la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas, ( ) (donde es la pendiente de la recta)., m, En la forma general si, al despejar la se tiene:, denotando por m b se tiene que m + b, a esta epresión se le llama ecuación de la recta en FOR SIPLIFID o FOR PENDIENTE-ORDEND L ORIGEN. Si la forma general + + con,, la epresamos como + dividiendo ambos miembros por se tiene: + ó + denotando por a b se tiene + a esta epresión se le a b llama ecuación de la recta en FOR SIÉTRI, donde el significado geométrico de a es la intersección de la recta con el eje b es la intersección de la recta con el eje (ver sección 6. d)). En la sección 6. e) de este capítulo VI, obtuvimos la ecuación de la recta en su FOR NORL: cos α + senα p se recomienda reestudiarla. EJEPLOS En cada inciso, se da la forma general de la ecuación de una recta se pide obtener las formas simplificada, simétrica normal de la misma recta dibuje su gráfica. ) + Si m + b como m + b es la forma simplificada,

15 Si a b como + a b es la forma simétrica, +. Para obtener la forma normal a partir de la forma general, se debe hacer el siguiente análisis: Si la ecuación de la recta en forma general + + la ecuación en forma normal cos α + senα p determinan la misma recta, sus coeficientes deben ser proporcionales, lo cual significa que multiplicando todos los términos de la ecuación por un factor de proporcionalidad k, se tiene que: ( cos α ) + ( sen ) p k + k + k α donde: k cosα k senα k p omo nuestro problema es determinar el valor de k, elevamos al cuadrado ambos miembros de sumándolos miembro a miembro tenemos: k + k cos α + sen α factorizando k ( + ) despejando k : k con +. ± + Luego entonces, la ecuación de la recta en forma general + + tiene por ecuación en la forma normal: + + ± + ± + ± + + Pero surge la pregunta qué signo se debe usar en el radical? (al comparar con ), la respuesta es la siguiente, se requiere que p, por tanto: i) Si, el signo del radical se toma contrario al de. ii) Si, el radical tienen el mismo signo. iii) Si, el radical tienen el mismo signo. hora sí, continuando con el ejemplo, si la ecuación general es +, como es positivo, el radical debe ser de signo contrario, entonces: k la ecuación ( ) + ( ) en forma normal es: + donde α cos.69 p. 8

16 ) + Si m b a entonces + es la forma simplificada. + es la forma simétrica. omo es negativo k ± es la forma normal () () 5 ) Si m b a 5 5 entones es la forma simplificada. No eiste forma simétrica porque tanto a como b no se puede dividir entre cero. omo k + () 5 + ( ) es la forma normal ) + 5 Si la ecuación dada, la multiplicamos en ambos miembros por se tiene 5 + 6, ecuación que es equivalente a la original, donde: m b a 5 entonces + es la forma simplificada. + es la forma simétrica.

17 omo >, k + ( 5) + ( ) simplificando: + es la forma normal ) + + Si m b a es la forma simplificada. + es la forma simétrica. omo >, k entonces: + () + ( ) 5 es la forma normal EJERIIOS En cada inciso, dada la forma general de la ecuación de una recta, se piden las formas simplificada, simétrica normal de la recta dada dibuje su gráfica. ) + ) + ) + 5 ) ) EUIONES DE: LS EDINS, EDITRIES Y LTURS DE UN TRIÁNGULO, SUS PUNTOS DE INTERSEIÓN Y RET DE EULER Iniciemos esta sección definiendo la geometría de cada uno de los conceptos del tema en cuestión: Las medianas son rectas que parten de cada vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto. Las medianas de un triángulo se intersectan en un mismo punto G llamado centro de gravedad (baricentro o gravicentro).

18 La mediatriz de cada lado del triángulo es la recta que parte del punto medio de cada lado es perpendicular a este. Las mediatrices de un triángulo se intersectan en un mismo punto llamado circuncentro (centro de un circulo que circunscribe al triángulo). Las alturas de un triángulo son las rectas que parten de cada vértice son perpendiculares a su lado opuesto. Las alturas de un triángulo se intersectan en un mismo punto H llamado ortocentro. Los puntos G, H se localizan sobre la misma recta, llamada recta de Euler. EJEPLOS Los puntos (,), ( 7, ) (,7) pide en cada inciso: edianas ediatrices H H H lturas son los vértices de un triángulo, hallar lo que se ) Las ecuaciones de las medianas las coordenadas de su punto de intersección G, haga un dibujo del problema. Las coordenadas de los puntos medios de cada lado del triángulo: ,,, ,,, ,,,

19 Ecuaciones de las medianas: con la epresión de la sección 6. a) ediana : ediana : ediana : Para obtener las coordenadas del punto de intersección G de las medianas, elegimos dos cualesquiera de las ecuaciones de las medianas las resolvemos como un sistema de ecuaciones simultáneas por cualquiera de los métodos de solución: Sean : : + 6 Por el método de sustitución, de despejamos la la sustituimos en la ecuación, + 6 resolvemos para : sustituendo este valor en, por lo tanto G,. ) Las ecuaciones de las mediatrices las coordenadas de su punto de intersección, haga un dibujo del problema. Las coordenadas de los puntos medios de cada lado a se 7 calcularon en el inciso anterior:,,,, 7,. Las pendientes de cada lado del triángulo son: lado : m 7 7

20 lado : m lado : m Ecuaciones de las mediatrices. ediatriz : su pendiente es recíproca de signo contrario a la pendiente del lado, o sea m pasa por el punto,, aplicando la epresión m( ) de la sección 6. b) se tiene: ediatriz : m,, ( ) ediatriz : m,, oordenadas del punto de intersección de las mediatrices. Sean : + 7 : 7 9 Por el método de igualación ,

21 ) Las ecuaciones de las alturas las coordenadas de su punto de intersección H, haga un dibujo del problema. Ecuaciones de las alturas. ltura H : es perpendicular al lado, su pendiente es m pasa por el punto (,), si m( ) ( ) ltura H : 7 7 m, ( 7, ) + ( 7) ltura H : 7 m, (,7) 7 ( ) oordenadas del punto de intersección H de las alturas. Sean H : 7 7 H : + 7 Por el método de igualación: Sustituendo en 7 7 H, ) Obtenga la ecuación de Euler. Ecuación de Euler. 6 7 Sean las coordenadas de G,,, H, si la pendiente de la recta 6 6 que pasa por los puntos H G es la misma que la que pasa por los puntos H, entonces los puntos G, H están sobre la misma recta:

22 m HG G G H H m H H H Eligiendo cualquiera de los puntos, por ejemplo como 8 m H se tiene 6 G, ) Los vértices de un triángulo son ( 6,), (,) (,), obtener las ecuaciones de las medianas, las mediatrices, las alturas las coordenadas de los puntos G, H, así como la ecuación de Euler hacer un dibujo del problema. Pendiente de cada lado del triángulo: oordenadas de los puntos medios de cada lado: + +, + +, + +,, 5 7, 9, Lado : Lado : Lado : m m m

23 Ecuaciones de las medianas: ediana ediana ediana : : : oordenadas del centro de gravedad G. Sean : + : 7 + de, sustituendo en 7 7 sustituendo en Ecuaciones de las mediatrices. ediatriz : se tiene: 7 ( ) G, m pasa por, ( ) ediatriz 5 7 : m 7 pasa por, ediatriz : 9 m pasa por, oordenadas del circuncentro : Sean: : + 6 : 7 +

24 Por igualación , sustituendo en 6 Ecuaciones de las alturas. ltura H : ( 6) 8 +, m pasa por ( 6,) ltura H : 7, ltura H : m pasa por ( ) ( ) ( + ) +, m pasa por (,) oordenadas del ortocentro H. Sean H : H : Por el método de igualación sustituendo en 7 () + H, Ecuación de Euler. ( ) Sean G,,, H (,) 7 7 G m G G 7 H G m GH 7 8 H G H on (,) m ( )

25 EJERIIOS Los vértices de un triángulo son (, ), (,) (,) se pide: ) Las ecuaciones de las medianas, las coordenadas de G. ) Las ecuaciones de las mediatrices, las coordenadas de. ) Las ecuaciones de las alturas, las coordenadas de H. ) La ecuación de Euler. 5) on los puntos (, ), (,) (, ) como vértices de un triángulo, se pide las ecuaciones de las medianas, las mediatrices, las alturas, las coordenadas de los puntos G, H, la ecuación de Euler hacer un dibujo del problema DISTNI DE UN PUNTO UN RET Este problema consiste en obtener una fórmula que nos permita calcular la distancia del punto P (, ) a la recta L (llamemos con la letra d esta distancia). Una forma de resolver este problema es la siguiente: hagamos pasar por el punto P (, ) una recta L paralela a la recta L recordando que la forma normal de la ecuación de la recta L es cos α + senα p, apoándonos con la figura, observamos que la magnitud OQ p + d puede considerarse como una nueva p para la recta L, con el mismo ángulo α que su forma normal es: cosα + senα ( p + d ), despejando la d se tiene d cos α + senα p, que es la distancia dirigida de P a L que como se observa, se obtiene con solo sustituir las coordenadas del punto P (, ) en la ecuación. Esta distancia d será positiva si la recta L se localiza entre el punto P (, ) el origen de coordenadas será negativa si el punto P (, ) el origen de coordenadas se localiza de un mismo lado de la recta L. omo generalmente la ecuación de la recta L se da en forma general + +, es necesario convertirla a la forma normal (ver 6. d)), quedando la distancia + + d como sigue: d ± + Sustituendo las coordenadas del punto ( ) contrario al de. P eligiendo el signo del radical,

26 EJEPLOS ) Obtener la distancia del punto (, ) P a la recta 5. Pasando la recta 5 a la forma general 5, P, en la epresión: sustituimos las coordenadas del punto ( ) d ± ( ) + ( ) ( ) ( ) d 5, el signo negativo es porque el punto P el origen se localizan del mismo lado de la recta. ) Hallar la distancia del punto ( ) P,5 a la recta +. ) Los vértices de un triángulo (,), (, ) (,5) del vértice sobre el lado. Pasando a la forma general la ecuación de la recta +, + sustituendo P (,5 ) en: ( ) + ( 5) d ± () ( ) d, el signo positivo es porque P el origen 7 se localizan en ambos lados de la recta., hallar la magnitud de la altura h Obtenemos la ecuación en forma general del lado : + m con el punto (,) se tiene: 5 ( + ) , sustituendo 5,5 en la epresión: las coordenadas del punto ( ) d ± () + () 5 ( ) + 5( 5) + 8

27 8 8 como d h h 6. 5 ) La distancia d del punto P (, k) k. a la recta L : 6 es, hallar el valor de + + Sustituendo valores en la epresión d ± + ( ) ( k) despejando k k + () ( ) 5 entonces P,. El signo indica que el punto P el origen se localizan del mismo lado respecto a la recta L. 5) Hallar la distancia d entre las rectas paralelas L : L : Una forma puede ser la siguiente: Obtenemos un punto arbitrario de la recta L : sea 9 5 ( ) + 9 lo llamamos P (,) sustituimos sus coordenadas en la epresión: d d ± () 5 + ( ) 5 ( ) ( ) EJERIIOS ) Hallar la distancia del punto P (,) a la recta +. ) Hallar la distancia del punto P (,5) a la recta ) Hallar la distancia del punto (, P ) a la recta + +. ) Hallar la distancia d entre las rectas paralelas L : + L :. 5) Hallar la ecuación de la recta paralela a la recta L : 6 con d (positiva).

28 6.7. EUIÓN DE LS ISETRIES DE UN TRIÁNGULO Y SU PUNTO DE INTERSEIÓN I (INENTRO) omo una aplicación más de la forma normal de la ecuación de una recta, se muestra cómo puede obtenerse la ecuación de una bisectriz. Por geometría elemental, se puede decir que una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales: Por definición se tiene que: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo. onsideremos dos rectas: ( ) ( ') L + + L ' + ' + ' que se cruzan en un punto formando dos ángulos suplementarios θ θ ' 8 θ, suponemos que las rectas l l ' son las bisectrices de θ θ ' respectivamente, consideremos un punto cualquiera (, ) sobre la bisectriz l según la definición, la distancia del punto a la recta L ( d ) debe ser igual a la distancia de a L ' ( d ), o sea que d d, aplicando el concepto de distancia de un punto a una recta, se tiene que: + + ' + ' + ' d d ± + ± ' + ' Esta última epresión, proporciona la ecuación de la bisectriz l del ángulo θ para obtener la bisectriz del ángulo suplementario θ ', simplemente se cambia el signo de uno cualquiera de los dos miembros de la epresión se debe cumplir que las bisectrices de los ángulos adacentes suplementarios son perpendiculares entre sí. EJEPLOS ) Obtener las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por L + L ' las rectas ( ) ( )

29 Suponemos un punto cualquiera sobre la bisectriz l, entonces las distancias de a L ( d ) la de a L ' ( d ) son: + + d + () ( ) 5 d ( ) + ( ) 5 En las dos distancias d d, el punto el origen de coordenadas se localizan en ambos lados respecto a cada recta L L ', por lo tanto son de signo positivo como d d se tiene: ( a ) + simplificando ordenando: es la ecuación de la bisectriz l. Para obtener la bisectriz l ', cambiamos el signo a uno de los dos miembros de la a : epresión ( ) Sea simplificando se tiene: + 5 es la ecuación de la bisectriz l '. despejando de la bisectriz l a: de la bisectriz l ' + 5, se observa que las pendientes son recíprocas de signo contrario: m l m l', por lo tanto sí son dos rectas perpendiculares entre sí. Los vértices de un triángulo son (,), (, ) (,), se pide: ) Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interiores. ) Las coordenadas del incentro ( I ). ) Demuestre que el incentro equidista de los tres lados del triángulo. Las ecuaciones de los lados del triángulo son:

30 Lado : Lado : Lado : ) Ecuaciones de las bisectrices: Del ángulo en : ( + ) () + () ( ) + ( ) Del ángulo en : ( + ) ( + 5) + ( 7 + 5) Del ángulo en : ( + ) ( 5 ) + ( 5 + 7) ) oordenadas del incentro ( I ) Resolviendo como un sistema de ecuaciones a cualesquiera de las bisectrices, sean: ( + 5) + ( 7 + 5) despejando de la primera sustituendo en la segunda: ( + 5) + ( 7 + 5)( 5 + 8)

31 ( 5 9) sustituendo este valor en I (.,.) ) El incentro equidista de los lados del triángulo? alculando la distancia del punto I (.,.) a cada uno de los lados del triángulo se tiene: on el lado : + (.) + (.). on el lado : on el lado : Por lo tanto, el punto (.,.) (.) + 7(.) 65 (.) (.) I equidista de los lados del triángulo es el centro del círculo inscrito al triángulo. 5) Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo θ formado por las rectas ( ) L 6 ( ') L. Suponiendo que el punto se localiza sobre la bisectriz del ángulo agudo θ, se observa que el punto el origen O están del mismo lado de la recta L el punto el origen O se localizan en ambos lados de la recta L ' por lo que d es positivo d negativo como sigue: ( ) ( + 5) ( 6 + 5) es la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo θ.

32 EJERIIOS ) Obtener las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por,,,7 D,. las rectas que unen los puntos ( ), ( ) ( ), ( ) ) Obtener la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo θ formado por las rectas L ( L ) ) La recta ( L ) pasa por el punto (, ) tiene pendiente m la recta ( L ) pasa por tiene pendiente m, se cruzan formando un ángulo agudo θ, hallar la ( ) el punto (, 6) ecuación de su bisectriz. Los vértices de un triángulo son 5 5,, ( 5,),, se pide: ) Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interiores. 5) Hallar las coordenadas del incentro ( I ) DISTNI ENTRE DOS RETS PRLELS Para resolver este problema, proponemos formas de hacerlo: ª Forma. plicando la forma normal de la recta, suponemos dos rectas ( L ) cos α + senα p ( L ') cos α + senα p' paralelas entre sí, donde p p ' son las distancias del origen a cada recta la distancia d entre las dos rectas es d p p' si el origen de coordenadas se localiza del mismo lado de las rectas d p + p', si el origen se localiza entre las dos rectas. ª Forma. Se obtiene un punto ( ) P, cualquiera sobre alguna de las dos rectas se calcula la distancia de éste punto a la otra recta esta será la distancia entre las dos rectas. ) ( ) EJEPLOS En cada inciso, se pide calcular la distancia entre las dos rectas paralelas que se dan. L + ( ') L 6 6

33 ª Forma. Recordar que cuando la recta se da en la forma general, p. En estos problemas, el signo del radical se toma de ± + tal manera que p sea positivo, por lo tanto: con la recta L, p con la recta L ', ( ) + ( ) p ' como el origen se localiza entre las ( ) ( ) dos rectas, d p + p' + d ª Forma. Si en la recta L hacemos tiene:, (,) P calculando la distancia de P a la recta L ' se Recordar que el signo negativo se debe a que el punto P el origen están del mismo lado respecto a la recta L '. ) ( ) L + 8 ( ') L + ª Forma. 8 8 on ( L ): p () + ( ) 5 on ( L '): p ', como el origen de coordenadas se 5 5 localiza del mismo lado respecto a las rectas, 8 6 d p p' ª Forma. Si en L hacemos (,) P la distancia de P a L ' es: () + ( ) ( ) + + d 5 d 6 5

34 ) ( ) L + ( ') L + ª Forma. on ( L ): on ( ') p L : p ', 5 () + () 5 5 d p + p' ª Forma. Si en L hacemos ( ) ( ) + + d 5 5 ) ( ) L 5 + (,) d 5 ( ') P entonces la distancia de P a L ' es: L 5 5 ª Forma. on ( L ): p ( ) + ( 5) 5 5 on ( L '): p ', como el origen se localiza entre 5 5 las rectas, d p + p' +. ª Forma. Si en L hacemos respecto a L ', ( ) 5( ) (,) d d. P como el origen el punto están del mismo lado

35 5) ( ) L + 6 ( ') L on ( L ): on ( ') p 6 () + () L : p ' 9 d p + p' + d 6 ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 5) ( ) EJERIIOS En cada inciso, hallar la distancia entre las dos rectas paralelas que se dan: L + 5 ( ') L ( ') L + ( ') L ( ') L 6 ( ') L + L + 6 L + L 5 L