Figura 1. Rectas inclinadas.

Transcripción

1 I-MIP700_MAAL_Cédula La recta Pendiente de una recta Por: Sandra Elvia Pérez Antes de comenzar con el estudio de la recta, es necesario que revises el concepto de pendiente, qué te imaginas cuando escuchas la palabra pendiente? Ve de qué se trata. Observa la figura donde verás lo trazado en el plano cartesiano. Figura. Rectas inclinadas. Son dos rectas cualesquiera. Qué diferencia observas entre ellas?, la respuesta es que una está más inclinada hacia el eje horizontal mientras que la otra se encuentra menos inclinada. Dicha inclinación tiene que ver con el ángulo que forman con el eje de las abscisas. La figura muestra una recta el ángulo que forma con el eje de las. Por lo general, a este ángulo se le representa con la letra griega alfa se le conoce como ángulo de inclinación.

2 I-MIP700_MAAL_Cédula Figura. Recta inclinada con un ángulo formado con el eje de las. De la misma forma, a la tangente del ángulo de inclinación se le denomina pendiente a la pendiente se le representa con la letra m minúscula. Esto es, La figura 3 muestra una recta, pero se han identificado dos puntos sobre ella (P P ), el ángulo de inclinación, el triángulo rectángulo que se forma la longitud de los lados del triángulo en función de las coordenadas de los puntos P P. Figura 3. Recta inclinada con un ángulo formado con el eje de las marcando puntos distancias específicas. A partir de la figura debido a que m tan, si se consideran los catetos del triángulo rectángulo de la figura, se puede reescribir la fórmula de la pendiente como sigue:

3 I-MIP700_MAAL_Cédula La fórmula dice el valor de la pendiente cuando se conoce el ángulo de inclinación. La fórmula dice el valor de la pendiente cuando se conocen las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Determina la pendiente de una recta cuo ángulo de inclinación es 30º. Si aplicas la fórmula m tan, dado que conoces el valor del ángulo de inclinación tienes: m tan m tan 30º m Ejemplo Determina la pendiente de una recta que pasa por los puntos (, 5) (4, 6). Si aplicas la fórmula obtienes: 6 5 m 4 m, dado que conoces las coordenadas de dos puntos de la recta La pendiente buscada es m. Condiciones de paralelismo perpendicularidad Recuerdas el significado de dos recta paralelas? Y el de rectas perpendiculares? 3

4 I-MIP700_MAAL_Cédula Estos conceptos mu probablemente no son nuevos, sólo que ahora se definirán aplicando el de pendiente que acabas de estudiar. En la tabla se muestra la gráfica de una pareja de rectas paralelas, la gráfica de una pareja de rectas perpendiculares la condición que deben cumplir sus pendientes para asegurar estos comportamientos. Nombre Gráfica Descripción Condición Dos rectas son Rectas paralelas si nunca paralelas llegan a cruzarse. m m Rectas perpendicula res Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman un ángulo recto entre ellas. m m ó m m Tabla. Características de las rectas paralelas perpendiculares. La información de la tabla indica que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales son perpendiculares si su producto es igual a -. A continuación se presentan algunos ejemplos: Ejemplo Determina si la recta que pasa por los puntos (, ) (3, 4), es paralela a la recta cuo ángulo de inclinación es 45º. Para determinar si dos rectas son paralelas es necesario encontrar sus pendientes si éstas son iguales entonces son paralelas. Para la primera recta en donde se conocen dos puntos tienes: 4

5 I-MIP700_MAAL_Cédula m m 4 3 Para la segunda recta, dado que se conoce su ángulo de inclinación tienes: m tan m tan 45º Debido a que las pendientes de las dos rectas son iguales, se comprueba que son paralelas. Ejemplo Determina si la recta con pendiente (4, 6). m es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3, -) 8 La pendiente de la recta que pasa por (3, -) (4, 6) es: m 6 ( ) 8 m Multiplicando las pendientes tienes: 8 8 Con lo que se comprueba que efectivamente son perpendiculares. 5

6 I-MIP700_MAAL_Cédula La recta Ahora que a has estudiado el concepto de pendiente, es momento de que conozcas la definición de la recta: Una recta es el lugar geométrico tal que la pendiente entre dos puntos que pertenecen a la recta siempre es la misma. Esta definición está basada en el hecho de que una recta no cambia de pendiente, es decir, su ángulo de inclinación es constante. En ocasiones cuando no se requiere trazar la gráfica de una recta, basta con conocer su ecuación. La tabla muestra las distintas formas de la ecuación de una recta. Forma de la ecuación Pendienteordenada al origen Característica que involucra la ecuación m b m pendiente b ordenada al origen (intersección con el eje de las ) Punto-pendiente m ) Simétrica ( a b General A B C 0 m pendiente P (, ) un punto de la recta a abscisa (intersección con el eje de las ) b ordenada al origen (intersección con el eje de las ) No involucra ninguna característica. Tabla. Formas de la ecuación de la recta (Martínez, 996). Ve cómo se pueden obtener estas formas de la ecuación de la recta. A continuación se presentan algunos ejemplos: 6

7 I-MIP700_MAAL_Cédula Ejemplo Encuentra la ecuación de la recta en su forma general, si la ordenada al origen es igual a 3 tiene pendiente igual a 5. Datos que proporciona el La ordenada al origen es b 3 La pendiente m 5 Ecuación que involucra los datos del Sustituendo los valores b 3 m 5 m b 5 3 Pasando a su forma general Para pasar a la forma general, la ecuación se iguala a cero utilizando las propiedades de la igualdad 5 3 como está sumando pasa restando del otro lado de la igualdad Tabla 3. Elementos del. La ecuación de la recta en su forma general es Ejemplo Encuentra la ecuación de la recta en su forma general, si pasa por los puntos (,) (-,3). Datos que proporciona el Ecuación que involucra los datos del Sustituendo los valores. P(,) P (-,3) Pasando a su forma general Dos puntos (,) (-,3) Con dos puntos se puede calcular la pendiente m Y con la Sustituendo en la fórmula de la pendiente 3 m 3 Con un punto Para pasar a la forma general, se realizan las operaciones necesarias la ecuación se iguala a cero utilizando las propiedades de la igualdad ( ) 3 7

8 I-MIP700_MAAL_Cédula pendiente un punto se puede utilizar m( ) P(,) la pendiente m 3 Sustitues en la ecuación ( 3 ) El -3 pasa multiplicando ( ) 3 Se hacen operaciones Igualando a cero Tabla 4. Elementos del. La ecuación de la recta en su forma general es Ejemplo 3 Encuentra la ecuación de la recta que tiene como abscisa 3 como ordenada al origen 7. Datos que proporciona el Abscisa a 3 Ordenada la origen b 7 Ecuación que involucra los datos del a Sustituendo los valores a 3 b 7 b 3 7 Pasando a su forma general Para pasar a la forma general, se realizan las operaciones necesarias la ecuación se iguala a cero utilizando las propiedades de la igualdad 3 7 Determinas el mínimo común múltiplo efectúas la suma algebraica 7 3 El pasa multiplicando 7 3 El pasa restando 8

9 I-MIP700_MAAL_Cédula Tabla 5. Elementos del 3. La ecuación de la recta en su forma general es Distancia de un punto a una recta En algunas ocasiones es necesario calcular la distancia de un punto a una recta para ello se utiliza la siguiente fórmula: Esta fórmula requiere los coeficientes de la ecuación de la recta en su forma general A B C 0 el valor del punto P, ). ( Recuerda que la distancia es perpendicular a la recta. A continuación se presenta un ejemplo: Calcula la distancia que ha de la recta al punto (,). Comienza por determinar los coeficientes de la ecuación A 5, B, C 3 del punto Sustituendo en la fórmula: d A B C 5() () 3 A B (5)

10 I-MIP700_MAAL_Cédula La distancia que ha del punto a la recta es de.76 unidades. Referencia Martínez, M. A. (996). Geometría analítica. Méico: Mc Graw Hill. Bibliografía Fuller, G & Tarwater, D. (999). Geometría Analítica (R. Martínez A. Rosas, Trads.). Méico: Pearson Educación. Kindle, J.H. (999). Geometría analítica (L. Gutiérrez Á. Gutiérrez, Trads.). Méico: Mc Graw Hill. Martínez, M. A. (996). Geometría analítica. Méico: Mc Graw Hill. Ruiz, J. (008). Geometría analítica. Méico: Grupo Editorial Patria. 0