Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales

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1 Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 3.2. Superficies parametrizadas 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 1 / 17

2 3.1. Curvas Recordamos que una recta L en R n se puede definir usando una parametrización, a saber, que dado un punto P L y un vector director v de L, tenemos L = {P + t v : t R}. Esto expresa L como la imagen de la aplicación R R n, t P + t v. (Recordamos que una función f : X Y es una aplicación X Y si f está definida en todo X.) Podemos ahora extender esta noción para expresar curvas más generales. Definición (Curvas en el espacio eucĺıdeo) Una curva en R n es una aplicación c : [a, b] R R n. También se puede usar la palabra curva para referirse a la imagen en R n de la aplicación c (i.e. el conjunto de puntos c(t) R n, t [a, b]). Para n = 2 la curva se halla en el plano; para n = 3 se halla en el espacio, etc. Nótese: si f : [a, b] R es una aplicación, entonces c : t [a, b] (t, f (t)) define una curva en R 2, i.e. la gráfica de la función f. Sin embargo, no todas las curvas son gráficas de funciones. Por ejemplo, el círculo {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} se puede ver como la curva [0, 1] R 2, t (cos(2πt), sin(2πt)), pero no es una gráfica de función. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 2 / 17

3 3.1. Curvas Definición (Curva diferenciable, vector velocidad, y velocidad) Una curva definida por c : [a, b] R n es diferenciable si lo es la función c en un abierto U [a, b]. Si c es diferenciable, el vector velocidad de c en t es el vector c c(t+h) c(t) (t) = lim h 0 h. La velocidad de c en t es c (t). Ejemplos de curvas diferenciables y no diferenciables: El vector tangente de una curva c en t es el vector unitario c (t) c (t). Si c : R R n, t (c 1 (t),..., c n (t)), entonces c (t) = (c 1 (t),..., c n(t)). Ejemplo: sea la curva c(t) = (t, t 2, e t ). Calcular su velocidad en t = 0. Tenemos c (t) = (1, 2t, e t ), luego c (0) = (1, 0, 1), luego c (0) = 2. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 3 / 17

4 3.1. Curvas Vamos a introducir las nociones de recta tangente y de longitud de arco para curvas. Consideremos una curva definida entre dos instantes t 1, t 2 : Dos preguntas: 1. Cuál es la recta tangente a la curva en un instante dado t (t 1, t 2 )? 2. Cuál es la longitud recorrida a lo largo de la curva entre t 1 y t 2? 1. Basta ver que dicha recta pasa por c(t) y tiene vector director c (t). La recta tangente a c en t es {c(t) + λc (t) : λ R}. 2. Para definir la longitud de la curva, utilizamos la norma de c (t): Definición (Longitud de arco) La longitud de arco de una curva c entre t 1 y t 2 es l = t 2 t 1 c (t) dt. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 4 / 17

5 3.1. Curvas Nota: diremos que una curva dada por c : [a, b] R n es de clase C k si la función c es de clase C k sobre un abierto U [a, b]. Ejemplo: sean las curvas c 1 (t) = (cos(t), sin(t)), c 2 (t) = (cos(t), sin(t), t). Hallar la recta tangente en t = 0 y la longitud de arco entre t = 0 y t = π, para c 1 y c 2. Calculamos primero c 1 (t) = ( sin(t), cos(t)). El vector tangente en t = 0 es c 1 (0) = (0, 1), que es tangente en el punto c 1(0) = (1, 0). Por lo tanto, la recta tangente es {(1, 0) + λ(0, 1) : λ R}. La longitud de arco es l = π 0 sin(t) 2 + cos(t) 2 dt = π 0 1 dt = π. Para c 2 tenemos primero c 2 (t) = ( sin(t), cos(t), 1). La recta tangente en t = 0 (es decir, en el punto c 2 (0) = (1, 0, 0)) es pues {(1, 0, 0) + λ(0, 1, 1) : λ R}. La longitud de arco es l = π 0 sin(t) 2 + cos(t) dt = π 0 2 dt = 2π. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 5 / 17

6 3.1. Curvas Ejemplo: hallar la longitud de arco de la curva c(t) = (cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t)) en R 4 entre t = 0 y t = 2π. Calculamos el vector velocidad: La velocidad es pues c (t) = ( sin(t), cos(t), 2 sin(2t), 2 cos(2t)). c (t) = sin(t) 2 + cos(t) sin(2t) cos(2t) 2 = 5. Por lo tanto l = 2π 0 5 dt = 2 5 π. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.1. Curvas: recta tangente y longitud de arco 6 / 17

7 3.2. Superficies parametrizadas Las curvas que hemos visto son funciones de un sólo parámetro t. Ahora vamos a generalizar el estudio a superficies bidimensionales en R 3, que dependen de dos parámetros. Definición (Superficie parametrizada) Una superficie parametrizada en R 3 es una aplicación φ : D R 3, donde D R 2. (Como para las curvas, se puede llamar superficie a la imagen de φ). Podemos expresar φ por la fórmula φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), donde u, v R son los parámetros de la superficie. Podemos también escribir S para referirnos más precisamente a la superficie como conjunto de puntos, es decir S = φ(d). La región D será a menudo un conjunto compacto, o bien de la forma {(u, v) R 2 : u 1 u u 2, v 1 v v 2 } donde los u i, v i pueden ser infinitos. Definición Decimos que S es una superficie de clase C k si S = φ(d) donde φ es una función de clase C k en un abierto U tal que U D. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.2. Superficies parametrizadas 7 / 17

8 3.2. Superficies parametrizadas Ejemplo: sea φ(u, v) = ( u cos(v), u sin(v), u ), u 0. La superficie correspondiente es la gráfica de la función (x, y) x 2 + y 2. Observamos que en (0, 0, 0) esta superficie tiene un punto de tipo diferente de los demás puntos. Para precisar esto debemos definir la noción de vectores tangentes a una superficie. Para definir los vectores tangentes, usamos las derivadas parciales. Definición (Vectores tangentes a una superficie) Sea una superficie S R 3 definida por φ : D R 2 R 3. Los vectores tangentes a S en un punto φ(u, v) se denotan por T u, T v, y se definen por las fórmulas T u = φ u, T v = φ v. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.2. Superficies parametrizadas 8 / 17

9 3.2. Superficies parametrizadas Recordamos: el producto vectorial ( de v, w R 3, denotado por v w, se ) v define por la fórmula v w = 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2. Con estas nociones, podemos ahora dar una definición que permite distinguir si una superficie tiene o no tiene puntos problemáticos como en el ejemplo anterior. Definición (Superficie suave) Decimos que una superficie S dada por φ : D R 2 R 3 es suave en un punto φ(u, v) si T u T v 0. Si una superficie S es suave en φ(u, v), entonces el vector T u T v define un vector ortogonal a S en el punto φ(u, v). Más precisamente, podemos usar T u T v para definir un plano tangente a la superficie en ese punto, tomando T u T v como vector normal a este plano. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.2. Superficies parametrizadas 9 / 17

10 3.2. Superficies parametrizadas Recogemos las últimas nociones en una definición. Definición (Plano tangente y normal unitaria) Sea una superficie φ : D R 2 R 3, y sea (u, v) D tal que la superficie es suave en φ(u, v). El plano tangente a la superficie en el punto φ(u, v) es el plano con vector normal (ortogonal) T u T v y que contiene φ(u, v). El vector normal unitario a la superficie en φ(u, v) es el vector T u T v T u T v. Más adelante veremos que usando el vector T u T v se puede calcular el área de la superficie. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.2. Superficies parametrizadas 10 / 17

11 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Aquí estudiaremos en más detalle las funciones de la forma F : R n R n, viendo cada valor de F como un vector. En particular, para n = 2 hablamos de un campo vectorial en el plano, y para n = 3 hablamos de un campo vectorial en el espacio. Para representar gráficamente los campos vectoriales (esbozarlos), se toma un conjunto de puntos en R n suficientemente representativo y se dibuja en cada punto x del conjunto el vector que va de x hasta x + F (x), obteniendo así un conjunto de vectores representativo del campo vectorial. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 11 / 17

12 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Dado un campo vectorial F, una pregunta natural es la siguiente: Existe una curva c tal que para todo t tenemos F (c(t)) = c (t)? Definición (Lineas de flujo) Sea F : R n R n un campo vectorial. Llamamos ĺınea de flujo de F una curva c(t) tal que F (c(t)) = c (t). En general el problema de hallar si un campo F dado tiene ĺıneas de flujo requiere la teoría de las ecuaciones diferenciales, y no lo trataremos aquí. Sin embargo, podemos querer verificar que una curva c dada es una ĺınea de flujo de F ; en este caso, basta comprobar que se tiene F (c(t)) = c (t). A continuación, vamos a ver varias herramientas muy útiles para estudiar campos vectoriales. En particular, usaremos el gradiente. Escribiendo = ( x, y, z ) podemos ver el gradiente f de una función f : R 3 R como el resultado de aplicar el operador a f. Tratando como un vector (de modo simbólico), podemos definir varias operaciones con campos vectoriales. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 12 / 17

13 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Definición (Divergencia de un campo vectorial) Sea F : R n R n un campo vectorial tal que las derivadas parciales F x i, i [1, n] existen en cada punto. La divergencia de F es la función escalar F : R n R, (x 1,..., x n ) n i=1 F i x i. La noción siguiente se define para campos vectoriales en el espacio. Definición (Rotacional de un campo vectorial R 3 R 3 ) Sea F : R 3 R 3 un campo vectorial tal que las derivadas parciales F x i, i = 1, 2, 3 existen en cada punto. El rotacional de F es el campo vectorial F : R 3 R 3 dado por la fórmula (x 1, x 2, x 3 ) e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 F 1 F 2 F 3 = = ( x 2 x 3 F 2 F 3, x 1 x 3 F 1 F 3, x 1 x 2 F 1 F 2 ( F3 F 2, F 3 + F 1, F 2 F ) 1. x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 13 / 17 )

14 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Las dos operaciones que acabamos de ver están relacionadas en particular por el importante resultado siguiente. Teorema Sean f : R n R, F : R n R n, ambas funciones de clase C 2 en R n. Entonces tenemos 1) ( f ) = 0. (El rotacional de cualquier gradiente es 0.) 2) ( F ) = 0. (La divergencia de cualquier rotacional es 0.) (F es de clase C 2 si cada uno de sus componentes es una función R n R de clase C 2.) e 1 e 2 e 3 Demostremos el punto 1): Tenemos ( f ) = x 1 x 2 x 3. Usando que las derivadas cruzadas son independientes del orden de las variables (teorema visto anteriormente), deducimos que esto es (0, 0, 0). Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 14 / 17 f x 1 f x 2 f x 3

15 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos En nuestro estudio posterior, los campos vectoriales siguientes jugarán un papel importante. Definición (Campos vectoriales conservativos) Decimos que un campo vectorial F es un campo conservativo (o campo gradiente) si F = f para alguna función escalar f. Nótese: el teorema anterior implica que el rotacional de cualquier campo gradiente es nulo. Por qué llamarlos campos conservativos? Sea F = f : R n R n y sea una curva c : [a, b] R n de clase C 1 que une el punto A = c(a) al punto B = c(b). Tiene mucho interés (particularmente en física) considerar una integral de la forma b a F (c(t)) c (t)dt, llamada integral de ĺınea de F a lo largo de c. Usando la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, se puede ver que esta integral es f (B) f (A), independiente de c. Así pues F conserva estas integrales de ĺınea, i.e. las tiene constantes independientes de la curva particular que une los puntos extremos. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 15 / 17

16 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Otra operación muy útil que usa el gradiente es la que sigue. Definición (Laplaciano de un campo escalar) Sea f : R n R una función escalar con derivadas de orden 2 definidas en cada punto. El Laplaciano de f es la función R n R denotada f y definida por f = f = n i=1 2 f. xi 2 Notación: A veces resulta conveniente abreviar la notación de derivadas parciales de un campo escalar f, remplazando f x for f x. Esto permite en particular escribir derivadas de orden superior cumulando subíndices (en el orden que reproduce el orden de las derivaciones). Por ejemplo 3 f xzy se escribe de este modo f xzy. El Laplaciano en dimensión 3 de f se escribiría f xx + f yy + f zz. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 16 / 17

17 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos Ejemplo: sean f, g : R 3 R en C 2. Demostrar que ( f g) = 0. Escribamos f = (f x, f y, f z ), g = (g x, g y, g z ). Tenemos entonces e 1 e 2 e 3 f g = f x f y f z = ( ) f y g z f z g y, f x g z + f z g x, f x g y f y g x. g x g y g z Por lo tanto ( f g) = x (f y g z f z g y ) y (f xg z f z g x ) + z (f xg y f y g x ) Aplicando la fórmula del producto, desarrollamos esto, obteniendo que es igual a (f xy g z + f y g xz f xz g y f z g xy ) (f yx g z + f x g yz f yz g x f z g yx ) +(f zx g y + f x g zy f zy g x f y g zx ) = 0. Capítulo 3. Funciones con valores vectoriales 3.3. Campos vectoriales, campos conservativos 17 / 17